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1、层次分析法 层次分析法简介层次分析法的基本原理层次分析法的基本步骤应用层次分析法的注意事项层次分析法应用实例 层次分析法 简介 层次分析法 AnalyticHierarchyprocess 简记AHP 在20世纪70年代中期由seaty正式提出 它是一种定性和定量相结合的 系统化 层次化的分析方法 由于它在处理复杂的决策问题上的实用和有效性 很快在世界范围得到重视 它的应用已遍及经济计划和管理 能源政策和分配 行为科学 军事指挥 运输 农业 教育 人才 医疗 环境等领域 的基本原理 先分解后综合的系统思想 是通过分析复杂问题包含的因素及其相互联系 将问题分解为不同的要素 并将这些要素归并为不同
2、的层次 从而形成多层次结构 在每一层次可按某一规定准则 对该层要素进行逐对比较建立判断矩阵 通过计算判断矩阵的最大特征值和对应的正交化特征向量 得出该层要素对于该准则的权重 在这个基础上计算出各层次要素对于总体目标的组合权重 从而得出不同设想方案的权值 为选择最优方案提供依据 系统 要素 层次 矩阵 权重 基本原理AHP决策分析方法的基本原理 可以用以下的简单事例分析来说明 假设有n个物体A1 A2 An 它们的重量分别记为W1 W2 Wn 现将每个物体的重量两两进行比较如下 的基本原理 若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系 A 若取重量向量W W1 W2 Wn T 则有 AW n WW是判
3、断矩阵A的特征向量 n是A的一个特征值 根据线性代数知识可以证明 n是矩阵A的唯一非零的 也是最大的特征值 A称为判断矩阵 的基本原理 上述事实告诉我们 如果有一组物体 需要知道它们的重量 而又没有衡器 那么就可以通过两两比较它们的相互重量 得出每一对物体重量比的判断 从而构成判断矩阵 然后通过求解判断矩阵的最大特征值 max和它所对应的特征向量 就可以得出这一组物体的相对重量 的基本原理 AHP的基本步骤 综合重要度的计算 建立多级递阶层次结构 建立判断矩阵 相对重要度计算和一致性检验 明确问题 最简单的层次结构 建立多级递阶层次结构 第1级 第2级 第3级 目标 目标层 准则1 准则层 方
4、案1 准则2 准则n 方案2 方案n 方案层 建立多级递阶层次结构 完全相关性结构 完全独立性结构 混合性结构 常见的多级递阶结构 建立多级递阶层次结构 完全相关性结构 特点 上一层次的每一要素与下一层次的所有要素完全相关 购一台满意的设备 功能强 价格低 容易维修 A B C eg 建立多级递阶层次结构 特点 上一层要素都各自有独立的 完全不同的下层要素 减少交通事故损失 防止事故发生 减少事故损失 促进恢复 提高司机的安全责任感 完全独立性结构 提高车辆的操作技能 改善道路设施 提高车辆安全保障功能 加强十字路口交通管理 充实急救医疗体制 健全医疗体制 充实残疾人治疗培训体制 建立多级递阶
5、层次结构 混合结构 特点 是上述两种结构的结合 是一个既非完全相关又非完全独立的结构 引进技术的综合效益 提高技术水平 提高经济效益 提高装备水平 提高企业素质 国产化水平 研究开发能力 节汇创汇水平 产品竞争能力 国内经济效益 人的技术素质 经营管理水平 判断矩阵B中的元素bij表示依据评价准则C 要素bi对bj的相对重要性 Bij的值是根据资料数据 专家意见和评价主体的经验 经过反复研究后确定的 建立判断矩阵 判断矩阵是以上一级的某一要素 作为评价准则 对本级的要素进行两两比较来确定矩阵元素的 例如 以 为评价标准的有n个要素 其判断矩阵形式如下 建立判断矩阵 1 对C而言 bi比bj极为
6、重要 则bij 9 2 对C而言 bi比bj重要很多 则bij 7 3 对C而言 bi比bj重要 则bij 5 4 对C而言 bi比bj稍重要 则bij 3 5 对C而言 bi比bj同样重要 则bij 1 6 对C而言 bi比bj稍次要 则bij 1 3 7 对C而言 bi比bj次要 则bij 1 5 8 对C而言 bi比bj次要很多 则bij 1 7 9 对C而言 bi比bj极为次要 则bij 1 9 评价一般采用的尺度 在建立判断矩阵时 要对评价系统的要素及其相对重要性有深刻了解 保证被比较和判断的元素具有相同的性质 具有可比性 在判断时 不能有逻辑上的错误 建立判断矩阵 例如 如果C为购
7、一台满意的设备 B1为功能强 B2为价格低 B3为维修容易 通过对B1 B2和B3的两两比较后做出的判断矩阵B如下 B1 B2 B2 B3 B3 B1 1 5 3 1 5 1 1 3 1 3 3 1 功能强 维修容易 价格低 衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是否有满意的一致性 如果判断矩阵存在如下关系 则称判断矩阵具有完全一致性 bij bik bjk 为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理 需要对判断矩阵进行一致性检验 相对重要度计算和一致性检验 一 相对重要度计算 对判断矩阵先求出最大特征根 然后再求其相对应的特征向量 即 max 其中 的分量 n 就是对应于n个要素的相对重
8、要度 即权重系数 计算权重系数的方法 和积法 方根法 一 和积法 将判断矩阵每一列归一化 对按列归一化的判断矩阵 再按行求和 将向量 归一化 则即为所求的特征向量 计算最大特征根 表示向量AW的第i个分量 二 方根法 计算判断矩阵每一行元素的乘积 计算的n次方根 将向量 归一化 则即为所求的特征向量 计算最大特征根表示向量AW的第i个分量 二 一致性检验 相对重要度计算和一致性检验 定义一致性指标C I 为 一般情况下 若C I 0 10 就认为判断矩阵具有一致性 据此而计算的值是可以接受的 显然 随着n的增加判断误差就会增加 因此判断一致性时应考虑到n的影响 使用随机性一致性比值C R C
