《2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第17讲导数在函数中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第17讲导数在函数中的应用（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 第三单元导数及其应用 3 第17讲 导数在函数中的应用 4 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 对多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要条件 会用导数求函数的极大值 极小值 对多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上的函数的最大值 最小值 对多项式函数一般不超过三次 5 1 已知函数f x 在点x0处连续 下列命题中 正确的是 C A 导数为零的点一定是极值点B 如果在点x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 由极值的定义知C正确 6 2 函数y 的单调递增区间为 B A
2、 1 B 1 1 C 1 D 2 因为y 所以由y 0得1 x2 0 所以x2 1 所以 1 x 1 故选B 7 3 已知函数f x x3 ax2 3x 9在x 3时取得极值 则a等于 D A 2B 3C 4D 5 因为f x 3x2 2ax 3 又f x 在x 3时取得极值 所以f 3 30 6a 0 解得a 5 8 4 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值是 最小值是 3 17 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 而f 3 17 f 1 3 f 0 1 故f x 在 3 0 的最大值是3 最小值是 17 9 5 若函数y x3 ax2 4在 0
3、 2 内单调递减 则实数a的取值范围为 3 因为函数y x3 ax2 4在 0 2 内单调递减 所以y 3x2 2ax 0在 0 2 内恒成立 y x 0 0 0y x 2 12 4a 0 所以a 3 所以 10 1 函数的单调性与其导数的关系 1 对于定义在区间 a b 内连续不间断的函数y f x 由f x 0 y f x 在 a b 内单调递增 f x 0在 a b 内恒成立 其中 a b 为f x 的单调递增区间 2 对于定义在区间 a b 内连续不间断的函数y f x 由f x 0 f x 0在 a b 内恒成立 其中区间 a b 为f x 的单调递减区间 y f x 在 a b 内
4、单调递减 11 2 函数的极值与其导数的关系 1 极值与极值点 设函数f x 在点x0及其附近有定义 如果对x0附近的异于x0的所有点x 都有 则称f x0 为f x 的极大值 记作y极大值 f x0 x0为极大值点 反之 若 则称f x0 为f x 的极小值 记作y极小值 f x0 x0为极小值点 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 2 若x0为可导函数f x 的极值点 则有 不一定成立 f x f x0 f x f x0 f x0 0 12 3 函数的最值与其导数的关系 1 函数的最值 如果在函数y f x 的定义域I内存在x0 使得对任意的x I 都有 则称f x0
5、 为函数的最大值 记作ymax f x0 反之 若有 则称f x0 为函数的最小值 记作ymin f x0 最大值和最小值统称为最值 2 如果函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是 的曲线 则该函数在闭区间 a b 上一定能够取得最大值与最小值 f x f x0 f x f x0 一条连续不间断 13 4 极值与最值的区别与联系极值是反映函数的局部性质 最值是反映函数的整体性质 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 极大值不一定比极小值大 但如果函数的图象是一条不间断的曲线 在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 14 题型
6、一函数的单调性与导数 例1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 15 1 由已知f x 3x2 a 因为f x 在R上是单调增函数 所以f x 3x2 a 0在R上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 又因为3x2 0 所以只需a 0 又因为当a 0时 f x 3x2 0 即f x x3 1在R上是增函数 所以a 0 16 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 恒成立 因为 1 x 1 所以3x2 3 所以只
7、需证明a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 所以a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 17 1 f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件是f x 0 或f x 0 对x a b 恒成立 但f x 不恒为0 18 2 已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若恒等于0 则参数的这个值
8、应舍去 若f x 不恒等于0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 19 求函数f x x 1 x 2 x 3 的单调增区间 因为f x x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 3x2 12x 11 由f x 0 得x 2 或x 2 故函数f x 的单调递增区间是 2 与 2 本题易错误地作答为递增区间是 2 2 误将正值区间 1 2 或 3 作为增区间 20 题型二函数的极值与导数 例2 已知x 3是函数f x aln 1 x x2 10 x的一个极值点 1 求a 2 求函数f x 的极大值 3 若直线y b与函数y f x 的图象有3个交点 求b的取值范围
