《高考数学总复习_热点专题突破系列(四-五))立体几何的综.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习_热点专题突破系列(四-五))立体几何的综.ppt（132页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点专题突破系列 四 立体几何的综合问题 考点一平行 垂直关系的证明与体积的计算 考情分析 以空间几何体 主要是柱 锥或简单组合体 为载体 通过空间平行 垂直关系的论证命制 主要考查公理4及线 面平行与垂直的判定定理与性质定理 常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查 考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想 一般以解答题的形式出现 难度中等 典例1 2014 重庆高考改编 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面是以O为中心的菱形 PO 底面ABCD AB 2 BAD M为BC上一点 且BM N为AB上一点 且BN 1 证明 MN 平面PAC 2 证明 BC 平面POM
2、3 若MP AP 求四棱锥P ABMO的体积 解题提示 1 只需证明MN AC即可 2 在平面POM内可以找到OM PO与BC垂直 从而得出结论 3 直接利用体积公式求解即可 规范解答 1 因为BM BN 所以所以MN AC 又MN 平面PAC AC 平面PAC 所以MN 平面PAC 2 因为ABCD为菱形 O为菱形中心 连接OB 则AO OB 因为 BAD 故OB AB sin 1 又因为BM 且 OBM 在 OBM中 OM2 OB2 BM2 2OB BM cos OBM 所以OB2 OM2 BM2 故OM BM 故OM BC 又PO 底面ABCD 所以PO BC 从而BC与平面POM内两条
3、相交直线OM PO都垂直 所以BC 平面POM 3 由 2 得 OA AB cos OAB 2 设PO a 由PO 底面ABCD知 POA为直角三角形 故PA2 PO2 OA2 a2 3 由 POM也是直角三角形 故PM2 PO2 OM2 a2 连接AM 在 ABM中 AM2 AB2 BM2 2AB BM cos ABM 由已知MP AP 故 APM为直角三角形 则PA2 PM2 AM2 即得 舍去 即PO 此时S四边形ABMO S AOB S OMB AO OB BM OM所以四棱锥P ABMO的体积 规律方法 1 空间两直线位置关系的判定方法 1 对于平行直线可通过作辅助线 利用三角形或梯
4、形中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理 2 垂直关系可采用线面垂直的性质解决 2 空间线面的位置关系的判定方法 1 证明直线与平面平行 设法在平面内找到一条直线与已知直线平行 解答时合理利用中位线性质 线面平行的性质 或构造平行四边形 寻求比例关系确定两直线平行 2 证明直线与平面垂直 主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直 解题时注意分析观察几何图形 寻求隐含条件 3 空间面面的位置关系的判定方法 1 证明面面平行 需要证明线面平行 要证明线面平行需证明线线平行 将 面面平行 问题转化为 线线平行 问题 2 证明面面垂直 将 面面垂直 问题转化为 线面垂直 问题 再将 线面垂
5、直 问题转化为 线线垂直 问题 4 计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体积时 能直接用公式时 关键是确定几何体的高 而不能直接用公式时 注意进行体积的转化 变式训练 2015 杭州模拟 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC AB BB1 AC BC BB1 2 D为AB的中点 且CD DA1 1 求证 平面A1B1B 平面ABC 2 求多面体DBC A1B1C1的体积 解析 1 因为AC BC D为AB的中点 所以CD AB 又CD DA1 AB DA1 D 所以CD 平面A1B1B 又因为CD 平面ABC 故平面A1B1B 平面ABC 2 因为平面A1B1B 平面ABC 平
