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1、分数乘法(一)(分数乘整数)编写说明及教学建议学习目标1经历分数乘法计算方法的探索过程,理解分数乘法的意义,体验直观模型与“转化”思想的运用。2掌握分数乘法的计算方法,能正确进行分数的乘法运算。3会解决有关的应用问题,体会分数乘法在生活中的应用。编写说明本节内容是分数乘法的意义、计算方法与应用,是分数乘法单元的基础。主情境是画有一个松树图案的五连方长方形纸,呈现了三个问题。第一个问题是探究整数乘分数单位的乘法的意义(单位量是分数单位,单位数是整数,即表示某个分数单位的几倍)及其计算方法;第二个问题是探究整数乘分数的乘法的意义(即表示某个分数的整数倍)及其计算方法;第三个问题在交流算法的过程中归
2、纳分数与整数相乘的计算方法。有教师问,在以往的教学中,分数的意义很明确,几个几分之几就用分数乘整数,一个数的几分之几则用整数乘分数,但在教科书的“分数乘法(一)”中,3个是多少,是用整数乘分数来列式,这样是不是表明整数乘分数与分数乘整数的意义相同呢?这实际上是乘法算式是否要区分“被乘数”和“乘数”的问题。根据课程标准的精神,本套教科书中没有区分乘数和被乘数。例如,在整数乘法的运算中,算式“46”既可以表示6个4相加,又可以表示4个6相加,即在不涉及具体问题情境下,可以代表两个意义,46=6+6+6+6或46=4+4+4+4+4+4都是对的。反过来,6+6+6+6既可以写成46,也可以写成64;
3、4+4+4+4+4+4既可以用46表示,也可以用64表示。也就是一种意义可以用两种方式表示。但在具体应用问题的情境中,不同的算式有时表示不同的含义,比如“有6个小朋友,每人有4支铅笔,一共有多少支铅笔”,46只代表6个4相加,当然这个实际问题也可以列出算式“64”。在解决实际问题教学过程时,教师要注意让学生理解每个数的意义,鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义,但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”,即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样,在分数乘法的内容中,教科书也不区分乘数的位置,处理方法与整数一样,也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和,还可以表示一个数的几分
4、之几是多少。教科书进行这样的处理在数学中是没有问题的,同时也减少了学生在学习中的“人为”障碍。在学习乘法时,最重要的是让学生体会乘法的意义。如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别,一是使学生将主要精力放在了这种区分上,而可能造成对乘法的意义学习的忽略;二是区分二者对学生来说一直是难点,这加重了学生不必要的负担,很多学生能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题,却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。需要指出的是,目前市场上有一些练习册,由于不了解教科书的编写理念,会出现类似“3和3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目,这并不是一个好题目,建议教师给予学生正确的引导,不必让学生在这些
5、问题上浪费太多的时间。1个占整张纸条的,3个占整张纸条的几分之几?这个问题是问题串中的核心问题,是从解决实际问题人手引出分数乘法的计算。意在通过探索该问题的解决,初步感知分数乘法的意义。为此,教科书呈现了学生探索中可能出现的三种算法,按思维水平,这三种算法可分为直观水平与分析水平两个层次。(1)直观水平是结合直观图将问题表示“3个是多少”,并直接得到结果“”。(2)分析水平有两种算法,其中一种是相同分数的连加,将“3个是多少”表示为“”,得到结果“”;另一种是整数乘法意义的迁移,把相同分数的连加用分数乘法的算式来表示,将求“3个的和”写成“3或3”,并依照整数乘法意义和分数加法运算法则求出结果
