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1、 4 1数学期望 定义4 1 1 设X是离散型随机变量 其分布律为 引例 一 随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为f x 注2部分随机变量X的数学期望不存在 为X的数学期望 均值 注1随机变量的数学期望是它所有可能取值的加权平均值 是一个数 定义中要求条件无穷级数 绝对收敛 保证数学期望有唯一的数值 同样 对连续型随机变量的无穷广义积分要求绝对收敛也出于相同的考虑 如果绝对收敛不能得到满足 称随机变量的数学期望不存在 P101例4 1 2 例4 1 4 证明 证明 4 两点分布 E X p 5 均匀分布 E X b a 2 1 X P l 则E X l 证明 2 X B n p
2、则E X np 3 X N m s2 则E X m 6 指数分布 二 随机变量的函数的数学期望 设X是随机变量 Y g X 也是随机变量 如何计算E g X 思路 先确定g X 的分布 E g X 证明 定理4 1 1 设Y是随机变量X的函数Y g X g x 为连续函数 1 X是离散型随机变量 分布律为 本章核心定理 例4 1 1 例4 1 2 思考如何将定理推广到二维甚至更多维的情况 例4 1 3 2 X是连续型随机变量 其概率密度为fX x 定理4 1 2 设 X Y 是二维随机变量 如果Z G X Y 也是同类型随机变量并且数学期望存在 则有 1 当 X Y 是离散型随机变量时 2 当
3、 X Y 是连续型随机变量时 例4 1 5 例4 1 6 例4 1 4 练习 解答 三 随机变量的数学期望的性质 设X X1 X2 Xn是随机变量 c b是常数 1 E c c 2 E cX cE X 1 与2 E cX b cE X b 证明 4 若X1 X2 Xn相互独立 则 例4 1 7 例4 1 8 例4 1 9 一个庄家在一个签袋中放有8个白 8个黑的围棋子 规定 每个摸彩者交一角钱作 手续费 然后一个从袋中摸出五个棋子 按下面 摸子中彩表 给 彩金 Ex 摸彩赌博问题 庄家付出的彩金Y的分布律为 假设进行了100人次的赌博 则他可能需付出的彩金为 0 0 5001 100 0 05
4、 0 3589 100 0 2 0 1282 100 2 0 0128 100 1 7945 2 564 2 56 6 9185 元 平均每人次付出的彩金为 0 06919 元 0 0 5001 0 05 0 3589 0 2 0 1282 2 0 0128 是随机变量的所有可能取值按概率大小的加权平均值 加权平均 0 0 05 0 2 2 4 0 5625 元 与彩金的算术平均 比较 哪个更合理 1 X P l 则E X l 2 X B n p 则E X np 可利用二项分布的可加性证明 见例4 1 12 3 X N m s2 则E X m 位置参数 6指数分布 例4 1 1设随机变量X的数
5、学期望存在 证明 E X E X 2 E X2 E X 2 例4 1 2设球的直径X U a b 求球的体积的数学期望E X 解体积V p 6 X3 可得 另解 例4 1 3过半径为R的圆周上的已知点 与圆周上的任意点相连 求这样得到的弦的平均长度 解以已知点为原点 过已知点的直径为x轴正向 如图所示 设弦与直径的夹角为 则 均匀分布于区间 设弦长为L 则有 L 2Rcos 所以 平均弦长为 由于 因此 总结若先求出L的概率密度 再计算数学期望 将是很繁杂的过程 例4 1 4设随机变量X Y相互独立 且P X xi pi i 1 2 P Y yj p jj 1 2 E X E Y 存在 求E
6、XY 例4 1 5设随机变量 X Y 在以 0 1 1 0 1 1 为顶点的三角形区域上服从均匀分布 试求E X Y 和E X Y 2 解 例4 1 6设随机变量 X Y 三角形区域D 0 x 1 x y x 上服从均匀分布 试求E 2X 1 解 练习 解 另解 证明E cX b cE X b 仅就X为连续型的情况给出证明 例4 1 7证明E X E X Y E Y E XY E X E Y 例4 1 8随机变量X的分布为 试求E X 原始模型N个球中有M个红球 余下为白球 从中任取n个球 n个球中的红球数为X 分析 1 直接求解很困难 应利用数学期望的性质求解 2 设想这n个球是逐个不放回抽
7、取的 共取了n次 令Xi表示第i次取到红球的个数 有 X X1 X2 Xn 且Xi B 1 p i 1 2 n 3 由抽签的公平性有p P Xi 1 M N 问题随机变量X是否服从二项分布 为什么 从而E Xi 1 M N 0 1 M N M N 试求E X 解设想这n个球是逐个不放回抽取的 共取了n次 令Xi表示第i次取到红球的个数 i 1 2 n则X X1 X2 Xn 例4 1 9向某一目标进行射击 直至命中k次为止 已知命中率为p 0 求射击次数X的数学期望 的分布律为 分析 用数学期望和的性质进行求解 Xi表示第i 1次命中以后 到第i次命中的射击次数 则 X X1 X2 Xk Xi的分布律为
