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1、第4课时两条直线的平行与垂直1.掌握直线与直线的位置关系.2.能根据直线的方程判定两条直线平行或垂直,能利用两条直线平行或垂直的关系求直线的方程.3.会求关于已知直线对称的直线方程.如图,直线m的方程为2x-y+2=0,直线n绕着点P(1,-1)旋转,当直线n旋转到与直线m平行的时候,直线n的斜率是多少?当直线n旋转到与直线m垂直的时候,直线n的斜率是多少?问题1:在上述情境中,当mn时,直线n的方程为2x-y-3=0;当mn时,直线n的方程为x+2y+1=0.问题2:两直线平行的判定(1)斜截式:直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为y=k2x+b2,则mnk1=k2且b1b2;直线
2、m,n重合k1=k2且b1=b2.(2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为A2x+B2y+C2=0,则mnA1B2=A2B1且A1C2A2C1、B1C2B2C1,两个不等式至少有一个成立;直线m,n重合A1B2=A2B1且A1C2=A2C1、B1C2=B2C1.问题3:两直线垂直的判定(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为y=k2x+b2,mnk1k2=-1.(2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为A2x+B2y+C2=0,mnA1A2+B1B2=0.问题4:中心对称问题(1)点关于点的对称:若点M(x1,y1)
3、及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得;(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程.问题5:轴对称问题(1)点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的对称点(x2,y2)可由y2-y1x2-x1(-AB)=-1(B0),Ax2+x12+By2+y12+C=0得出对称点坐标.(2)直线关于直线对称求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法:转化为点关于直线对称.在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再用两点式求出l2的
4、方程.1.已知两条不重合的直线l1、l2,有下列说法:若直线l1与l2的斜率相等,则l1l2;若直线l1l2,则两直线的斜率相等;若直线l1、l2的斜率均不存在,则l1l2;若两直线的斜率不相等,则两直线不平行;如果直线l1、l2平行,且l1的斜率不存在,那么l2的斜率也不存在.其中正确的个数是().A.1B. 2C.3D.42.已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且MPN为直角,则点P的坐标是().A.(1,0)或(6,0)B.(1,0)C.(-6,0)D.(1,0)或(-6,0)3.下列命题正确的有.(1)任何一条直线都有倾斜角,也有斜率;(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0或
5、180;(3)直线的斜率范围是(-,+);(4)过原点的直线,斜率越大越靠近x轴;(5)两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等;(6)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等.4.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:(1)过点B(-3,0),且垂直于x轴;(2)在y轴上的截距为3,且平行于x轴.直线方程的应用(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线方程;(2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2垂直的直线方程.平面几何中的平行与垂直问题已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.(2)求ABC中AB边上的高所在的直线
6、方程.对称问题光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的方程.(1)求与直线y=-2x+10平行,且在x轴、y轴上的截距之和为12的直线的方程.(2)求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABDC为直角梯形.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是().A.x-2y+1=0B.x-2y-1=0C.x+y-1=0D.x+2y-1=01.若直线
7、l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1),且与斜率为-23的直线垂直,则实数a的值是().A.-23B.-32C.23D.322.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,-m)的直线平行,则m的值为().A.-1B.1C.2D.12 3.直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直,则m为.4.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.已知直线l的方程为3x+4y-12=0.(1)l与l平行,且l过点(-1,3),求直线l的方程;(2)l与l垂直,且l与两坐标轴围成的三角形面积为4,求