6、。由此可见,本节分数乘法的意义可以视为是整数乘法意义的拓展。2个的和是多少?下面的算法你看懂了吗?与同伴说一说。这个问题探索一般分数乘法的计算方法。教科书给出了学生可能出现的两种思路:一是借助图形的直观运算,求出结果;二是迁移整数乘法的意义,进行分数乘法的运算。第二种算法与上一个问题中的第三种方法相同。其实,还可以把一般分数乘法转化为分数单位乘整数的运算,算法如下: 。考虑到学生的接受能力,教科书不呈现这种算法,我们呈现在教师用书中,希望教师了解这种方法,但不需要学生掌握。算一算,说一说分数与整数相乘如何计算。通过计算“3”和“2”总结分数乘法的计算方法,即分母不变,分子和整数相乘。试一试“试
7、一试”中提出了两个问题。第一个问题掌握整数乘分数的乘法计算过程或结果的约分;第二个问题探索分数乘法的运算规律,积累分数乘法的经验。你能看懂下面两位同学的计算过程吗?与同伴说一说。教科书以6为例,通过对比说明如整数与分母有相同因数可先约分的合理性,并提出“能约分的先约分”和“计算结果要写成最简分数”的要求,进一步完善了分数乘法的计算方法。计算右面各题,观察每个题目及结果,你发现了什么?这是一个探索分数乘法的乘积与因数变化规律的计算问题,发现的规律可以描述为:两个数相乘,一个乘数不变,另一个乘数减半(或加倍),积也减半(或加倍)。同时,也有助于学生树立正确的观念。从整数乘法获得的经验是“积总是比乘
8、数大”,学习分数乘法可以改变这种偏见,一个整数乘一个真分数时积比这个整数小。这有助于发展学生的数感,激发学生的数学学习兴趣,拓展学生的数学视野。教学建议本节内容适合采用探究式学习方式进行教学。1个占整张纸条的,3个占整张纸条的几分之几?第一,学生理解题意,明白所求的问题是“3个是多少”。第二,独立列式解答问题,再讨论交流算法。学生可能会出现画图的方法、运用整数加法的意义来解决问题,无论是哪种方法都要求学生说明其中的道理。在实际教学中,部分学生能将整数乘法的知识和经验迁移到分数乘法中来。在教学时,如果学生在理解“3个的和可以写成3或3”时有困难,建议教师先启发学生思考“根据乘法的意义,5+5+5
9、+5;可以写成几乘几”,然后,结合前面已有的计算方法,提出“3个的和,也就是,可以写成几乘几?”通过类比,使学生初步感知分数乘法的意义:求几个相同分数的和是多少可以用分数乘法来表示。需要注意的是,教学时,教师要留给学生足够的思考时间来理解题意和思考解题方法,而不是单纯地依靠记忆类型和套用方法来解题。2个的和是多少?下面的算法你看懂了吗?与同伴说一说。教学时,建议让学生自主计算。计算时,要求写出计算过程,思考这样做的根据是什么。求出结果后,注意要求学生利用表示分数的方格图去加以验证。不论采用哪种教学思路,教师都应关注学生学习过程中出现的问题与困难,并给予适当指导。例如,学生比较难理解的是2个是6
10、个,教师可结合图示让学生理解,1个里面有3个,由此可知2个里面有6个。同时,用心发现学生学习中的创造性思维并给予表扬,进行交流。算一算,说一说分数与整数相乘如何计算。可由学生自主计算,然后进行交流、总结计算方法。学生表达得只要合理,教师就应给予肯定。试一试你能看懂下面两位同学的计算过程吗?与同伴说一说。建议让学生先自主探索解决。当学生得到两种方法后,需要引导学生对这两种方法进行比较,理解“当整数和分母有相同因数时,可先约分”的合理性和简便性,并明确这两种方法都可以用。强调计算结果用最简分数表示。计算右面各题,观察每个题目及结果,你发现了什么?鼓励学生独立完成,小组内交流自己的发现,然后进行全班交流。这个问题的发现可以表述为:两个数相乘,一个乘数不变,另一个乘数缩小几分之几(或扩大几倍),积也缩小几分之几(或扩大几倍)。教学时,教师要关注学生不同的表达方式,只要学生表达得合理,教师就应给予肯定。同时,教师可依照学生的实际情况,让学生再写出一组类似的算式验证自己的发现,提高学生学习的兴趣。