6、面A1B1B 平面ABC AB BB1 平面A1B1B AB BB1 所以BB1 平面ABC 因此 S ABC AA1 S ADC AA1 S ABC AA1 S ABC AA1 S ABC AA1 加固训练 2013 江西高考 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 面ABCD AB CD AD AB AB 2 AD AA1 3 E为CD上一点 DE 1 EC 3 1 证明 BE 平面BB1C1C 2 求点B1到平面EA1C1的距离 解析 1 过点B作CD的垂线交CD于点F 则BF AD EF AB DE 1 FC 2 在Rt BFE中 BE 在Rt CFB中 BC 在 BEC中
7、因为BE2 BC2 9 EC2 所以BE BC 又由BB1 平面ABCD得BE BB1 又BB1 BC B 故BE 平面BB1C1C 2 在Rt A1D1C1中 同理 则设点B1到平面EA1C1的距离为d 则三棱锥B1 EA1C1的体积为所以点B1到平面EA1C1的距离为 考点二平面图形折叠成空间几何体问题 考情分析 先将平面图形折叠成空间几何体 再以其为载体研究其中的线 面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向 它很好地将平面图形拓展成空间图形 同时也将空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径 是高考深层次考查空间想象能力的主要方向 典例2 2015 中山
8、模拟 如图1所示 在Rt ABC中 AC 6 BC 3 ABC 90 CD为 ACB的平分线 点E在线段AC上 且CE 4 如图2所示 将 BCD沿CD折起 使得平面BCD 平面ACD 连接AB 设点F是AB的中点 1 求证 DE 平面BCD 2 若EF 平面BDG 其中G为直线AC与平面BDG的交点 求三棱锥B DEG的体积 解题提示 1 由平面BCD 平面ACD 只需证明DE DC即可 2 先由平面BCD 平面ACD 求得B到平面ACD 即DEG的距离 再由体积公式求解 规范解答 1 在题图1中 因为AC 6 BC 3 ABC 90 所以 A 30 ACB 60 因为CD为 ACB的平分线
9、 所以 BCD ACD 30 所以CD 2 因为CE 4 DCE 30 由余弦定理可得cos30 即 解得DE 2 则CD2 DE2 EC2 所以 CDE 90 DE DC 在题图2中 因为平面BCD 平面ACD 平面BCD 平面ACD CD DE 平面ACD 且DE DC 所以DE 平面BCD 2 在题图2中 因为EF 平面BDG EF 平面ABC 平面ABC 平面BDG BG 所以EF BG 因为点E在线段AC上 CE 4 点F是AB的中点 所以AE EG CG 2 作BH CD于点H 因为平面BCD 平面ACD 所以BH 平面ACD 由已知可得所以三棱锥B DEG的体积V S DEG B
10、H 规律方法 折叠问题的求解策略 1 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量 一般情况下 长度是不变量 而位置关系往往会发生变化 2 在解决问题时 要综合考虑折叠前后的图形 既要分析折叠后的图形 也要分析折叠前的图形 进而将其转化为立体几何的常规问题求解 解决折叠问题的关注点平面图形折叠成空间图形 主要抓住变与不变的量 所谓不变的量 即是指 未折坏 的元素 包括 未折坏 的边和角 一般优先标出未折坏的直角 从而观察是否存在线面垂直 然后标出其他特殊角 以及所有不变的线段 变式训练 2015 天津模拟 如图 在边长为3的正三角形ABC中 G F为边AC的三等分点 E P分别是A
11、B BC边上的点 满足AE CP 1 今将 BEP CFP分别沿EP FP向上折起 使边BP与边CP所在的直线重合 B C折后的对应点分别记为B1 C1 1 求证 C1F 平面B1GE 2 求证 PF 平面B1EF 证明 1 取EP的中点D 连接FD C1D 因为BC 3 CP 1 所以折起后C1为B1P的中点 所以在 B1EP中 DC1 EB1 又因为AB BC AC 3 AE CP 1 所以 所以EP 2且EP GF 因为G F为AC的三等分点 所以GF 1 又因为ED EP 1 所以GF ED 所以四边形GEDF为平行四边形 所以FD GE 又因为DC1 FD D GE B1E E 所以