8、直线l的方程.考题变式(我来改编):第4课时两条直线的平行与垂直知识体系梳理问题1:2x-y-3=0x+2y+1=0问题2:(2)不等式至少有一个成立A1B2=A2B1且A1C2=A2C1、B1C2=B2C1问题4:(1)x=2a-x1,y=2b-y1问题5:(1)Ax2+x12+By2+y12+C=0基础学习交流1.D中斜率可能不存在,正确.2.A设P(x,0),则0-2x-20+2x-5=-1,x=1或x=6.点P的坐标是(1,0)或(6,0).3.(3)(5)(1)倾斜角为90的直线没有斜率;(2)直线的倾斜角的取值范围是0,180);(4)斜率的绝对值越大,其对应的直线越靠近y轴;(6
9、)倾斜角为90的直线没有斜率.4.解:(1)x=-3,即x+3=0.(2)y=3,即y-3=0.重点难点探究探究一:【解析】(1)由y=2x+7得k1=2,因为所求直线与直线y=2x+7平行,所以k=k1=2,所以所求直线方程为y-1=2(x-1).(2)因为所求直线垂直于直线y=-2,所以所求直线的斜率不存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为x=-1.【小结】直线的平行与垂直的位置关系是解析几何的重要位置关系,解决问题的关键就是抓住平行或垂直时斜率的关系.同时,一定要注意直线的斜率是否存在,若不能确定直线的斜率是否存在,则要进行分类讨论.探究二:【解析】设D(m,n),由已知
10、得kAB=34,kAC=2,kBD=n-4m-5,kCD=n-3m-2.因为四边形ABDC是平行四边形,如图,所以由ABCD34=n-3m-2,由ACBD2=n-4m-5,由解得m=6,n=6,即D(6,6).(2)设AB边上的高所在的直线斜率为k,则kkAB=-1,因为kAB=4-15-1=34,所以k=-43,且经过点C,故AB边上的高所在的直线方程为y-3=-43(x-2),整理得4x+3y-17=0.【小结】解平面几何中的平行或垂直问题,要注意平面图形的几何性质并加以利用,比如三角形中的中线、角平分线、高,特殊四边形的性质,等等,都要转化为坐标运算.探究三:【解析】作出草图,如图所示.
11、设A点关于直线y=x的对称点为A点,D点关于y轴的对称点为D点,则易得A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C,故BC所在的直线方程为y-66+4=x-11+2,即10x-3y+8=0.【小结】解决这类对称问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.思维拓展应用应用一:(1)设所求直线的方程为y=-2x+,则它在y轴上的截距为,在x轴上的截距为12,+12=12,=8.故所求直线的方程为y=-2x+8,即2x+y-8=0.(2)(法一)已知直线的斜率是-23,所求直线与已知直线平行,所求直线的斜率
12、也是-23.根据点斜式,得所求直线的方程是y+4=-23(x-1),即2x+3y+10=0.(法二)设所求直线的方程为2x+3y+b=0,直线过点A(1,-4),21+3(-4)+b=0,解得b=10.故所求直线的方程是2x+3y+10=0.应用二:设D(x,y),(1)当B、D为直角顶点时,ABCD(如图1),kCD=kAB,yx-3=3,即y=3x-9.又BDCD,kBDkCD=-1,yx+1yx-3=-1,即x2+y2-2x-3=0.解联立的方程组,得x=135,y=-65,或x=3,y=0(舍去).(2)当C、D为直角顶点时,ACBD(如图2),kBD=kAC,yx+1=-1,即y=-
13、x-1.又BDCD,kBDkCD=-1,yx+1yx-3=-1,即x2+y2-2x-3=0.解联立的方程组,得x=1,y=-2,或x=-1,y=0(舍去).综上所述,点D的坐标为(135,-65)或(1,-2).应用三:Bl1与l2关于l对称,则l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上的一点,设其关于l的对称点为(x,y),则x+02-y-22-1=0,y+2x1=-1,得x=-1,y=-1,即(1,0),(-1,-1)为l2上的两点,可得l2的方程为x-2y-1=0.基础智能检测1.Akl=1+1-2a=-1a,且-1a(-23)=
14、-1,a=-23.2.B由0-(-2)5-2=-m-1-1-2m,得m=1.3.-2或1当斜率不存在时,m=0,则两直线平行,不合题意,所以两直线的斜率都存在.由k1k2=-1可得(-2-mm)1m=-1,解得m=-2或m=1.(此题也可直接用2-m+m(-m)=0求解)4.解:设第四个顶点D的坐标为(x,y),由题意可知,ADCD,ADBC,kADkCD=-1,且kAD=kBC,y-1x-0y-2x-3=-1,y-1x-0=2-03-1,解得x=2,y=3,第四个顶点的坐标为(2,3).全新视角拓展(1)因为直线l的斜率k=-34,且ll,所以直线l的斜率k=-34,所以由点斜式得y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.(2)由直线l的斜率k=-34,且ll,可得直线l的斜率k=43.设直线l的方程为y=43x+b,由y=0得x=-34b,由x=0得y=b.由S=12|-34b|b|=4,得b2=323,即b=436,所以直线l的方程为y=43x436,即4x-3y46=0.思维
