第11章 图像正交变换

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1、 问题的提出 视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号 但是 往往许多问题在频域中讨论时 有其非常方便分析的一面 图像变换的目的 使图像处理问题简化有利于图像特征提取有助于从概念上增强对图像信息的理解 第11章图像正交变换 变换问题的引入 频率域幅值与频率 空间域灰度 什么是图像变换 将图像看成是线性叠加系统图像在空域上相关性很强图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换常用的变换 傅立叶变换 沃尔什变换 哈达玛变换 离散余弦变换 离散K L变换 小波变换 11 1傅立叶变换 傅立叶变换的作用 1 可以得出信号在各个频率点上的强度 2 可以将卷积运算化为乘积运算 3 傅氏变换和线性系统理

2、论是进行图像恢复和重构的重要手段 4 傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题 有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的 傅立叶变换的定义 若f x 为一维连续实函数 则它的傅里叶变换可定义为 傅立叶逆变换定义如下 函数f x 和F u 被称为傅立叶变换对 即对于任一函数f x 其傅立叶变换F u 是惟一的 反之 对于任一函数F u 其傅立叶逆变换f x 也是惟一的 傅里叶变换的条件 傅里叶变换在数学上的定义是严密的 它需要满足如下狄利克莱条件 1 具有有限个间断点 2 具有有限个极值点 3 绝对可积 F u 可以表示为如下形式 F u 称为F u 的模 也称为函

3、数f x 的傅立叶谱 称为F u 的相角 称为函数f x 的能量谱或功率谱 傅立叶变换在图像滤波中的应用首先 我们来看Fourier变换后的图像 中间部分为低频部分 越靠外边频率越高 因此 我们可以在Fourier变换图中 选择所需要的高频或是低频滤波 傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的 傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积 离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的定义 要在数字图像处理中应用傅立叶变换 还需要解决两个问题 一是在数学中进行傅立叶变换的f x 为连续 模拟 信号 而计算机处理的是数字信号 图像数据 二是数学上采用无穷大概念 而计算机只能进行有限次计算 通常 将

4、受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 离散傅立叶正变换 离散傅立叶逆变换 二维傅立叶变换 1 二维连续函数傅立叶变换的定义 二维傅立叶正变换 二维傅立叶逆变换 2 二维离散函数傅立叶变换的定义 根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论 对于一个具有M N个样本值的二维离散序列f x y x 0 1 2 3 M 1 y 0 1 2 3 N 1 其傅立叶变换为 1 二维离散傅立叶正变换 2 二维离散傅立叶逆变换 若已知频率二维序列F u v u 0 1 2 3 M 1 v 0 1 2 3 N 1 则二维离散序列F u v 的

5、傅立叶逆变换定义为 x y和 u v 分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔两者之间满足如下关系 式中序列R u v 和I u v 分别表示离散序列F u v 的实序列和虚序列 二维序列f x y 的频谱 傅立叶幅度谱 相位谱和能量谱 功率谱 分别如下 F u v 可以表示为如下形式 1 线性特性 二维离散傅立叶变换的性质 2 比例性质 3 平移性质 二维傅立叶变换的移位特性表明 当用乘以f x y 然后再进行乘积的离散傅里叶变换时 可以使空间频率域u v平面坐标系的原点从 0 0 平移到 u0 v0 的位置 先对行做变换 然后对列进行变换 f x y 0 0 N 1 M 1 x y F x v

6、 0 0 N 1 M 1 x v F x v 0 0 N 1 M 1 x v F u v 0 0 N 1 M 1 u v 4 可分离性 二维傅立叶变换的可分离特性表明 一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成 即 第一次先对y进行一维傅立叶变换 在此基础上对x进行一维傅立叶变换 若已知频率二维序列F u v 则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应 逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换 5 周期性 如果二维离散函数f x y 的傅里叶变换为F u v 则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性 6 共轭对称性 半周期的傅里叶频谱 全周期的傅里叶频谱 二维图像的傅里叶频谱 中心化的傅

7、里叶频谱 做代换有 如果被旋转 则被旋转同一角度 即有傅立叶变换对 7 旋转不变性 8 微分性质 9 平均值性质平均值定义如下 平均值性质如下 即 结论 二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1 MN 10 卷积定理 f x y h x y F u v H u v f x y h x y F u v H u v 二维傅立叶变换 幅值及相位 意义 左边一列 上方为原始图像 下方为本图的相关说明说明 中间一列 上图幅值谱 下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换 忽略相位信息 设相位为0 右边一列 上图相位谱 下图为根据相位谱的傅立叶逆变换 忽略幅值信息 设幅值为某一常数 图像的说明 Four

8、ier变换示意图 Fourier变换的频率特性 返回 Fourier变换的低通滤波 返回 Fourier变换的高通滤波 返回 Fourier变换的压缩原理 另一幅图像效果 压缩率为 1 7 1 压缩率为 2 24 1 压缩率为 3 3 1 Fourier变换的压缩原理 返回 压缩率为 8 1 1 压缩率为 10 77 1 压缩率为 16 1 1 快速傅里叶变换 问题的提出 离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具 然而 它的计算量较大 运算时间长 在某种程度上却限制了它的使用范围 二维离散傅立叶变换具有可分离性 即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到 因此 仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法

