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1、2020 届辽宁省葫芦岛协作校高三4 月质量检测 一模 数学 文 本试卷共23 题 共 6 页 全卷满分150 分 考试用时120 分钟 考试结束后 将本试卷和答题卡一并 交回 注意事项 1 答题前 考生将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码准确粘贴在条形码区域内 2 选择题必须使用2B 铅笔填涂 非选择题必须使用0 5 毫米黑色字迹的签字笔书写 字体工整 字迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答题 无效 4 作图可先使用铅笔画出 确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修
2、正带 刮纸刀 第 I 卷 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知集合A x y x 集合 B x 3 x 3 则 A B A 3 3 B 3 C 0 3 D 0 2 若复数 z 满足 z i 1 2i i 为虚数单位 则 z为 A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3 已知平面向量a 2 3 b x 4 若a a b 则 x A 1 2 B 1 C 2 D 3 4 从只读过 飘 的2 名同学和只读过 红楼梦 的3名同学中任选2 人在班内进行读后分享 则选中的2 人都读过 红楼梦 的概率为 A 0 6
3、B 0 5 C 0 4 D 0 3 5 若抛物线y2 4x 上的点 M 到焦点的距离为 10 则 M 点到轴的距离是 A 6 B 8 C 9 D 10 6 甲 乙 丙三人参加某公司的面试 最终只有一人能够被该公司录用 得到面试结果以后 甲说 丙被 录用了 乙说 甲被录用了 丙说 我没被录用 若这三人中仅有一人说法错误 则下列结论正确的是 A 甲被录用了B 乙被录用了C 丙被录用了D 无法确定谁被录用了 7 已知 a log2020 1 b 1 2020 1 2020c 则 A c a b B a b c C b a c D a c4b 则双曲线C 的离心率的取值范围为 A 13 3 5 B 1
4、 13 3 5 C 5 13 D 1 5 13 第 II 卷 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 满分20 分 将答案填在答题纸上 13 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向 拟采用分层抽样的方法 从该校四个年级的 本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查 已知该校一年级 二年级 三年级 四年级的本科生人数 之比为 4 5 5 6 则应从一年级本科生中抽取名学生 14 已知曲线f x ax 1 ex在点 0 1 处的切线方程为 y x 1 则实数a 的值为 15 莱茵德纸草书 是世界上最古老的数学著作之一 书中有一道这样的题目 把 100 个面包分给5 个人 使每人所
5、得份量成等差数列 且较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之和 则最小一份的量为 16 己知三棱锥D ABC 四个顶点均在半径为R 的球面上 且 AB BC 2 AC 2 若该三棱锥体积的 最大值为 4 3 则这个球的表面积为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 已知在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b C 且 sinsin sinsin CAb BAac I 求角 C 的大小 II 若 c 3 求 a b 的取值范围 18 本题满分 12 分 某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态 从期中考试成绩中随机抽取50 名学生的数学成绩 按
6、 成绩分组 第1 组 75 80 第 2 组 80 85 第 3 组 85 90 第 4 组 90 95 第 5 组 95 100 得到 的频率分布直方图如图所示 I 由频率分布直方图 估计这50 名学生数学成绩的中位数和平均数 保留到 0 01 II 该校高一年级共有1000 名学生 若本次考试成绩90 分以上 含 90 分 为 优秀 等次 则根据频率分布 直方图估计该校高一学生数学成绩达到 优秀 等次的人数 19 本题满分 12 分 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F 分别是 A1C1 BC 的中点 I 求证 平面ABE 平
7、面 B1BCC1 II 求证 C1F 平面 ABE III 求三棱锥 E ABC 的体积 20 本题满分 12 分 已知椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的焦距为2 过点 1 2 2 I 求椭圆 C 的标准方程 II 设椭圆的右焦点为F 定点 P 2 0 过点 F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A B 两点 以线段AP 为直径的圆与直线x 2 的另一个交点为Q 试探究在x 轴上是否存在一定点M 使直线BQ 恒过该定点 若存在 求出该定点的坐标 若不存在 请说明理由 21 本题满分 12 分 已知函数f x 2lnx a x2 4x 3 I 若 a 4 3 求 f x 的单调区间
8、 II 证明 i lnx x 1 ii 对任意 a 0 f x 0 I 当 m 1 时 求不等式f x 1 的解集 II 若x R t R 使得 f x t 1 t 1 求实数m 的取值范围 2020 年高三质量检测 数学 文科 试题参考答案答案及评分标准 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 1 12 CBADC ADABC CB 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 13 60 14 2 15 16 289 16 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 解 由 ca b AB AC sinsin sinsin 则 ca b ab ac 2