9、21 1 因为f x 2x 10 所以f 3 6 10 0 因此a 16 2 由 1 知 f x 2x 10 x 1 此时 f x f x 随x的变化情况如下表 由上表知函数f x 的极大值为f 1 16ln2 9 22 3 由 2 知 f x 在 1 1 内单调递增 在 1 3 内单调递减 在 3 上单调递增 且当x 1或x 3时 f x 0 所以f x 的极大值为f 1 16ln2 9 极小值为f 3 32ln2 21 若直线y b与函数y f x 的图象有3个交点 当且仅当f 3 b f 1 因此 b的取值范围为 32ln2 21 16ln2 9 23 若上例 3 变为 方程f x b有
10、一解 两个不同解 三个不同解 那么实数b的取值范围将如何 由上表不难解得b16ln2 9时有一解 b 16ln2 9或b 32ln2 21时 有两个不同的实数解 32ln2 21 b 16ln2 9时 方程有三个不同的实数解 24 1 运用导数求可导函数y f x 极值的步骤 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导函数f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 25 2 根据定义 极值点是区间 a b 内部的点 不会是区间的端点a b 且极值必须在区间内的连续点处取得 3
11、 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 且极小值与极大值没有必然的大小关系 如果函数在 a b 上有极值的话 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样 相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 极大值点与极小值点是交替出现的 26 4 若函数f x 在 a b 内有极值 则f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间 a b 上单调的函数没有极值 注意 可导函数的极值点必须是导数为0的点 导数为0的点不一定是极值点 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0的左侧与右侧的f x 的符号不同 不可导的点也可能是极值点 27 题型三函
12、数的最大值 最小值与导数 例3 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为M N 试求M N的值 28 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x1 2 x2 2 则f x f x 随x的变化情况如下表 显然 M 24 N 8 则M N 24 8 32 29 已知a是实数 函数f x x x a 1 求函数f x 的单调区间 2 设g a 为f x 在区间 0 2 上的最小值 写出g a 的表达式 30 1 函数的定义域为 0 f x x 0 若a 0 则f x 0 f x 有单调递增区间 0 若a 0 令f x 0 得x 当0时 f x 0 故
13、f x 的单调递减区间为 0 单调递增区间为 31 2 若a 0 f x 在 0 2 上单调递增 所以g a f 0 0 若0 a 6 f x 在 0 上单调递减 在 2 上单调递增 所以g a f 若a 6 f x 在 0 2 上单调递减 所以g a f 2 2 2 a 0 a 0 0 a 6 2 a a 6 综上所述 g a 32 1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 2 函数的极值可以有多个 但最大值 最小值 只能有一个 3 极值只能在区间内取得 最值却可以在端点处取得 33 4 一般的 在闭区间
14、 a b 上的连续函数f x 必有最大值与最小值 在区间 a b 内的连续函数不一定有最大值与最小值 若函数y f x 在闭区间 a b 上单调递增 则f a 是最小值 f b 是最大值 若函数y f x 在闭区间 a b 上单调递减 则f a 是最大值 f b 是最小值 34 对任意的正整数n 求证 In 1 令函数f x x3 x2 ln x 1 则f x 3x2 2x 所以当x 0 时 f x 0 所以函数f x 在 0 上单调递增 又f 0 0 35 所以x 0 时 恒有f x f 0 0 即x3 x2 ln x 1 恒成立 故当x 0 时 有ln x 1 x2 x3 对任意正整数n
15、取x 1n 0 则有ln 1 所以结论成立 利用导数证明不等式 就是把不等式恒成立的问题通过构造函数 转化为利用导数求函数最值的问题 36 1 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 令f x 0 求出此方程在f x 的定义域内的一切实根 3 把函数f x 无定义的点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 这些点把定义域分成若干个小区间 37 4 确定f x 在各小开区间内的符号 根据f x 的符号判断函数f x 在每个相应的小开区间的增减性 2 求可导函数y f x 的极值的方法 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在每个根左
16、右的符号 如果根的左侧附近为正 右侧附近为负 则f x 在这个根处取得极大值 如果根的左侧附近为负 右侧附近为正 则f x 在这根处取得极小值 38 3 求可导函数f x 在闭区间 a b 上的最值的方法 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将求得的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 39 4 注意 1 利用导数求单调区间时 必须先求定义域 2 使导函数f x 0的点称为函数的驻点 则可导函数的极值点必是驻点 但驻点不一定是极值点 求一个可导函数的极值时 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格 注意这里的 可导 两字必不可少 40 2009 辽宁卷 已知函数f x x2 ax a 1 lnx a 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 证明 若a 1 41 1 f x 的定义域为 0 f x x a 若a 1 1 即a 2 则f x 故f x 在 0 单调增加 若a 11 故10 故f x 在 a 1 1 单调减少 在 0 a 1 1 单调增加 42 若a 1 1 即a 2 同理可得f x 在 1 a 1 单调减少 在 0 1 a 1 单调增加
