数学中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解（基础）

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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考总复习 锐角三角函数综合复习中考总复习 锐角三角函数综合复习 知识讲解 基础 知识讲解 基础 考纲要求 考纲要求 1 理解锐角三角函数的定义 性质及应用 特殊角三角函数值的求法 运用锐角三角函数解决与直角 三角形有关的实际问题 题型有选择题 填空题 解答题 多以中 低档题出现 2 命题的热点为根据题中给出的信息构建图形 建立数学模型 然后用解直角三角形的知识解决问题 知识网络 知识网络 考点梳理 考点梳理 考点一 锐角三角函数的概念考点一 锐角三角函数的概念 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90

2、A 所对的边 BC 记为 a 叫做 A 的对边 也叫做 B 的 邻边 B 所对的边 AC 记为 b 叫做 B 的对边 也是 A 的邻边 直角 C 所对的边 AB 记为 c 叫做斜 边 A B C a b c 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sin Aa A c 的对边 斜边 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦 记作 cosA 即 cos Ab A c 的邻边 斜边 锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切 记作 tanA 即 tan Aa A Ab 的对边 的邻边 同理 sin Bb B c 的对边 斜边 cos Ba B c 的邻边 斜边 tan B

3、b B Ba 的对边 的邻边 要点诠释 要点诠释 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 正弦 余弦 正切函数是在直角三角形中定义的 反映了直角三角形边与角的关系 是两条线 段的比值 角的度数确定时 其比值不变 角的度数变化时 比值也随之变化 2 sinA cosA tanA 分别是一个完整的数学符号 是一个整体 不能写成 不能理解成 sin 与 A cos 与 A tan 与 A 的乘积 书写时习惯上省略 A 的角的记号 但对三个大写字母表示成的角 如 AEF 其正切应写成 tan AEF 不能写成 tanAEF 另外 常写成 3 任何一

4、个锐角都有相应的锐角三角函数值 不因这个角不在某个三角形中而不存在 4 由锐角三角函数的定义知 当角度在 0 A 90 之间变化时 tanA 0 考点二考点二 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义 可求出 30 45 60 角的各三角函数值 归纳如下 锐角 30 45 1 60 要点诠释 要点诠释 1 通过该表可以方便地知道 30 45 60 角的各三角函数值 它的另一个应用就是 如果知 道了一个锐角的三角函数值 就可以求出这个锐角的度数 例如 若 则锐角 2 仔细研究表中数值的规律会发现 的值依次为 而 的值的 顺序正好相反 的值依次增大 其变化规律可以总结为 当角度在

5、0 A 90 之间变化时 正弦 正切值随锐角度数的增大 或减小 而增大 或减小 余弦值随锐角度数的增大 或减小 而减小 或增大 考点三考点三 锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 互余关系 2 平方关系 3 倒数关系 或 4 商数关系 要点诠释 要点诠释 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出 常应用在三角函数的计算中 计 算时巧用这些关系式可使运算简便 考点四考点四 解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中 由已知元素 直角除外 求未

6、知元素的过程 叫做解直角三角形 在直角三角形中 除直角外 一共有 5 个元素 即三条边和两个锐角 设在 Rt ABC 中 C 90 A B C 所对的边分别为 a b c 则有 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 锐角之间的关系 A B 90 边角之间的关系 h 为斜边上的高 要点诠释 要点诠释 1 直角三角形中有一个元素为定值 直角为 90 是已知的值 2 这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式 没有包括其他关系 如不等关系 3 对这些式子的理解和记忆要结合图形 可以更加清楚 直观地理解 考点五 解直角三角形的常见类型及解法考点五 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 选师

7、无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 两直角边 a b 由求 A B 90 A 两 边 斜边 一直角边 如 c a 由求 A B 90 A 锐角 邻边 如 A b B 90 A 一直角边 和一锐角 锐角 对边 如 A a B 90 A Rt ABC 一 边 一 角 斜边 锐角 如 c A B 90 A 要点诠释 要点诠释 1 在遇到解直角三角形的实际问题时 最好是先画出一个直角三角形的草图 按题意标明哪些元 素是已知的 哪些元素是未知的 然后按先确定锐角 再确定它的对边和邻边的顺序进行计算 2 若题中无特殊说明 解直角三角形 即要求出所有的未知元

8、素 已知条件中至少有一个条件 为边 考点六 解直角三角形的应用考点六 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛 关键是把实际问题转化为数学模型 善于将某些实际问题中的数 量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键 解这类问题的一般过程是 1 弄清题中名词 术语的意义 如仰角 俯角 坡度 坡角 方向角等概念 然后根据题意画出 几何图形 建立数学模型 2 将已知条件转化为几何图形中的边 角或它们之间的关系 把实际问题转化为解直角三角形的 问题 3 根据直角三角形 或通过作垂线构造直角三角形 元素 边 角 之间的关系解有关的直角三角 形 4 得出数学问题的答案并检验答案是否符

9、合实际意义 得出实际问题的解 拓展 拓展 在用直角三角形知识解决实际问题时 经常会用到以下概念 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 用字母表示 坡度 坡比 坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度 用字母 表示 则 如 图 坡度通常写成 的形式 2 仰角 俯角 视线与水平线所成的角中 视线中水平线上方的叫做仰角 在水平线下方的叫做 俯角 如图 3 方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如图 中 目标方 向 PA PB PC 的方位角分别为是 40 135 245 4 方向