9、即可 改写公式 式中 W e j2 N 称为旋转因子 W e j2 N cos 2 N jsin 2 N 以N为周期 式中很多Wux系数相同 不必进行多次重复计算 FFT的推导过程 设N为2的正整数次幂 即 令M N 2 离散傅立叶变换可改写成如下形式 偶离散点 奇离散点 定义 于是 将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N 2短序列的离散傅立叶变换 即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe u 和Fo u 设N 23 7 2 2快速离散傅立叶变换 7 2 2快速离散傅立叶变换 蝶形运算单元 7 2 2快速离散傅立叶变换 7 2 2快速离散傅立叶变换 Fe u 和Fo u 都是4点的DFT 对

10、它们再按照奇偶进行分组 7 2 2快速离散傅立叶变换 8点DFT的蝶形流程图 例 0102030405060708 0102030405060708 3i 3 i030405060708 0 0 1 2 0 0 3 1 3 i 3 i 7 2 2快速离散傅立叶变换 0 0 3 4 0 0 7 1 7 i 7 i 3i 3 i7i 7 i05060708 3i 3 i030405060708 7 2 2快速离散傅立叶变换 0 0 5 6 0 0 11 1 11 i 11 i 3i 3 i7i 7 i05060708 3i 3 i7i 7 i11i 11 i0708 7 2 2快速离散傅立叶变换

11、0 0 7 8 0 0 15 1 15 i 15 i 3i 3 i7i 7 i11i 11 i0708 3i 3 i7i 7 i11i 11 i15i 15 i 7 2 2快速离散傅立叶变换 3 11 7 15 14 8 22 8 36 8 8i 8 8 8i 3i 3 i7i 7 i11i 11 i15i 15 i 36i 3 i 8 8ii 7 i 8i 11 i 8 8ii 15 i 7 2 2快速离散傅立叶变换 i i i i 2i 0 2i 0 4i 0 0 0 36i 3 i 8 8ii 7 i 8i 11 i 8 8ii 15 i 364i 3 i 8 8i0 7 i 80 11

12、 i 8 8i0 15 i 7 2 2快速离散傅立叶变换 3 11 7 15 14 8 22 8 36 8 8i 8 8 8i 364i 3 i 8 8i0 7 i 80 11 i 8 8i0 15 i 364i 36 i 8 8i08 8i i 808 i 8 8i08 8i i 7 2 2快速离散傅立叶变换 i i i i 2i 0 2i 0 4i 0 0 0 364i 36 i 8 8i08 8i i 808 i 8 8i08 8i i 364i 36 4i 8 8i08 8i0 8080 8 8i08 8i0 7 2 2快速离散傅立叶变换 MATLAB使用函数fft fft2和fftn

13、分别可以实现一维 二维和N维FFT算法 而函数ifft ifft2和ifftn则用来计算反FFT算法 调用格式如下 A fft X N DIM 其中 X表示输入图像 N表示采样间隔点 如果X小于该数值 那么MATLAB将会对X进行零填充 否则将进行截取 使之长度为N DIM表示要进行离散傅立叶变换 A fft2 X MROWS NCOLS 其中 MROWS和NCOLS指定对X进行零填充后的X大小 A fftn X SIZE 其中 SIZE是一个向量 它们每一个元素都将指定X相应维进行零填充后的长度 A fftshift X 可以用于调整fft fft2和fftn的输出结果 对于一维fft 将左

14、右元素互换 对于二维fft 进行对角元素的互换 对于n维fft 将各维的两半进行互换 函数ifft ifft2和ifftn的调用格式与对应的离散傅立叶快速变换函数一致 d zeros 32 32 图象大小32 32d 13 20 13 20 1 中心白色方块大小为8 8subplot 221 imshow d notruesize title 原始图像 D fft2 d 计算图象d的傅立叶变换subplot 222 显示图象d的傅立叶变换谱imshow abs D 15 notruesize title 傅立叶变换谱 subplot 223 显示图象d的傅立叶变换对数谱imshow log a

15、bs D 15 notruesize title 傅立叶变换对数谱 subplot 224 DF fftshift D 显示图象d的傅立叶变换中心谱imshow log abs DF 15 notruesize title 傅立叶变换中心谱 程序生成一个矩形函数 区域内像素值为1 区域外为0 然后对矩形做二维傅立叶变换 由于图像的傅立叶变换矩阵元素一般是复数 不能直接显示 需要调用abs函数对变换后的结果求模 图中下面两幅图分别是傅立叶变换的对数谱和中心谱 11 2离散余弦变换 DCT Fourier变换的一个最大的问题是 它的参数都是复数 在数据的描述上相当于实数的两倍 为此 我们希望有一种

16、能够达到相同功能但数据量又不大的变换 在此期望下 产生了DCT变换 一维离散余弦变换 一维离散余弦反变换 二维离散余弦变换 二维离散反余弦变换 如果令N 4 由一维解析式定义可得如下展开式 写成矩阵形式 F u A f x 同理 可得到反变换展开形式 写成矩阵形式 f x A T F u 二维离散余弦变换为 F u v A f x y A T f x y A T F u v A T 离散余弦变换的计算 与傅立叶变换一样 离散余弦变换可以由定义出发进行计算 但这样的计算量太大 在实际应用中很不方便 寻找快速算法首先 从定义出发 作如下推导 取实部的意思 如果把时域数据向量作系列延拓 即 则fe x 的离散余弦变换可写成为 同理 在反变换时 首先在变换空间 把 F u 作如下延拓 反变换表示为 DCT变换的应用 余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分 余弦变换主要用于图像的压缩 如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换 具体的做法与DFT相似 给高频系数大间隔量化 低频部分小间隔量化 MATLAB提供了dct2 idct2和dctmtx等函数进行图像的DCT变换 其调用格式如下