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1、2020届内蒙古包头市高三下学期普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】中只有2属于【详解】解：，故选：A【点睛】考查集合的交集运算，是基础题.2.已知是虚数单位，若，则（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.【详解】解：将两边同时乘以，得故选：A【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.3.设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 23B.
2、 25C. 28D. 29【答案】D【解析】【分析】由可求，再求公差，再求解即可.【详解】解：等差数列，又，公差为，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.4.已知实数满足则的最大值为（ ）A. 2B. C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解.【详解】解：作出可行域：由得，由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大得，当时，故选：B【点睛】考查线性规划，是基础题.5.已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求.【详解】解：角的终边与单
3、位圆交于点，故选：B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.6.下列说法正确的是（ ）A. “若，则”的否命题是“若，则”B. 在中，“”是“”成立的必要不充分条件C. “若，则”是真命题D. 存在，使得成立【答案】C【解析】【分析】A：否命题既否条件又否结论，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【详解】解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.B：在中，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.C：“若，则”“若，则”，故C正确.D：由幂函数在递减，故D错.故选：C【点睛】考查判断命题的真假，是基础题.7
4、.在直三棱柱中，己知，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，解得从而得出异面直线与所成的角【详解】连接，如图：又，则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱，面，又，解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题8.当时，函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，解得，即或，函数有两个零点，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多
5、个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.9.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D
6、【解析】【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详解】解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：故选：D【点睛】考查几何概型，是基础题.10.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，为的准线上的一点，则的面积为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积【详解】设抛物线的解析式，则焦点为，对称轴为轴，准线为，直线经过抛物线的焦点，是与的交点，又轴，可设点坐标为，代入，解得，又点在准线上，设过点的的垂线与交于点，.故
7、应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值本题难度一般11.在中，为边上的中点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.【详解】解：为边上的中点，故选：A【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.12.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的性质，比较即可.【详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.二
8、、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.【详解】解：的渐近线是因为在渐近线上，所以，故答案为：【点睛】考查双曲线的离心率的求法，是基础题.14.已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为_【答案】【解析】【分析】由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36，所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为：【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.15.正
9、项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_【答案】2【解析】【分析】先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.【详解】解：设公比为，且，时，上式有最小值，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.16.已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.【详解】解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，令，在递增；，递减，递增，时，在有一个零点，在有2个零点；故答案为：.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题
10、一般用分离参数的方法，中档题.三、解答题：本大题共6小题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.【答案】（1）（2）3+3【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0A，可求A的值（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长【详解】（1） ，即 又 （2） , ，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， ， c0，所以得c=2, 周长a+b+c=3+3【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，
11、属于中档题18.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：)与网上预约出租车订单数(单位：份)；日平均气温（）642网上预约订单数100135150185210（1）经数据分析，一天内平均气温与该出租车公司网约订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数；（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2
12、天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：【答案】（1），232；（2）【解析】【分析】(1) 根据公式代入求解；(2) 先列出基本事件空间，再列出要求的事件，最后求概率即可.【详解】解：（1）由表格可求出代入公式求出，所以，所以当时，.所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.（2）记这5天中气温不高于的三天分别为，另外两天分别记为，则在这5天中任意选取2天有，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有，共6个基本事件，所以所求概率，即恰有1天网约订单数不低于20份概率为.【点睛】考查线性回归系数的求法以
13、及古典概型求概率的方法，中档题.19.如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，证明,则平面平面，则可证平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，则点到平面的距离可求.【详解】解：（1）如图：取的中点，连接、.在中，是的中点，是的中点，平面平面,故平面在直角梯形中， ，且，四边形是平行四边形，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圆的直径，点是圆上异于、的一点，又平面平面，平面平面平面，可得是三棱锥的高线.在直角梯形中，.设到平面的距离为，则，即由
14、已知得，由余弦定理易知：，则解得，即点到平面的距离为故答案为：.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.20.已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性与极值；（3）证明：.【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.【解析】【分析】（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解：（1）函数的定义域为由已知得，则，解得.（2）由题意得，则.当时，所以单调递减，当时，所以单调递增，所以，单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值.（