10、角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角 叫做方向角 如图 中的 目标方向线 OA OB OC OD 的方向角分别表示北偏东 30 南偏东 45 南偏西 80 北偏西 60 特别如 东南方向指的是南偏东 45 东北方向指的是北偏东 45 西南方向指的是南偏西 45 西北方向指的是北偏西 45 要点诠释 要点诠释 1 解直角三角形实际是用三角知识 通过数值计算 去求出图形中的某些边的长或角的大小 最 好画出它的示意图 2 非直接解直角三角形的问题 要观察图形特点 恰当引辅助线 使其转化为直角三角形或矩形 来解 例如 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线

11、 400 612 5351 3 解直角三角形的应用题时 首先弄清题意 关键弄清其中名词术语的意义 然后正确画出示意 图 进而根据条件选择合适的方法求解 典型例题 典型例题 类型一 锐角三角函数的概念与性质类型一 锐角三角函数的概念与性质 1 如图 在 4 4 的正方形网格中 tan A 1 B 2 C D 1 2 5 2 思路点拨 把 放在一个直角三角形中 根据网格的长度计算出 的对边和邻边的长度 答案 B 解析 根据网格的特点 设每一小正方形的边长为 1 可以确定 的对边为 2 邻边为 1 然后利 用正切的定义 故选 B tan 的对边 的邻边 总结升华 本题考查锐角三角函数的定义及运用 可

12、将其转化到直角三角形中解答 锐角的正弦为 对边比斜边 余弦为邻边比斜边 正切为对边比邻边 举一反三 举一反三 变式变式 在 Rt ABC 中 C 90 若 AC 2BC 则 sinA 的值是 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 A B 2 C D 1 2 5 5 5 2 答案 选 C 因为 C 90 所以 5 22 AB AC BC BC BCBC5 sinA AB5 5BC 类型二 特殊角的三角函数值类型二 特殊角的三角函数值 2 已知 a 3 且 以 a b c 为边长组成的三角形面积等于 2 1 4tan45 30 2 bbc A 6

13、 B 7 C 8 D 9 思路点拨 根据题意知求出 b c 的值 再求三角形面积 4tan450 1 30 2 b bc 答案 A 解析 根据题意知 解得 4tan450 1 30 2 b bc 4 5 b c 所以 a 3 b 4 c 5 即 其构成的三角形为直角三角形 且 C 90 222 abc 所以 1 6 2 Sab 总结升华 利用非负数之和等于 0 的性质 求出 b c 的值 再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角 形 注意 tan45 的值不要记错 举一反三 举一反三 变式变式 计算 答案 原式 3 如图所示 在 ABC 中 BAC 120 AB 10 AC 5 求 sinB

14、 sinC 的值 思路点拨 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 为求 sin B sin C 需将 B C 分别置于直角三角形之中 另外已知 A 的邻补角是 60 若 要使其充分发挥作用 也需要将其置于直角三角形中 所以应分别过点 B C 向 CA BA 的延长线作垂 线 即可顺利求解 答案与解析 解 过点 B 作 BD CA 的延长线于点 D 过点 C 作 CE BA 的延长线于点 E BAC 120 BAD 60 AD AB cos60 10 5 1 2 BD AB sin60 10 3 2 5 3 又 CD CA AD 10 22 5

15、 7BCBDCD 21 sin 7 BD BCD BC 同理 可求得 21 sin 14 ABC 21213 sinsin 71414 ABCBCD g 总结升华 由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的 因此若要求某个角的三角函数值 一般 可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中 举一反三 举一反三 变式变式 如图 机器人从 A 点 沿着西南方向 行了个单位 到达 B 点后观察到原点 O 在它的南 偏东 60 的方向上 则原来 A 的坐标为 结果保留根号 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 答案 类型三 解直角三角形及应用类型三 解直角三

16、角形及应用 高清课堂 锐角三角函数综合复习 ID 408468 播放点 例 3 4 在 ABC 中 A 30 BC 3 AB 求 BCA 的度数和 AC 的长 3 3 思路点拨 由于 A 是一个特殊角 且已知 AB 故可以作 AC 边上的高 BD 如图所示 可求得 由 3 3 2 BD 于此题的条件是 两边一对角 且已知角的对边小于邻边 因此需要判断此题的解是否唯一 要考虑 对边 BC 与 AC 边上的高 BD 的大小 而 所以此题有两解 3 3 3 3 2 BC 答案与解析 解 作 BD AC 于 D 1 C1点在 AD 的延长线上 在 ABC1中 1 3BC 3 3 2 BD 1 3 sin 2 C C1 60 由勾股定理 可分别求得 1 3 2 DC 9 2 AD AC1 AD DC1 93 6 22 2 C2点在 AD 上 由对称性可得 BC2D C1 60 21 3 2 C DC D BC2A 120 2 93 3 22 AC 综上所述 当 BCA 60 时 AC 6 当 BCA 120 时 AC 3 总结升华 由条件 两边一对角 确定的三角形可能不是唯一的 需要考虑第三边上