新课标人教A版高中数学必修1知识点

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1、第一章 集合与函数概念 1 1 集合 1 1 1 集合的含义与表示 学习目标 1 了解集合的含义 2 会用适当的方法表示集合 3 培养抽象概括的能力 知识点 1 集合的含义 一般地 一定范围内某些确定的 不同的对象的全体构成一个 集合 集合中每个对象称为这个集合的元素 2 集合中元素的性质 1 确定性 集合中的元素必须是确定的 2 互异性 集合中的元素必须是互不相同的 3 无序性 集合中的元素是无先后顺序的 集合常用大写字母表示 比如 CBA 元素常用小写字母表示 比如 cba 若a是集合A中的元素 就说a属于集合A 记作Aa 若a不是集合A中的元素 就说a不属于集合A 记作Aa 3 几个常见

2、的数集 1 N 自然数集 2 NN 正整数集 3 Z 整数集 4 Q 有理数集 5 R 实数集 4 集合的表示方法 1 列举法 将集合的元素一一列举出来 并置于大括号 如 中国的直辖市 构成的集合 北京 上海 天津 重 庆 注 注 元素之间要用逗号分隔 列举时与元素顺序无关 2 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 具体方法是 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这 个集合中元素所具有的共同特征 5 集合的分类 按元素个数分 1 有限集 含有有限个元素的集合 2 无限集 含有无限个元素的集合 1 1 2 集合间的基本关系 学习目

3、标 1 理解子集 真子集 空集的概念 2 能用符号和 Venn 图表达集合间的关系 3 掌握列举有限集的所有子集的方法 知识点 1 子集 一般地 对于两个集合BA 如果集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素 我们就说这两个集合有包含关系 称集合A为集合B的子 集 记做BA 或AB 读作 A含于B 或 B包含A 2 集合相等 如果集合A是集合B的子集 BA 且集合B是集合A的子 集 AB 此时 集合A与集合B中的元素是一样的 因此 集合A与集合B相等 记作BA 3 真子集 如果集合BA 但存在元素 Bx 且Ax 我们称集合A是集合 B的真子集 记作A B 或AB 4 空集 我们把不含任何元素的

4、集合叫做空集 记为 并规定 空集是任何集 合的子集 是任何非空集合的真子集 5 Venn 图 在数学上 用平面上封闭曲线的内部代表集合 这种图称为 Venn 图 用 Venn 图表示 A 包含于 B 最后由集合之间的关系可得以下结论 1 任何一个集合是它本身的子集 即AA 2 对于集合 CBA如果 BA 且CB 那么CA 1 1 3 集合的基本运算 学习目标 1 理解并集 交集 全集与补集的概念 2 会用符号 Venn 图和数轴表示并集 交集 准确翻译和使用补集符号和 Venn 图 3 会求简单集合的并集和交集 会求补集 并能解决一些集合综合运算的问题 知识点 1 并集 一般地 由所有属于集合

5、A或属于集合B的元素组成的集合 称为集合 A与集合B的并集 记作BA 读作 A并B 即 AxxBA 或 Bx 可用 Venn 图表示 2 交集 一般地 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 称为A与 B的交集 记作BA 读作 A交B 即 AxxBA 且 Bx 可用 Venn 图表示 3 全集 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么就 称这个集合为全集 通常记作U 4 补集 对于一个集合A 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称 为 集合A相对于全集U的补集 简称为集合A的补集 记作ACU 即 UxxACU 且 Ax BA BA 可用 Venn 图表示 ACU

6、 1 2 函数及其表示 1 2 1 函数的概念 学习目标 1 理解函数的概念 2 了解构成函数的三要素 3 正确使用函数 区间符号 知识点 1 函数的概念 设BA 是非空数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集 合A中的任意一个数x 在集合B中都有唯一确定的数 xf和 它对应 那么就称BAf 为从集合A到集合B的一个函数 记作Axxfy 其中x叫做自变量 x的取值范围A叫做 函数的定义域 与x值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 Axxf 叫做函数的值域 2 函数三要素 1 定义域 2 对应关系f 3 值域 3 区间的表示 定义 名称 符号 数轴表示 bxax 闭区间 ba bxax 开

7、区间 ba bxax 半开半闭区间 ba bxax 半开半闭区间 ba 4 函数相等 根据函数的定义可知 值域可由定义域和对应关系确定 所以如果 两个函数的定义域相同 并且对应关系完全一致 我们就称这两个 函数相等 5 抽象函数定义域的理解 1 已知 xf的定义域为A 求 xf 的定义域 其实质是已知 x 的取值范围为A 求x的取 值范围 2 已知 xf 的定义域为B 求 xf的定义域 其实质是已知 xf 中x的取值范围为B 求 x 的取值范围 此范围就是 xf的定义域 例如 已知函数 13 xf的定义域为 7 1 求函数 xf的定义域 解 令tx 13 因 71 x则 224 t即 tf中

8、22 4 t故 xf的 定义域为 22 4 1 2 2 函数的表示法 学习目标 1 了解函数的三种表示法以及各自的优缺点 2 掌握求函数解析式的常见方法 3 尝试作图和从图象上获取有用的信息 4 会用解析法及图象法表示分段函数 5 给出分段函数 能研究有关性质 6 了解映射的概念 知识点 1 1 解析法 解析法是指用数学表达式表示两个变量之间的关系 注 注 如果已知函数类型 可以用待定系数法 如果已知 xgf的表达式 想求 xf的解析式 可以设 xgt 然 后把 xgf里的每一个x都换成t 如果条件是一个关于 xfxf 的方程 可以用x的任意性进行赋值 比如把每一个x换成x 其目的是再得到一个

