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1、第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程知识梳理1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是00，1800) 直线的倾斜角与斜率k的关系:当时， k与的关系是；时，直线斜率不存在；经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式是 ；三点共线的充要条件是2.直线方程的五种形式:点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于轴的直线两点式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和
2、过原点的直线.一般式方程为 .3.几种特殊直线的方程:过点垂直于x轴的直线方程为x=a;过垂直于y轴的直线方程为y=b 已知直线的纵截距为,可设其方程为;已知直线的横截距为,可设其方程为;过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx 重难点突破重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系 涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线的倾斜角是A. B
3、. C. D. 点拨:转化为: 已知,求 ,答案: C问题2: 求直线的倾斜角的取值范围点拨: 要从和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，当时,随的增大而增大; 当时,随的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.，故：当时，直线的倾斜角满足：当时，直线的倾斜角满足所以，直线的倾斜角的范围：和(2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置xyAOxyBOyxDOyOxC问题3：已知函数，当，方程 表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得,从而斜率,截距,故选C（3）
4、选择恰当的形式求直线方程问题4:过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点，当最小时，求直线的方程。点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示,本题用点斜式设出方程最简便。解：设直线的方程为,当且仅当，即k=1时等号成立，但k0,故直线的方程为：x+y+3=0；（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：问题5:求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程。点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。解：当直线过原点时,方程为;当直线不经过原点时,设方程为,把代入得, 综上,所求方程为或热点考点题型探析考点1 直线的倾斜角和斜率
5、 题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)例1 已知经过的直线的倾斜角为，且，试求实数的取值范围。【解题思路】由倾斜角的范围得出斜率的范围,从而求出参数的取值范围.【解析】，或，解得：的取值范围是【名师指引】根据正切函数在上的单调性,要分;三种情况讨论,特别注意时容易遗漏.题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交 yxOMQP例2 已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围；【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围 解析由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2
6、）， 要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是k4和k-3/4【名师指引】（1）用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别（2）在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有角,若含有,则斜率的范围是,若不含有,则斜率的范围是（分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）【新题导练】1. 下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)【解析】C. 由KAB=KBC可得2.（广东省四校联合体2020
7、学年度联合考试）若函数f(x)=log2（x+1）且abc0，则、的大小关系是A、 B、C、 D、【解析】B把、分别看作函数f(x)=log2（x+1）图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案3. (华南师大附中2020届高三综合测试（一）)已知直线（t为参数），则下列说法错误的是（）A直线的倾斜角为B直线必经过点C直线不经过第二象限 D当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为DCx+y=-2OBAxx+y=1【解析】D. 将直线方程化为，直线的斜率为，直线的倾斜角为，将点代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限4. 若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，
8、动直线 扫过中的那部分区域的面积为 解析 如图，当从2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分(四边形OBCD)区域的面积与区域A()的面积之比为，而区域A的面积为2，故所求的面积为5.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为如果是围成的区域（含边界）上的点，则的取值范围是 解析 ：把看作区域上的点与点（-1，0）连线的斜率,结合图形可得结果为6.已知点A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），过P点的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率k的变化范围;解析 ,画出图形，数形结合可得结果 考点2 求直线方程 题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都
9、在直线2x+y6=0上，顶点A的坐标是(1, 1)，求边AB, AC所在的直线方程. 【解题思路】从确定直线AB, AC 的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y6=0,直线AB满足:经过点A且与直线2x+y6=0成角，（或|AB|等于点A到直线2x+y6=0的距离的倍）解法1:由条件知直线AC垂直于直线2x+y6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,把A(1, 1)代入得c=-3, 故直线AC的方程为x-2y-3=0,，设B(x,y),则，解得或，所以直线AB的方程为或解法2: 直线AC的斜率为，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0考虑直线AB, AC的夹角为
10、，设直线AB, AC的方向向量分别为则，解得或，所以直线AB的方程为或【名师指引】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解 例4 过点P（0，1）作直线l，使它被两直线l1:2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.【解题思路1】：设出直线l的点斜式方程，分别与直线l1，l2建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l的方程；解析1：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1联立解得交点坐标是联立解得交点坐标是而点P（0，1）是AB的中点，解得k=
11、-，故所求的直线方程为： x+4y-4=0；【解题思路2】：设出l,l1的交点A坐标（x1,y1），通过中点坐标公式求出l与l2的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线l1， l2的方程,联立方程组进行求解;解析2：设直线l与已知l1， l2的交点A（x1,y1）,B（x2,y2）P是AB的中点即带入l2的方程的，得（-x1）-3(2-y1)+10=0,即x1-3y1-4=0联立解得A(4,0)故所求的直线方程为：，即x+4y-4=0.【名师指引】（1）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求” 减少了运算量（2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2
12、中的“设而不求” 【新题导练】7.已知点A（3，4） （1）经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ；（2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ：（3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ；（4）经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为： ；解析（1）4x3y0或xy70 当直线经过原点时，方程为4x3y0，当直线不经过原点时，设方程为，代入点A的坐标得直线方程xy70（2）2xy20或8x9y120；设直线方程为，由和求得的值（3）xy10或xy70；斜率为1或-1，由点斜式易得 （4）x2y110或4x3y0；当直线经过原点时
13、，方程为4x3y0，当直线不经过原点时，设直线方程为，由和求得的值8.已知直线经过点,分别交轴，轴正半轴于点A，B，其中O为原点，求AOB的面积最小时，直线的方程；解析 设直线的方程为,令,令,当且仅当，即k=4时等号成立，但k0,故直线的方程为：考点3 对称问题 题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程例5 例5 已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求：（1）点A关于直线l的对称点的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线方程；（3）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线的方程；【解题思路】：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关
14、点转移法解决；解析（1）设点A关于l的对称点是， 解得 （2）设点是直线m上任意一点，关于直线的对称点为解得：在直线上， 化简得：（3）设点是直线上任意一点，点关于点A(-1，-2)的对称点为，则，解得因点在直线上，化简得：【名师指引】（1）要抓住两点关于直线对称的特征来列式；（2）点对称是其它对称问题（曲线的对称等）的基础，务必重点掌握；题型2：利用对称知识解决有关问题例6 2020深一模 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是ABCDNMCD【解题思路】：利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度解析 设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点
