《2011年高考数学一轮精品复习课件第9章《算法推理与证明复数》复数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考数学一轮精品复习课件第9章《算法推理与证明复数》复数（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案4复数 返回目录 一 复数的有关概念1 1 若i为虚数单位 规定 i2 实数可以与i进行四则运算 进行四则运算时 原有的加 乘法运算律仍然成立 2 形如a bi a b R 的数叫做复数 a b分别叫做复数的 若b 0 则复数a bi为 若b 0 则复数a bi为 1 实部 虚部 实数 虚数 考点分析 返回目录 3 若a b c d R 则a bi c di的充要条件是 4 若a b c d R 则a bi与c di为共轭复数的充要条件是 2 1 建立直角坐标系来表示复数的平面叫 叫做实轴 叫做虚轴 2 复数z a bi a b R 与复平面内的点建立了关系 一一对应 a c且b d a
2、c且b d 复平面 x轴 y轴 若b 0 且a 0时 则复数a bi为 纯虚数 返回目录 二 复数的运算 1 运算法则设z1 a bi z2 c di a b c d R 1 z1 z2 a bi c di 2 z1 z2 a bi c di 3 a c b d i ac bd ad bc i 4 zm zn zm n z1 z2 n 其中m n Z zmn 返回目录 5 a bi n 6 求a bi的平方根 x2 y2 a 2 常见的运算规律 1 i的周期性 i4n 1 i4n 2 i4n 3 i4n n Z 2 a bi a bi 3 1 i 2 求出x y 设 x yi 2 a bi 由
3、 2xy b i 1 i 1 a2 b2 2i 4 5 6 b ai a bi i b ai a bi i 返回目录 i i i 返回目录 复数z m2 2m 15 i 求实数m 使得 1 z是实数 2 z是纯虚数 3 z所对应的点在复平面的第二象限 4 z是复数 考点一复数的基本概念 分析 根据复数的有关概念的定义 把此复数的实部与虚部分离开 转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解 题型分析 返回目录 解析 实部为 虚部为m2 2m 15 m 3 m 5 m 3 m 5 0m 3 0 m 3或m 5m 3 当m 5时 z是实数 1 要使z为实数 则 即 返回目录 0 m 3 m
4、 5 0 m 2或m 3m 3且m 5 当m 2或m 3时 z是纯虚数 2 要使z为纯虚数 则 即 3 由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知0 m5或m 3 当m 3时 z所对应的点在第二象限 R m 3 m 5 R 当m 3时 z为复数 返回目录 即 m 3 4 要使z为复数 则 评析 本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义 本题中给出的复数采用的是标准的代数形式 若不然 则应先化为代数形式后再依据概念求解 返回目录 下列四个命题中正确结论的个数为 满足z 的复数有 1 i 若a b R且a b 则 a b a b i是纯虚数 复数z R的充要条件是z z 复平面内x轴是实
5、轴 y轴是虚轴 A 0个B 1个C 2个D 3个 对应演练 返回目录 C i不满足z 故 错 当a b 0时 a b a b i是实数 故 错 正确 故应选C C 返回目录 已知x y为共轭复数 且 x y 2 3xyi 4 6i 求x y 分析 解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式 化虚为实 考点二复数相等的充要条件 解析 设x a bi a b R 则y a bi 代入原式 得 2a 2 3 a2 b2 i 4 6i 4a2 4 3 a2 b2 6 根据复数相等得 返回目录 a 1a 1a 1a 1b 1b 1b 1b 1 x 1 ix 1 iy 1 iy 1 ix 1 ix 1 iy
6、 1 iy 1 i 或 或 或 解得 或 所求复数为 或 或 评析 利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化 体现了转化思想 2 已知复数 与 均是纯虚数 则 分析 根据复数代数形式 可设z bi b R b 0 代入 z 2 2 8i并求出它的实部和虚部 利用定义求出b 返回目录 评析 由复数z a bi a b R 为纯虚数的条件列出关系式 要完整理解复数分类的条件 本题中均不可忽视复数z a bi为纯虚数的一个必要不充分条件是b 0 返回目录 返回目录 对应演练 已知A 1 2 a2 3a 1 a2 5a 6 i B 1 3 且A B 3 求实数a的值 A B 3 a2 3a 1 a2
7、 5a 6 i 3 a2 3a 1 3a2 5a 6 0 a 1 返回目录 实数m取怎样的值时 复数z m2 3m 2 m2 2m 8 i的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内 分析 复数z a bi a b R 与复平面的点z a b 建立了一一对应关系 因此只要求a b所在象限也就知道了 考点三复数的几何意义 解析 要使z的对应点在第一象限 则有z的对m2 3m 2 0m2 2m 8 0得 2 m 1或2 m 4 即为所求m的取值范围 应点在第四象限 解 返回目录 评析 复数实部 虚部的符号与其对应点所在象限密切相关 实数 纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上 若实部为正且虚部为正 则复数对
