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1、利用数形结合思想求函数最值摘 要: 在初等教育和高等教育阶段, 求函数最值一直是热点和难点问题, 本文着重讨论利用数形结合的思想求解函数最值, 针对研究问题中的条件和结论之间的内在联系, 利用向量, 直线斜率, 点到直线距离等几何知识解决问题, 即分析其代数含义, 揭示其几何意义, 使数量关系和空间形式巧妙结合. 关键词: 数形结合；函数；最值 Abstract：In elementary education and higher education stage, the function most value has been a hot and difficult problem, thi
2、s paper focuses on using the number form combining ideas to solve the function most value, in view of the conditions of the research problem and conclusions inner link between the use of vector, linear slope, point to the straight line distance geometry knowledge to solve the problem, namely to anal
3、yze its implication algebra, reveal its geometric meaning, makes quantitative relation and spatial form combined together. Key words：symbolic-graphic combination; function; extremum 函数作为高等数学的重要组成部分,是我们学习的基础和进一步学习的关键,其最值是函数的重要形态,也是函数问题中的一大难点, 不论在高等数学或是初等数学中, 研究范围都相当广泛，其解法也是灵活多样,并且综合性强，体现掌握数学各分支结构,能综合
4、运用数学各方面内容,选择正确的方法进行求解是很重要的, 因为这样可以使问题化难为易, 化生为熟, 使计算过程既简洁又生动形象。另外,几何图形也是研究函数性质的一个重要的辅助工具, 它能直观的反映函数本身的特性, 使函数形象化。许多的数学问题题其实均隐含着“形”方面的信息, 如果能充分利用这个“形”把复杂的数学问题变为简单的几何问题, 便可使问题简捷获解。目前有许多学者研究了用几何方法求解函数最值问题. 文献1-4对函数最值的数形结合做了详细的阐述, 文献5,7,8通过对向量的深入理解, 将其运用到解函数最值中, 使问题由难化简. 文献6通过对构造几何图形让函数最值问题的解一目了然。为了系统掌握
5、利用数形结合思想求解函数最值问题的方法，本文将主要研究利用函数的不同形式给出数形结合在解决函数最值中的应用，通过数学问题的条件和结论之间的内在联系，利用向量、直线斜率、点到直线距离、数形结合等几何知识解决问题，使数量关系和空间形式巧妙结和，有利于学生分析题中数量之间的关系，迅速发现和找到问题的突破口，从而提高解决问题的能力，也让学生体会到数学的无穷魅力，激发学生进一步的进行探索。掌握了数形结合思想，不仅能提高数形转化的能力，还可以提高思维迁移能力，接下来给出一些例子加以详细的说明。1 利用数轴上的截距解函数最值 截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差， 可取正数也可取负数或0。求形如的函数最值
6、，可以把当作是变量，即令，方程一般表示一条曲线, 则可以当作是的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值. 例1.1 已知数满足， 求的最值。 解 令则 因为的圆心为， 以及它到直线的距离为， 所以， 可得。于是 例1.2 求函数的最值。 解 令有又因此可看成是直线系和椭圆在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得图1.1例1.3 求函数的最值。 解 设整理可得。 （1）因此，可看出方程（1）表示平面上的一个半圆且它与轴在与处相交。图1.2进一步原函数可以写成, （2） 方程（2）表示平面上斜率为-1的直线系，表示此直线系在u轴上的截距，通过计算可得函数与半圆相切的直线
7、在轴上的最大截距为7， 即而过直线在轴上的最小截距为 即。2 利用两点间的距离公式解函数最值 两点间的距离公式分为平面和空间两种形式, 在平面内设则在空间中, 可设 则例2.1 求函数的最小值.解 如图所示。 图2.1由于 , 且是点到点的距离之和，关于轴的对称点为，因此 。故 。例2.2 已知:如图所示, 点分别在棱长为1的正方形的对角线和棱上运动，求两点间的距离的最小值.解 根据几何知识中空间相异的两条直线间公垂线最短可知：图2.2当为公垂线段的两端点时， 两点之间的距离是最小的，又因为直线和的公垂线为两者中点的连线. 从而, 根据图形可知为为因此 例2.3 求函数的最小值，并求出此时的值
8、。解 将已知函数进行整理可得上式表明是点到点的距离之和（如下图所示），图2.3要求其最小值，只需在轴上找到一点，使得到，的之间距离之和达到最小即可。通过进一步的求解，有。并且，可得直线的方程，令，通过求解可得，因此此当时，注1 空间两点间的距离是平面两点间距离的推广，其应用广泛，应熟练掌握.。3 利用构造法求函数最值“构造法”是根据数学问题的条件或结论的典型特征，利用已知条件中的元素和已知的数学关系，构造出一种相关的数学对象，从而将问题转化并获得有效的解决的一种方法。3.1 利用直线的斜率构造根据一些题中给出的代数式可联想到平面几何中两点坐标求直线斜率的公式,设两点所确定的直线斜率为, 则 例
9、 3.1.1 求函数的最值。解 根据题中形式可知, 此问题可转化为两点与所确定的直线斜率的最值问题。由于 ，可知点在以圆心,1为半径的圆周上。（如图所示）图 3.1设经过点的直线方程为代入有 根据可知 因此 3.2 利用直线与圆的位置关系构造在一般情况下, 直线和圆的位置关系有三种：相交, 相离或相切。通过二者之间的位置关系可以求解函数的最值。例 3.2.1 求函数的最值。解 令可知且因此 , (1) , (2)这表明式是与直线平行的一个平行线系。从而, 问题转化成为平行线系和圆相交的直线中, 在轴上的截距最大和最小者, 易知,经过与的直线在轴上可以取得最小与最大值, 将两点分别代入式可得3.
