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1、高一数学学案 函数的奇偶性和周期性 【教学目的】1 了解函数的奇偶性与周期性的定义;2 能运用函数的奇偶性与周期性解决有关函数问题;【基本知识】1、 相关概念:1)对于函数f(x)中定义域中的任意x,恒有,则f(x)为奇函数; 对于函数f(x)中定义域中的任意x,恒有,则f(x)为偶函数;2)若存在一个非零常数T,使函数f(x)中定义域中的任意x,恒有,则f(x)是周期函数,T是它的一个周期;2、 有关结论:若,则是若,则是若,则是奇函数的图象关于对称,偶函数的图象关于对称若f(x)是定义在R上的奇函数,则有f(0)=;()若函数有两条对称轴x=a,x=b,则是周期函数,其周期为3、 注意点:
2、判断函数奇偶时,应先看定义域是否关于原点对称,后看f(x)与f(-x)关系【课前预习】1 如果定义在区间上的函数为奇函数,则=;2 若为奇函数,则实数;3 若函数是定义在R上的奇函数,且当时,那么当x(,0)时,f(x) =_4 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且f(2)0,则使得f(x)0的x的取值范围是5 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是A)是奇函数 B)是奇函数 C) 是偶函数 (D) 是偶函数【例题讲解】例1:判断下列函数的奇偶性(先看定义域,后看f(x)与f(-x)关系)1) 2)3)例2:设是上的奇函数,当时,则等于【变题】设是定义在实数集R上的函数,且满足
3、,如果,求例3:设是定义在上的奇函数,且,又当时,(1)证明:直线是函数图象的一条对称轴:(2)当时,求的解析式。【变题】设是定义在上的奇函数,且它的图象关于直线对称,求证:是周期函数.【命题展望】1. (2020福建卷)已知是周期为2的奇函数,当时,设则( )(A)(B)(C)(D)2. (07全国)设,是定义在R上的函数,则“,均为偶函数”是“为偶函数”的( )A充要条件 B充分不必要的条件C必要不充分的条件D既不充分也不必要的条件(07江西)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为 A B0 C D5(07安徽)定义在R上的函数既是奇函数,又是周
4、期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为 A.0B.1C.3D.5 (07天津)在上定义的函数是偶函数,且,若在区间是减函数,则函数( )A.在区间上是增函数,区间上是增函数B.在区间上是增函数,区间上是减函数C.在区间上是减函数,区间上是增函数3. (2020安徽卷)函数对于任意实数满足条件,若则_。4. (2020全国卷I)已知函数,若为奇函数,则_。5. (2020上海春)已知函数是定义在上的偶函数. 当时,则当时, .函数的奇偶性和周期性(作业)1、若是奇函数,则下列各点中,在曲线上的点是 ( ) A、B、C、D、2、下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的
5、是( )A、B、C、D、3、定义在区间(-,+)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合.设ab0,给出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);(a)-f(-b)g(b)-g(-a),其中成立的是 ( )(A)与(B)与(C)与(D)与4、已知是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则_5、是定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是6、已知函数7、已知函数在R是奇函数,且当时,则时,的解析式为_8、定义在上的奇函数,则常数_,_9、判断下列函数的奇偶性1)2)10、已知,(1)判断的奇偶性;(2)证明:11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围.12、设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有. (I)设,求; (II)证明是周期函数.