12、平面DFC1 平面B1GE 又因为C1F 平面DFC1 所以C1F 平面B1GE 2 连接EF B1F 由已知得 EPF 60 且FP 1 EP 2 由余弦定理 得EF2 12 22 2 1 2 cos60 3 所以FP2 EF2 EP2 可得PF EF 因为B1C1 PC1 1 C1F 1 得FC1 B1C1 PC1 所以 PB1F的中线C1F PB1 可得 PB1F是直角三角形 即B1F PF 因为EF B1F F EF B1F 平面B1EF 所以PF 平面B1EF 加固训练 2013 湖北高考 如图甲 在平面四边形ABCD中 已知 A 45 C 90 ADC 105 AB BD 现将四边
13、形ABCD沿BD折起 使平面ABD 平面BDC 如图乙 设点E F分别为棱AC AD的中点 1 求证 DC 平面ABC 2 设CD a 求三棱锥A BFE的体积 解析 1 在图甲中因为AB BD且 A 45 所以 ADB 45 ABD 90 即AB BD 在图乙中 因为平面ABD 平面BDC 且平面ABD 平面BDC BD 所以AB 底面BDC 所以AB CD 又 DCB 90 所以DC BC 且AB BC B 所以DC 平面ABC 2 因为E F分别为AC AD的中点 所以EF CD 又由 1 知 DC 平面ABC 所以EF 平面ABC 所以VA BFE VF AEB S AEB FE在图甲
14、中 因为 ADC 105 所以 BDC 60 DBC 30 由CD a得BD 2a BC a EF CD a 所以S ABC AB BC 2a a a2 所以S AEB 所以 考点三空间向量在立体几何中的应用 考情分析 在高考中主要考查通过建立恰当的空间直角坐标系 利用空间向量的坐标运算证明空间中的线 面的平行与垂直关系 计算空间角 特别是二面角 及空间距离 常与空间几何体的结构特征 空间线 面位置关系的判定定理与性质定理等知识综合 以解答题形式出现 难度中等 典例3 2015 南昌模拟 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 BC 2 BC1 CC1 ABC是以BC为底边的等腰三角形 平面ABC
15、 平面BCC1B1 E F分别为棱AB CC1的中点 1 求证 EF 平面A1BC1 2 若AC2为整数 且EF与平面ACC1A1所成的角的正弦值为 求二面角C AA1 B的余弦值 解题提示 根据平面ABC 平面BCC1B1 选坐标原点建立空间直角坐标系 1 求平面A1BC1的法向量n 证明n 即可 2 分别求平面ACC1A1与平面AA1B的法向量 利用向量的夹角公式求解 规范解答 1 因为CC1 BC1 BC 2 所以 CC1B是以BC为斜边的等腰直角三角形 取BC的中点O 连接AO C1O 设OA b 则AO BC C1O BC 因为面ABC 面BCC1B1 且面ABC 面BCC1B1 B
16、C 所以AO 面BCC1B1 C1O 面ABC 以O为坐标原点 以OC OC1 OA所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 所以C 1 0 0 C1 0 1 0 A 0 0 b A1 1 1 b B 1 0 0 所以所以 1 1 0 1 0 b 可得平面A1BC1的一个法向量为n b b 1 所以 所以又EF 平面A1BC1 所以EF 平面A1BC1 2 设平面ACC1A1的一个法向量为n1 x1 y1 z1 又 1 1 0 1 0 b 则令z1 1 则n1 b b 1 又 所以解得b 1或b 因为AC2为整数 所以b 1 所以n1 1 1 1 同理可求得平面AA1B的一个法向量n2 1 1 1 所以又二面角C AA1 B为锐二面角 所以余弦值为 规律方法 利用空间向量证明线面位置关系与计算空间角的步骤 1 根据题目中的条件 充分利用垂直关系 尽量使相关点在坐标轴上 建立适当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 2 求出相关直线的方向向量 相关平面的法向量 根据题目的要求 选择适当的公式 将相关坐标代入进行求解和证明 3 回归待求证 求解问题 变式训练 2015 唐山模拟 在如图所示的
