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1、北京市首都师范大学附属中学2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案.【详解】解：故选：A【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算属于简单题.2.下列函数中，与是相同的函数是A. B. C. D. 【答案】B【解析】A.与的对应关系和值域不同，不是相同函数，B. ，是相同函数，C. 与的定义域不同，D.函数的三要素都不相同，不是相同函数，故选B.3.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D.
2、【答案】C【解析】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：，利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.本题选择C选项.点睛：三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在a，b上单调且f(a)f(b)0，则f(x)在a，b上只有一个零点.4.已知，则a，b，c的大小关系（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a与b的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到，得到最终的结果.【详解】由指数函数和对数函数图像
3、可知：，则的大小关系是：.故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过题意，利用函数单调性及奇偶性的定义依次分析四个选项中函数，可得答案.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，为二次函数，其对称轴为y轴，在其定义域内既是偶函数但在上单调递减，不符合题意；对于B，在其定义域内既是偶函数但在上单调递减，不符合题意；对于C，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增，符合题意；对于D，为奇函数，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查函数的
4、奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题6.函数在上是减函数，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解【详解】解：依题意，解得，故选：B【点睛】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点处函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全7.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得
5、，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递减，则在上，在上，,又由为奇函数，则在上，在上，则的解集为的解集为；或，分析可得：或，故不等式的解集为；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析与的解集，属于基础题8.已知函数若对任意，总有或成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知时，成立，进而得到对均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案【详解】解：由，得，故对时，不成立，从而对任意恒成立，由于对任意恒成立，如图所示，则必满足，解得
6、则实数a的取值范围是故选：C【点睛】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.给定映射，则在映射f下，的原象是_【答案】（1，1）【解析】【分析】由题意可得，求解方程组得答案【详解】解：由题意，解得在映射f下，的原象是故答案为：【点睛】本题考查映射的概念，是基础的计算题10.求值：2 +=_。【答案】-3【解析】【分析】利用对数、指数的性质和运算法则求解【详解】解：（）lg（1）lg1（）32+（）02+13故答案为：3【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法
7、则的合理运用11.已知函数在区间上的函数值恒为正，则b的取值范围为_【答案】【解析】【分析】结合函数是增函数，转化为即可【详解】解：为增函数，若在区间上的函数值恒为正， 则只需要即可，即， 即实数b的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，利用函数为增函数，转化为最小值大于等于0是解决本题的关键12.函数的单调递减区间为_【答案】【解析】【分析】根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间【详解】解：由得：，故函数的定义域是；令，则，为减函数，在上为增函数，在上为减函数；故函数单调递减区间为是故答案为：【点睛】本题考查的知识点是复
8、合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档13.已知三个函数的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_【答案】【解析】【分析】根据函数解析式判断出都是单调递增函数，运用函数零点定理判断的范围即可得的大小【详解】解：由于故的零点的零点；的零点，由于函数均是定义域上的单调增函数，.故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可14.某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设，则请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是_；函数的零点的个数是_【答案】 (
9、1). (2). 2【解析】【分析】从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数的零点的个数就是的解的个数【详解】解：由题意可得函数，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，当点P在BC的中点上时，即三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，取得最小值；当P在点B或点C时，取得最大值函数的图象的对称轴是；，即故函数零点的个数就是的解的个数而由题意可得的解有2个，故答案为：；.【点睛】本题主要考查方程的根的存在性及个数判
10、断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.己知集合,（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围（2）由，得到，由此能求出实数a取值范围【详解】解：（1）集合，或，解得实数a的取值范围是（2）或，解得或实数a的取值范围是或【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题.16.已知函数（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并
11、给予证明；（3）求关于x的不等式的解集【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由函数分析式分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案【详解】解：（1）根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为；（2）首先，定义域关于原点对称，函数，则则函数为奇函数，（3）根据题意，即，当时，有，解可得，此时不等式的解集为；当时，有，解可得，此时不等式的解集为；故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇
12、偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题。研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.17.定义在上的奇函数，已知当时，（）求在上的解析式（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据奇函数的性质即可求出a，设时，易求，根据奇函数性质可得；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决.详解：（）是定义在上的奇函数，得又当时，当时，又是奇函数
13、，综上，当时，（），恒成立，即在恒成立，在时恒成立，在上单调递减，时，的最大值为，即实数的取值范围是点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立问题，考查学生解决问题的能力.18.对于函数，若存在实数，使得成立，则x0称为f（x）的“不动点”（1）设函数，求的不动点；（2）设函数，若对于任意的实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）设函数定义在上，证明：若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点【答案】（1）不动点为-1和2；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）设x为不动点，则有，得，解方程即可（2）证法一：设为不动点，则，否则设，则也为不动点，与已知存在
14、唯一的不动点矛盾由此能证明若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点证法二：设a是的唯一不动点，设，则，由唯一性，得到，从而a是的不动点如果f有其它的不动点c，则c也是的不动点，由唯一性得，由此能证明若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点【详解】解：（1）由函数，得解得或，的不动点为-1和2（2）由得：由已知，此方程有相异二实根，恒成立，即即对任意恒成立实数a的取值范围是证明：（3）证法一：设函数定义在上，存在唯一的不动点，首先若为不动点，则否则设，则也为不动点，即不动点不唯一，与已知存在唯一的不动点矛盾有不动点时，的不动点也是的不动点，若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点证法二：设a是的唯一不动点，设，则b也是的不动点由唯一性，得到，从而a是的不动点如
