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1、广西南宁市第三中学2020学年高一数学下学期第三次月考试题（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数关系中，正弦与余弦的平方和为1这个公式，可以求出，再利用同角三角函数的商关系，求出的值.【详解】，.故选：C【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.2.设，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设得02，0，0，2.3.在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（ ）A. 9
2、B. 18C. 36D. 52【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.【详解】在等差数列中，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.4.设分别为的三边的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】=,选A.5.已知向量，若向量的夹角为，则实数（ ）A. B. C. 0D. 【答案】B【解析】因为所以解得，故选B.考点：平面向量的数量积、模与夹角.【此处有视频，请去附件查看】6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其
3、关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 192里B. 96里C. 48里D. 24里【答案】B【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则，解出，所以，选C.7.在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，的部分图像如图所示，则（ ）A. 为，为，为B. 为，为，为C. 为，为，为D. 为，为，为【答案】B【解析】【分析】从振幅、最小正周期的大小入手：的振幅最大，故为；的最小正周期最大，故为，从而为.【详解】的振幅为，最小正周期为：；的振幅为1，最
4、小正周期为：；的振幅为1，最小正周期为：，的振幅最大，故为，的最小正周期最大，故为，从而为，故本题选B.【点睛】本题考查了正(余)弦型函数的振幅、最小正周期，考查了数形结合思想.8.设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解析：不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值69.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数f（x）得即或所以考点：分段函数和解不等式【此处有视频，请去附件查看】10.等比数列的前项和为，又和是方程的两根.则（ ）A. 10B. 10或C
5、. D. 5或【答案】A【解析】分析】解出方程的解，进而求出和，利用等比数列前项和性质，可知成等比数列，这样根据等比中项，可得等式，这样可以求出的值.【详解】，由题意可知：.又成等比数列，或，又.故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的解、等比数列前项和性质，考查了数学运算能力.11.设锐角的三个内角所对的边长分别为，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理，结合，可得，根据三角形是锐角三角形和 ，可以求出角的取值范围，这样就可以求出的取值范围.【详解】由正弦定理可知：，因为，所以有,则，是锐角三角形，所以有，从而，又，所以，所以有，所以.故选：C【
6、点睛】本题考查了正弦定理、锐角三角形的性质、余弦函数的性质，考查了数学运算能力.12.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.【点睛】本题主要考查函数恒成立问题的转化，基本不等式的应用，解题的关键是由已知函数的解析式判断出函数的单调性及函数的奇偶性，利用参变分离法是解决不等式恒成立问题常用方法.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的值是_【答案】【解析】【分析】逆用二倍角
7、的正弦和余弦公式进行化简，然后再利用诱导公式进行角之间的变换，最后计算结果.【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了二倍角的正弦和余弦公式、诱导公式，逆用公式是解题的关键.14.若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为_【答案】3-1<a<1【解析】试题分析：令f(x)= x2+ax+a2-1,由题意得f(0)0即a2-10-1a1。考点：主要考查一元二次方程根的分布、一元二次不等式解法。点评：基本题型，借助于二次函数图象，建立参数的不等式。数形结合思想的应用。15.三角形的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则_【答案】【解析】试题分析：由题可得，又c=2a，所以.考点:等比
8、数列的概念，余弦定理.16.设实数满足条件，若目标函数最大值为12，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线，找到在纵轴上截距最大时，经过的点，得到等式，利用基本不等式求出的最小值.【详解】由可行域可得，当，时，目标函数取得最大值，即，.故答案为：【点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，角所对边分别为.已知，且.（1）求角大小.（2）若，求的面积的大小.【答案】（）（）【解析】【分析】(
9、1)由得，再利用正弦定理化简即得A的值.(2)先由余弦定理得（舍去）或，再求三角形的面积.【详解】（1）， . ， , , （2），（舍去）或， 的面积.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.数列的前项和为，又是方程的解.（1）求数列的通项公式.（2）数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出方程的解，这样得到的表达式，利用，求出数列的通项公式；（2）根据的正负性进行分类：分别利用等差数列的前项和公式求出数列的前项和为.【详解】（1）由，时，时，符合上式，所以.（2）令，又，时，（或
10、）.时，（或），.【点睛】本题考查了利用前项和公式求数列通项公式、利用等差数列前项和公式求数列之和，考查了分类思想.19.如图所示，已知半圆的直径，点在的延长线上，点为半圆上的一个动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧，设.（1）当时，求四边形的面积.（2）求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求出的长，然后利用三角形面积公式，求出四边形的面积；（2）在中，利用余弦定理求出的长，然后利用三角形面积公式，求出四边形的面积的表达式，利用辅助角公式进行化简，根据的取值范围，求出四边形面积的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，所以，（2）
11、在中，由余弦定理得：，当即时，.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式、辅助角公式，考查了数学运算能力.20.（1）对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围构成的集合.（2）已知都是正实数，且，求的最小值及相应的的取值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，可以得到，解这个不等式即可；（2）由，可以得到，再由都是正实数，可以得到（当且仅当时，等号成立），这样可以得到，解这个不等式，然后根据等号成立的条件求出的值.详解】（1）由，由题意知，即，解得或，的取值范围构成的集合为：.（2）解：由，得，即，等号成立的条件是，此时，故的最小值是【点睛】本题考查了不等式恒成立问题、以及基
12、本不等式的应用，考查了数学运算能力.21.已知函数的图像过点，且点在函数的图像上，又为等比数列，.（1）求数列及通项公式.（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式中，求出的值，再把代入函数的解析式中，求出数列的通项公式，再根据数列通项公式，求出，也就可以求出等比数列的公比，最后求出的通项公式；（2）根据数列及的通项公式，可以求出的表达式，也就求出的表达式，最后用裂项相消法求出数列的前项和为，这样就可以证明出.【详解】（1）函数的图像过点，.又点在函数的图像上，从而，即，公比.（2），【点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函
13、数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前项和.22.数列满足：，对任意的都成立，又令.（1）求数列的前项和.（2）若，是否存在，使，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，递推当时，得到 ，两个式子相减，得到的表达式，验证当时，是否成立，然后用错位相减法，求出数列的前项和；（2）设，判断函数的单调性，然后根据，进行判断是否符合题意.【详解】（1）由已知，已知时，-得：，求得不满足上式.，.-：；（2）由题意，当时，单调递增，且，所以时，又，所以，不存在，使得.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式、以及错位相减法求数列前项和，考查了数列的函数特征.