8、应点在第一象限 若实部为负且虚部为正 则复数对应点在第二象限 若实部为负且虚部为负 则复数对应点在第三象限 若实部为正且虚部为负 则复数对应点在第四象限 此外 若复数的对应点在某些曲线上 还可写出代数形式的一般表达式 如 对应点在直线x 1上 则z 1 bi b R 对应点在直线y x上 则z a ai a R 这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用 返回目录 对应演练 设z log2 m2 3m 3 ilog2 m 3 m R 若z对应的点在直线x 2y 1 0上 则m的值是 z对应的点为 log2 m2 3m 3 log2 m 3 又 其在直线x 2y 1 0上 log2 m2 3m
9、3 2log2 m 3 1 0 整理得log2 2m2 6m 6 m2 6m 9 即m2 15 m 又 m 3 0且m2 3m 3 0 m 返回目录 考点四复数代数形式的运算 计算 1 2 1 in i2n i2000n n N 分析 1 利用 1 i 2 2i这一特点进行运算 2 利用in的周期性计算 返回目录 解析 1 原式 2 当n 4k k N 时 原式 1 1 1 2001 当n 4k k N 时 原式 2001个 评析 1 在计算过程中常出现一些比较有特点的式子 如 1 i 2 2i 等 要抓住这一特点快速运算 2 in的运算具有周期性 返回目录 已知z 1 i 1 设 z2 3z
10、 4 求 2 如果 求实数a b的值 返回目录 对应演练 1 z 1 i z2 3z 4 1 i 2 3 1 i 4 1 i 2 由 把z 1 i代入得 a b a 2 i 1 i i 1 i a 2 1a 1a b 1b 2 返回目录 得 考点五复数代数形式的综合运用 设z是虚数 z 是实数 且 1 2 1 求z的实部的取值范围 2 设u 求证 u是纯虚数 3 求 u2的最小值 分析 本题涉及复数的概念 复数与不等式的综合应用 考查学生解综合题的能力 返回目录 解析 1 设z a bi a b R 且b 0 则 z a bi a b i R b 0 b 0 a2 b2 1 此时 2a 又 1
11、 2 1 2a 2 a 1 z的实部的取值范围是 1 返回目录 2 证明 u a 1 b 0 a b R u为纯虚数 3 u2 2a 2a 2a 2a 1 2 a 1 3 a 1 a 1 0 2 a 1 3 2 3 1 当且仅当a 1 即a 0时取 号 故 u2的最小值为1 返回目录 评析 本题表面上是考查复数的有关概念 但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力 考查均值不等式的应用 综合考查学生运用所学知识解决问题的能力 是高考改革的方向 返回目录 设等比数列z1 z2 z3 zn 其中z1 1 z2 a bi z3 b ai a b R且a 0 1 求a b的值 2 试求使z1 z2 zn
12、 0的最小自然数n 3 对 2 中的自然数n 求z1 z2 z12的值 返回目录 对应演练 1 z1 z2 z3成等比数列 z1z3 即 a bi 2 b ai a2 b2 2abi b ai a2 b2 b 2ab a 解得a b a 0 返回目录 2 z1 1 z2 i 公比q i 于是zn i n 1 z1 z2 zn 1 q q2 qn 1 0 qn i n i n i n 1 即n既是3的倍数又是4的倍数 故n的最小值为12 返回目录 3 z1z2 z12 1 i i 2 i 11 i 1 2 11 i i 66 i 66 i 66 1 返回目录 考点六简单的复数方程 设关于x的方程
13、是x2 tan i x 2 i 0 若方程有实数根 求锐角 和实数根 分析 以方程为载体 利用复数相等的条件建立方程 再求解 返回目录 解析 设实数根为x0 则 tan i x0 2 i 0 x0tan 2 x0 1 i 0 x0 tan R x0tan 2 0 x0 1 0 x0 1且tan 1 又0 评析 利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化 体现了转化思想 返回目录 z a bi 则z a bi a b R 1 2i a bi 4 3i a 2b 2a b i 4 3i a 2b 42a b 3 a 2 b 1 z 2 i 已知 1 2i z 4 3i 求z及 返回目录 对应演练 返回目录 1 认清复数的表示形式z a bi a b R 分清实部 虚部是认清复数的关键 2 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法 其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件 3 四则运算一般用代数形式 加 减 乘运算按多项式运算法则计算 除法运算需把分母实数化来进行 4 复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别 在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否还适用 高考专家助教
