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1、2.4函数与方程1函数的零点(1)概念一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点谈重点 对函数零点定义的理解(1)函数的零点可以理解为一个函数的图象与x轴的交点的横坐标(2)并不是所有的函数都有零点，如函数yx24，y3，y3x21等都没有零点(2)意义方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点求函数的零点就是求相应的方程的根，函数f(x)的零点就是方程f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根(3)二次函数yax2bxc(a0)的零点与相应的一元二次方程的根b24
2、ac000ax2bxc0(a0)x1，x2x1x2方程无实根yax2bxc(a0)的图象零点个数2个1个二重零点0个b24ac000与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)(或(x2,0)无来源:数理化网例11】函数f(x)x4x的零点是()A0 B0,1C0,1，1 D无穷多个解析：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数解，由x4x0，得x(x31)0，故x0或x1.因此，函数f(x)x4x有2个零点，分别是0,1.答案：B点技巧 函数零点与方程解的关系求函数f(x)的零点时，可考虑解方程f(x)0，方程f(x)0的解就是函数f(x)的零点方程f(x)0有解则函数有零点方程f
3、(x)0无解则函数无零点【例12】已知函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca1 Da1解析：由函数的零点与方程的解的关系可知，若函数f(x)x22xa没有零点，则方程x22xa0没有实数解，即44a0，所以a1.来源:答案：B2零点存在性的判断方法(1)如果函数yf(x)在一个区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.(2)若函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则这样的零点为变号零点；(3)若函数f(x)的图象通过零点时没有穿过x轴，则这
4、样的零点为不变号零点(4)二次函数零点的性质当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号谈重点 如何理解零点的判断方法1当函数yf(x)同时满足：函数的图象在闭区间a，b上是不间断的；f(a)f(b)0时，才能判定函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解，这两个条件缺一不可，也就是说，当函数yf(x)的图象在闭区间a，b上是间断的，或不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间a，b内可能存在零点，也可能不存在零点，相应的方程f(x)0在区间(a，b)内可能有实数解，也可能没有实数解例如，
5、二次函数f(x)x22x3在区间2,4上图象是不间断的，而f(2)f(4)0，但是函数f(x)x22x3在区间2,4内有两个零点1和3，相应的方程x22x30有两个实数解x1或x3；又如，分段函数f(x)在区间1,1上有f(1)f(1)(4)20，但是其图象在区间1,1上是间断的，函数f(x)在区间(1,1)内无零点在这里所说的“不间断的”是相对于某个区间而言，当f(a)f(b)0时，只要函数f(x)在a，b上的图象是不间断的，则函数在(a，b)内就存在实数解也就是说，“不间断的”只要在区间a，b上满足即可2函数零点的判断方法指出了函数零点和相应方程实数解的存在，并不能判断具体有多少个零点，多
6、少个实数解【例21】函数f(x)x32x23x6在区间2,4上的零点必在的区间是()A2,1 BC D解析：由于f(2)0，f(4)0，f(1)0，来源:所以零点在区间内答案：D【例22】已知函数f(x)x3，则f(x)0在区间(1,3)内()A恰有一个解 B恰有两个解C至少有一个解 D无解解析：因为f(x)x3的图象在区间1,3上是连续不间断的，且在1,3上是递增的，f(1)f(3)(1)0，所以f(x)x3在区间(1,3)内恰有一个零点，即f(x)0在区间(1,3)内恰有一个实数解答案：A点技巧 单调性与函数零点的关系函数在区间a，b上的图象是不间断的曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(
7、a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)上有且只有一个零点，方程f(x)0在(a，b)上有且只有一个实数解【例23】求函数f(x)x3x的零点，并画出它的图象分析：解方程f(x)0，求零点若方程是高次，一般考虑利用因式分解解：f(x)x3xx(x21)x(x1)(x1)，令f(x)0，即x(x1)(x1)0，解得已知函数的零点为1,0，1.这三个零点把x轴分成4个区间：(，1，(1,0，(0,1，(1，)在这四个区间内，取x的一些值(包括零点)列出这个函数的对应值表：x1.510.500.511.5y1.87500.37500.37501.875在直角坐标系内描点作图，这个函数的图象如下图
8、所示点技巧 函数零点与函数的性质、图象间的关系利用函数的零点，可研究函数的性质，并能较准确地画出函数的图象事实上，由于该函数是奇函数，可只作出当x0时的部分图象，再利用对称性画出另一部分的图象即可3求函数零点近似解的一种计算方法二分法(1)二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)“二分法”求函数零点的一般步骤已知函数yf(x)定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度用二分法求函数零点的一般步骤：在D内取一个闭区
9、间a0，b0D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中取区间a0，b0的中点，则此中点对应的坐标为x0(a0b0)计算f(x0)和f(a0)，并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标为x1(a1b1)计算f(x1)和f(a1)，并判断：如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a1，
10、x1上，令a2a1，b2x1；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1.继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当区间长度bnan不大于给定的精确度时，这个区间an，bn中的任何一个数都可以作为函数yf(x)的近似零点，计算终止谈重点 对二分法的进一步理解(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合(2)初始区间a，b决定了求哪一个零点，初始区间a，b的长度ba关系着解题过程的繁琐程度区间越短，求解过程越简短(3)二分法常用来求函数指定区间上的某一个零点，不便于求解其所有零点【例3】求
11、方程x5x33x230的无理根(精确到0.01)分析：求方程的无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一个方程的无理根问题方程x5x33x230的无理根是x330的根，只需求出g(x)x33的零点即可解：令f(x)x5x33x23，则f(x)(x21)(x33)，显然无理根就是x330的根令g(x)x33，以下用二分法求函数g(x)的零点由于g(1)20，g(2)50，故可取1,2作为计算的初始区间，列表如下：端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间a01，b02g(1.5)0.37501,1.51.25来源:g(1.25)1.04701.25,1.51.375g(1.375)
12、0.400 401.375,1.51.437 5g(1.437 5)0.029 501.437 5,1.51.468 75g(1.468 75)0.168 401.437 5,1.468 751.453 125g(1.453 125)0.068 401.437 5,1.453 125来源:1.445 312 5g(1.445 312 5)0.019 201.437 5，1.445 312 5由于1.445 312 51.437 50.007 812 50.01，因此可取1.44作为原方程的无理根析规律 利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点；(2)明确精确度和函数的零点
13、所在的区间(通常区间的左右端点相差)；(3)利用二分法求函数的零点；(4)归纳结论4一元二次方程根的分布问题关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想，一般要考虑四个因素：(1)二次项的系数；(2)判别式；(3)对称轴；(4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解决我们知道函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用，有些看似复杂的问题，借助零点都能迎刃而解【例4】已知关于x的方程3x25xa0的两根x1，x2满足x1(2,0)，x2(1,3)，求实数a的取值范围解：关于x的方程3x25xa0的两根x1，x2满足x1(2,0)，x2(1,3)，函数f(x)3x25xa有两个零点x1，x2，且