9、 分 abcba 222 3 分 所以 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba C 5分 而 0 C故 3 C 6 分 由abcba 222 且3c ababba92 2 7 分 22 2 339 ba abba 8 分 2 36ab所以6ab 9 分 当且仅当 a b时等号成立 此时A B则sinsinAB 不符合题意 6ab 10 分 又3cba 11 分 所以ba的取值范围是 3 6 12 分 18 本题满分 12 分 解 设这50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 m n 因为前 2 组的频率之和为0 40 5 因为前3 组的频率之和为0 70 5 所以 8590m
10、 2分 由 0 40 06 85 0 5m 得86 67m 3分 77 5 5 0 01 82 5 5 0 0787 5 5 0 0692 5 5 0 0497 5 5 0 0287 25n 5分 所以 这50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86 67 87 25 6分 因为样本中90 分及以上的频率为0 04 0 025 0 3 8分 所以该校高一年级1000 名学生中 根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 优秀 等次的人数为0 3 1000 300人 12分 0 01 0 02 0 04 0 03 0 06 0 07 0 05 频率 组距 19 本题满分 12 分 解 三棱
11、柱 111 ABCA B C 中 侧棱垂直于底面 1 BBAB 1 分 AB BC 1BB BCBI 1 BBBC平面 11 B BCC 2分 AB平面 11 B BCC 3 分 AB平面ABE 平面ABE平面11 B BCC 4 分 取AB的中点 G 连接 EG FG F是 BC 的中点 FGAC 1 2 FGAC E是11AC的中点 1FGEC 1FGEC 5 分 四边形 1 FGEC是平行四边形 1 C FEG 6 分 1 C F 平面ABE EG平面ABE 1 C F 平面ABE 8 分 1 2AAAC 1BC ABBC 10 分 3AB 1 11 13 3 1 2 33 23 EAB
12、CABC VSAA 12 分 20 本题满分 12 分 解 由题知 1 2 11 1 22 ba c 2 分 解得2 2 a 1 2 b 3 分 所以椭圆C的方程为1 2 2 2 y x 4 分 设 11 yxA 22 yxB因为直线l的斜率不为零 令l的方程为 1myx 由 1 2 1 2 2 y x myx 得012 2 22 myym 5 分 则 2 2 2 21 m m yy 2 1 2 21 m yy 6 分 因为以AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q 所以PQAQ 则 2 1 yQ 7 分 则 2 2 12 x yy kBQ 故BQ的方程为 2 2 2 12 1 x x yy
13、yy 8 分 令0y 则 22 1 2 2 12 121 12 21 12 21 yy yymy yy myy yy xy x 9 分 而 2 2 2 21 m m yy 2 1 2 21 m yy 2 21 21 yy ymy 10 分 所以 2 3 2 2 1 2 2 12 1 21 yy y yy x 11 分 故直线BQ恒过定点 且定点为 0 2 3 12 分 21 本题满分 12 分 解 若 4 3 a 242 21 23 24 0 33 xx fxxx xx 2分 令 0fx 得 3 2 x或 1 0 2 x 则 f x的单调递增区间为 1 0 2 3 2 3 分 令 0fx 得
14、13 22 x 则 f x的单调递减区间为 1 3 2 2 4 分 设 ln 1 g xxx 5 分 则 1 0 x g xx x 令 0gx 得01x 令 0gx 得1x 6 分 故 max 1 0g xg 从而 ln 1 0g xxx 即ln1xx 7 分 若 0 a 则3 2 3 23 aa a 8 分 所以 当 32 a x a 时 由 知 ln1xx 则 2 2 1 43 f xxa xx 9 分 又 2 32 2 1 43 1 23 1 a xa xxxaxaa xx a 10 分 所以 当 0 a 32 a x a 时 32 1 0 a a xx a 11 分 故对任意 0 a
15、0f x对 32 a x a 恒成立 12 分 请考生在22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 曲线 1 C的普通方程为 22 3 2 4xy 即 22 2 3430 xyxy 2分 又 cos sinxy 代入上式 3分 得 1 C的极坐标方程为 2 2 3cos4sin30 5 分 设 1 P 2 Q 6 分 将 6 代入 2 2 3cos4sin30 7 分 得 2 530 8 分 所以 12 3 9 分 所以 3OPOQ 10分 23 本题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 解 当1m时 1 1 22 1 31 x xx x 2分 或 11 311 x x 或 1 31 x x 3分 解得 2 2 3 x 所以原不等式的解集为 2 2 3 5分 1 1 1 1 f xttf xtt对任意 xR 恒成立 对实数 t 有解 3 3 3 xmxm f xxmmxm xm xm 6分 根据分段函数的单调性可知 xm时 f x取得最大值 2fmm 7分 1 1 1 1 2tttt 8分 2 1 1 2tt 即 1 1 tt的最大值为 2 9分 所以问题转化为 22m 解得 01m 10分
