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1、2020届内蒙古包头市高三下学期普通高等学校招生全国统一考试(第一次模拟考试)数学(文)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】中只有2属于【详解】解:,故选:A【点睛】考查集合的交集运算,是基础题.2.已知是虚数单位,若,则( )A. B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】直接将两边同时乘以求出复数,再求其模即可.【详解】解:将两边同时乘以,得故选:A【点睛】考查复数的运算及其模的求法,是基础题.3.设等差数列的前项和为,若,则( )A. 23B.
2、 25C. 28D. 29【答案】D【解析】【分析】由可求,再求公差,再求解即可.【详解】解:等差数列,又,公差为,故选:D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力,是基础题.4.已知实数满足则的最大值为( )A. 2B. C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】作出可行域,平移目标直线即可求解.【详解】解:作出可行域:由得,由图形知,经过点时,其截距最大,此时最大得,当时,故选:B【点睛】考查线性规划,是基础题.5.已知角的终边与单位圆交于点,则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单
3、位圆交于点,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.6.下列说法正确的是( )A. “若,则”的否命题是“若,则”B. 在中,“”是“”成立的必要不充分条件C. “若,则”是真命题D. 存在,使得成立【答案】C【解析】【分析】A:否命题既否条件又否结论,故A错.B:由正弦定理和边角关系可判断B错C:可判断其逆否命题的真假,C正确.D:根据幂函数的性质判断D错.【详解】解:A:“若,则”的否命题是“若,则”,故 A错.B:在中,故“”是“”成立的必要充分条件,故B错.C:“若,则”“若,则”,故C正确.D:由幂函数在递减,故D错.故选:C【点睛】考查判断命题的真假,是基础题.7
4、.在直三棱柱中,己知,则异面直线与所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,解得从而得出异面直线与所成的角【详解】连接,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱,面,又,解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题8.当时,函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由,解得,即或,函数有两个零点,不正确,设,则,由,解得或,由,解得:,即是函数的一个极大值点,不成立,排除,故选B.【方法点晴】本题通过对多
5、个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.9.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于( )A. B. C. D. 【答案】D
6、【解析】【分析】这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.【详解】解:事件发生,需满足,即事件应位于五边形内,作图如下:故选:D【点睛】考查几何概型,是基础题.10.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于,两点,为的准线上的一点,则的面积为( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】设抛物线的解析式,得焦点为,对称轴为轴,准线为,这样可设点坐标为,代入抛物线方程可求得,而到直线的距离为,从而可求得三角形面积【详解】设抛物线的解析式,则焦点为,对称轴为轴,准线为,直线经过抛物线的焦点,是与的交点,又轴,可设点坐标为,代入,解得,又点在准线上,设过点的的垂线与交于点,.故
7、应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出点坐标,从而求得参数的值本题难度一般11.在中,为边上的中点,且,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.【详解】解:为边上的中点,故选:A【点睛】在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.12.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的性质,比较即可.【详解】解:显然,所以是定义域为的偶函数,且在单调递增,所以故选:C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质,是基础题.二
8、、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点是双曲线渐近线上的一点,则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】先表示出渐近线,再代入点,求出,则离心率易求.【详解】解:的渐近线是因为在渐近线上,所以,故答案为:【点睛】考查双曲线的离心率的求法,是基础题.14.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为_【答案】【解析】【分析】由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.15.正
9、项等比数列|满足,且成等差数列,则取得最小值时的值为_【答案】2【解析】【分析】先由题意列出关于的方程,求得的通项公式,再表示出即可求解.【详解】解:设公比为,且,时,上式有最小值,故答案为:2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算,中档题.16.已知函数恰好有3个不同的零点,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】恰好有3个不同的零点恰有三个根,然后转化成求函数值域即可.【详解】解:恰好有3个不同的零点恰有三个根,令,在递增;,递减,递增,时,在有一个零点,在有2个零点;故答案为:.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点,这类题
10、一般用分离参数的方法,中档题.三、解答题:本大题共6小题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圆半径,求的周长.【答案】(1)(2)3+3【解析】【分析】(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0A,可求A的值(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周长【详解】(1) ,即 又 (2) , ,由余弦定理得 a2b2+c22bccosA, , c0,所以得c=2, 周长a+b+c=3+3【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,
11、属于中档题18.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以交通业为例,当天气太冷时,不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位:)与网上预约出租车订单数(单位:份);日平均气温()642网上预约订单数100135150185210(1)经数据分析,一天内平均气温与该出租车公司网约订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数;(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于,若把这5天的预测数据当成真实的数据,根据表格数据,则从这5天中任意选取2
12、天,求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:【答案】(1),232;(2)【解析】【分析】(1) 根据公式代入求解;(2) 先列出基本事件空间,再列出要求的事件,最后求概率即可.【详解】解:(1)由表格可求出代入公式求出,所以,所以当时,.所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.(2)记这5天中气温不高于的三天分别为,另外两天分别记为,则在这5天中任意选取2天有,共10个基本事件,其中恰有1天网约订单数不低于210份的有,共6个基本事件,所以所求概率,即恰有1天网约订单数不低于20份概率为.【点睛】考查线性回归系数的求法以
13、及古典概型求概率的方法,中档题.19.如图,点是以为直径的圆上异于、的一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)取的中点,证明,则平面平面,则可证平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,则点到平面的距离可求.【详解】解:(1)如图:取的中点,连接、.在中,是的中点,是的中点,平面平面,故平面在直角梯形中, ,且,四边形是平行四边形,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圆的直径,点是圆上异于、的一点,又平面平面,平面平面平面,可得是三棱锥的高线.在直角梯形中,.设到平面的距离为,则,即由
14、已知得,由余弦定理易知:,则解得,即点到平面的距离为故答案为:.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法,是中档题.20.已知函数的图象在处的切线方程是.(1)求的值;(2)若函数,讨论的单调性与极值;(3)证明:.【答案】(1);(2)单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值;(3)见解析.【解析】【分析】(1)切点既在切线上又在曲线上得一方程,再根据斜率等于该点的导数再列一方程,解方程组即可;(2)先对求导数,根据导数判断和求解即可.(3)把证明转化为证明,然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解:(1)函数的定义域为由已知得,则,解得.(2)由题意得,则.当时,所以单调递减,当时,所以单调递增,所以,单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值.(