9、I R I 其中R I 为平均随机一致性指标 下表给出了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值 平均随机一致性指标 一 层次单排序 目的 确定本层次与上层次中的某元素有联系的各元素重要性次序的权重值 任务 计算判断矩阵的特征根和特征向量 即对于判断矩阵B 计算满足 的特征根和特征向量 在上式中 max为判断矩阵B的最大特征根 W为对应于 max的正规化特征向量 W的分量Wi就是对应元素单排序的权重值 综合重要度的计算 检验判断矩阵的一致性 通过前面的介绍 我们知道 如果判断矩阵B具有完全一致性时 max n 但是 在一般情况下是不可能的 为了检验判断矩阵的一致性 需要计算它的一致性指
10、标 在上式中 当CI 0时 判断矩阵具有完全一致性 反之 CI愈大 就表示判断矩阵的一致性就越差 为了检验判断矩阵是否具有令人满意的一致性 需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较 需要调整判断矩阵 直到满意为止 判断矩阵具有令人满意的一致性 CR0 1 综合重要度的计算 定义 在计算了各级要素的相对重要度以后 即可从最上级开始 自上而下地求出各级要素关于系统总体的综合重要度 也称系统总体权重 即进行层次总排序 层次总排序需要从上到下逐层顺序进行 对于最高层而言 其层次单排序的结果也就是总排序的结果 假如上一层的层次总排序已经完成 元素A1 A2 Am得到的权重值分别为a1 a2 am 与A
11、j对应的本层次元素B1 B2 Bn的层次单排序结果为 T 当Bi与Aj无联系时 0 那么 B层次的总排序结果见表 层次总排序表 综合重要度的计算 二 层次总排序 层次总排序表 显然 1即层次总排序是归一化的正规向量 综合重要度的计算 三 层次总排序的一致性检验 为了评价层次总排序结果的一致性 类似于层次单排序 也需要进行一致性检验 为此 需要分别计算下列指标 CI CI为层次总排序的一致性指标 CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标 综合重要度的计算 RI RI为层次总排序的随机一致性指标 RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标 CR为层次总排序的随机一致性比例 CR
12、当CR 0 10时 则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性 否则 就需要对本层次的各判断矩阵进行调整 直至层次总排序的一致性检验达到要求为止 综合重要度的计算 三 层次总排序的一致性检验 续 如果所选的要素不合理 其含义混淆不清 或要素间的关系不正确 都会降低AHP法的结果质量 甚至导致AHP法决策失败 为保证递阶层次结构的合理性 需把握以下原则 1 分解简化问题时把握主要因素 不漏不多 2 注意相比较元素之间的强度关系 相差太悬殊的要素不能在同一层次比较 应用层次分析法的注意事项 优点 思路简单明了 它将决策者的思维过程条理化 数量化 便于计算 容易被人们所接受 所需要的定量化数据较
13、少 但对问题的本质 问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻 清楚 对层次分析法的简单评价 缺点 存在着较大的随意性 譬如 对于同样一个决策问题 如果在互不干扰 互不影响的条件下 让不同的人同样都采用AHP决策分析方法进行研究 则他们所建立的层次结构模型 所构造的判断矩阵很可能是各不相同的 分析所得出的结论也可能各有差异 课堂练习 某公司有一笔资金可用于4种方案 投资房地产 购买股票 投资工业和高技术产业 评价和选择投资方案的标准是 收益大 风险低和周转快 试对4种投资方案做出分析和评价 根据题意建立AHP的多级递阶结构 建立判断矩阵 计算各级要素相对重要度并进行一致性检验 计算综合重要度
14、结论 最好的投资方案 风险低 房地产 收益大 周转快 股市 工业 高科技 G C1 C2 C3 p1 AHP的多级递阶结构 p1 p1 p1 G 建立判断矩阵 计算各级要素的相对重要度 并进行一致性检验 1 3 1 3 1 3 1 5 1 5 0 636 G C1 C1 C2 C2 C3 C3 1 3 Wi0 C I 0 258 0 106 0 027 0 10 p1 C2 p2 p3 p3 1 3 Wi2 C I 0 569 0 266 0 073 0 10 p1 p2 p4 p4 1 5 3 7 1 5 1 1 5 1 2 5 1 3 1 7 2 1 3 1 0 067 0 099 p1
15、C3 p2 p3 p3 1 3 Wi3 C I 0 25 0 075 0 01 0 10 p1 p2 p4 p4 1 1 2 3 2 2 1 7 5 1 7 1 1 2 1 2 1 5 2 1 0 549 0 127 由以上计算可知 一致性指标都在允许误差范围内 故所有相对重要度都是可以接受的 计算综合重要度 p1 Ci p2 p3 Wi p4 计算综合重要度 pj C2 C1 C3 0 258 0 636 0 106 0 258 0 584 0 151 0 44 0 252 0 194 0 11 结论 由以上所示各方案的相对重要性大小可知 选择投资房地产是最好的方案 而投资股市次之 投资工业第三 投资高技术产业最差 当然 如果构造的判断矩阵不同 回得出相异的结论 博观而约取 苏东坡 稼说 谢谢