10、3 利用矩形的特性构造 例3.3.1 已知:,，求的最小值。解 由于 , 构造边长为的正方形, 并将一组邻边中的一条分成部分, 长度分别为, 另一条为，如下图所示。图3.2可得,即 ,根据上式可知, 当且仅当时, 函数取到最小值.3.4 利用立方体特性构造例3.4.1 已知均为锐角且求的最小值.图3.3 解 设长方体的长、宽、高分别为，可知，因此 (当时取等号)。上式表明, 当且仅当时, 3.5 利用向量性质构造近年来，向量越来越受到人们的重视。这主要是由于向量是沟通代数、几何和三角函数的一个重要的工具，并且有着非常丰富的实际背景。针对某些代数问题, 如求函数最值，如果能巧妙的构造向量，可将其
11、转化为向量问题。在学习向量的过程中由可知，有以下几个结论： 1) 当与同向时取等号；2) ,当与平行时等号成立；3) 当与平行时等号成立；4) 当与反向且时左边不等式取等号，当与同向时右边不等式取等号；5) 当与同向且时左边不等式取等号，当与反向时右边不等式取等号。以上这些结论都是用向量不等式求函数最值的依据。例3.5.1 求函数的最小值。方法1 通过上式可联想到两点间的距离公式, 然后由三点共线距离最短求出最小值, 为此构造三个点.解 设, 则原问题可转化为在轴上求一点, 使的和最小. 设点关于轴的对称点为, 根据对称性可知当且仅当三点共线时等号成立(如图1). 此时 .因此, 函数的最小值
12、为.方法2 函数式的结构呈现出两个向量模的形式, 一次构造两个向量, 并使它们的和的模恰为定值, 为使用向量不等式创造了必要的条件.解 设, 则 由于则 当与同向，即 时，不等式取等号。从而 函数的最小值为注2 方法1是通过构造两点间的距离公式，利用几何意义来解决。方法2是利用构造向量，通过向量不等式来解决。两种方法各有千秋，尤其是利用向量不等式的方法，较为新颖、明快。此例说明了通过巧妙的利用向量可以解决某些无理函数的最值问题。例3.5.2 已知是正实数，是正常数，且求的最大值。 解 构造向量 ,则 ,因此 （*）又所以 . (*)同样当且仅当。有（*）（*）联立可得.因此，当 例 3.5.3
13、 设，且，如果恒成立，求的最大值。 解 设, 则 根据上式化简得 (1)当且仅当，且，同向时，即时，上式等号成立。又已知不等式（1）恒成立所以，即。 注3 利用向量内积求函数最值的问题，关键是要找到题目的结构特征，并由此构造出两个适当的向量。在构造向量时，应考虑到向量模和内积这三个量， 必须有两个向量是确定的量，另一个正好是所要求的函数式，从而直接求出函数的最值。4 线性规划问题中的函数最值例4.1 设目标函数，式中变量满足下列条件求的最大值。解 如下图可行区域中阴影部分所示，图 4.1平行移动直线，可知，它到直线与直线的交点处与原点的距离最远，因此可以使得目标函数达到最大，即注4 以上给出了利用数形结合求函数最值的几种方法，这些方法最大的优点是将抽象的数学语言用于直观的几何图中，运用几何直观寻求解题思路，从而使灵活多变、复杂难解的函数最值问题简单化、直观化。从而能够轻松简便的求解函数最值问题。5 结束语本文利用数形结合思想对函数的最值问题通过
