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1、清华自主招生数学创新试题汇编1、（）已知函数：求函数的最小值;（）证明:；（）定理:若均为正数,则有成立(其中请你构造一个函数，证明：当均为正数时，解：（）令得2分当时， 故在上递减当故在上递增所以，当时，的最小值为.4分（）由，有即故5分（）证明:要证： 只要证： 设7分则令得.8分当时， 故上递减，类似地可证递增所以的最小值为10分而=由定理知: 故故 即:.14分2、用类比推理的方法填表 等差数列中等比数列中答案： 3、10定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于An Bn+1 Cn -1 D 答案：D4、若为的
2、各位数字之和，如：，则;记_答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。aaaaa（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）3分证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD5分（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF/EA,GF=EA, AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD， CD面SAD， 又SA=AD,F是中点， 面SCD,
3、EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小为9010分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD, DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分在RtSCD中， 答：点D到面SEC的距离为14分6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。解（1） （2）先用累乖法得得7、
4、在ABC中，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10： ABC面积为10： ABC中，A=90： 则满足条件、的轨迹方程分别为 （用代号、填入）答案： 8、已知两个函数和的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. x123f（x） 231x123g（x） 132填写下列的表格,其三个数依次为x123g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数的最大值等于（ C ）（“”和“”仍为通常的乘法和减法）A.
5、B. 1C. 6D. 1210、已知，x表示不大于x的最大整数，如，则_；使成立的x的取值范围是_ 答案：211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题，我们可以分三步进行研究： （I）首先选取如下函数： ， 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标： 与其反函数的交点坐标为（1，1） 与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1） 与其反函数的交点坐标为（），（1，0），（0，1） （II）观察分析上述结果得到研究结论； （III）对得到的结论进行证明。 现在，请你完成（II）和（III）。解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线yx上2分 （III）证明：
6、设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线yx对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有 若ab时，交点显然在直线上 若ab且是增函数时，有，从而有ba，矛盾；若ba且是增函数时，有，从而有ab，矛盾 若ab且是减函数，有，从而ab成立，此时交点不在直线yx上；同理，b2时，W1W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a2时，W1W2，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少1216、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰
7、好通过k(kN*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数： f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一阶格点函数的有 . 答案：17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水。则一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。答案：（2）（3）18、已知等比数列an的前n项和为Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，证明am
8、，am2，am1成等差数列； ()写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即数列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差数列. () ()的逆命题是：若am，am2，am1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列. 设数列an的公比为q，am1amq，am2amq2由题设，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 当q1时，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等差数列.逆命题为假
9、.19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%20、一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足ab且bc，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba，共有45，另一类是abc，ac，共有2