9、关于 xfxf 的方 程 然后消元消去 xf 2 图像法 用图象表示两个变量之间的对应关系这样可以直观形象地表示两 变量之间的变化趋势 注 注 画图时一般很难把所有点都描出来 故为了使画出来的图能反映变量间的 变化规律 我们要尽量选择关键点 最高点 最低点和与yx 轴相交的交点 3 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 函数三种表示法的优缺点 结论 如何作函数的图象 一般地 作函数图象主要有三步 列表 描点 连线 作图象 时一般应先确定函数的定义域 再在定义域内化简函数解析式 再列表描出图象 画图时要注意一些关键点 如与坐标轴的交 点 端点的虚 实问题等 如何求函数的解析式 求函数的解

10、析式的关键是理解对应关系 f 的本质与特点 对 应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法 与用什么字 母表示无关 应用适当的方法 注意有的函数要注明定义 域 主要方法有 代入法 待定系数法 换元法 解方程组 法 消元法 2 分段函数 1 一般地 分段函数就是在函数定义域内 对于自变量x的不同取 值范围 有着不同的对应关系的函数 2 分段函数是一个函数 其定义域 值域分别是各段函数的定义域 值域的并集 各段函数的定义域的交集是空集 3 作分段函数图象时 应分别作出每一段的图象 研究分段函数 要牢牢抓住两个要点 1 分段研究 2 合并表达 因为分段函数无论分成多少段 仍是一个函数 对外是一 个整体

11、 3 映射的概念 设BA 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应 那么就称对应BAf 为从集合A到集合B的一个映 射 注 注 映射BAf 其中BA 是两个 非空集合 而函数Axxfy 为 非 空的数集 其值域也是数集 于是 函数是数集到数集的映射 由此可知 映 射是函数的推广 函数是一种特殊的映射 映射是一种特殊的对应 它具有 1 方向性 映射是有次序的 一般地从 A 到 B 的 映射与从 B 到 A 的映射是不同的 2 唯一性 集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中 都有唯一的元素与之对应 可以是 一对一 多

12、对一 但不能一对多 1 3 函数的基本性质 1 3 1 单调性与最大 小 值 学习目标 1 理解单调区间 单调性等概念 2 会划分函数的单调区间 判断单调性 3 会用定义证明函数的单调性 4 理解函数的最大 小 值的概念及其几何意义 会借助单调性求最值 知识点 1 函数的单调性相关概念 一般地 设函数 xf的定义域为I 1 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值 21 xx当 21 xx 时 都有 21 xfxf 那么就说函数 xf在区间D上是增函数 2 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值 21 xx当 21 xx 时 都有 21 xfxf 那么就说函数 xf在

13、区间D上是减函数 如果函数 xfy 在区间D上是增函数或减函数 那么就说函数 xfy 在这 一区间具有单调性 区间D叫 xfy 做的单调区间 2 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 单调区间是定义域的子集 当函数出现两个以上单调区间时 单调区间之间可用 分开 不能用 可以用 和 来表示 在单调区间D上函数要么是增函数 要么是减函数 不 能二者兼有 3 用定义判断或证明函数单调性 1 取值 给定的区间上任意取 21 x x且 21 xx 2 作差 作出 21 xfxf 3 变形 将式子 21 xfxf 进行变形转化 为可判断正负号的式子 4 定号 得出 21 xfxf 的正负号 5 小结

14、 根据正负号得出结论 对于函数值恒正 或恒负 的函数 xf 证明单调性时 也可以作商 2 1 xf xf 与 1 比较 4 熟悉常见的一些单调性结论 包括一次函数 二次函数 反比例函数等 若 xf xg都是增函数 xh是减函数 则在定义域的交集 非空 上 xgxf 单调递增 xhxf 单调递增 xf 单调递减 5 函数的最大 小 值 一般地 设函数 xfy 的定义域为 I如果存在实数M 满足 1 对于任意 Ix 都有Mxf 2 存在 0 Ix 使得 0 Mxf 那么 称M是函数 xfy 的最大值 如果存在实数M满足 1 对于任意 Ix 都有 Mxf 2 存在 0 Ix 使得 0 Mxf 那么称

15、M是函数 xfy 的最小值 注 注 1 若函数 xfy 在区间 ba上单调递增 则 xf的最大值为 bf 最小值为 af 2 若函数 xfy 在区间 ba上单调递减 则 xf的最大值为 af 最小值为 bf 3 若函数 xfy 有多个单调区间 那就先决出各区间上的最值 再从各区间的最值组成 的集合中取最大或最小的值 函数的最大 小 值是整个值域范围内最大或最小 6 函数的最值与值域 单调性之间的联系 1 对一个函数来说 其值域是确定的 但它不一定有最值 如函数 1 x y 如果 有最值 则最值一定是值域中的一个元素 2 若函数 xf在闭区间 ba上单调 则 xf的最值必在区间端点处取得 即 最

16、大值是 af或 bf 最小值是 bf或 af 1 3 2 奇偶性 学习目标 1 理解函数奇偶性的定义 2 掌握函数奇偶性的判断和证明方法 3 会应用奇 偶函数图象的对称性解决简单问题 求解不等式以及函数解析式 知识点 1 奇偶函数的定义 1 偶函数 如果对于函数 xf的定义域内任意一个x 都有 xfxf 那么函数 xf就叫做偶函数 其实质是函数 xf上任一点 xfx关于y轴 的对称点 xfx 也在 xf图象上 2 奇函数 如果对于函数 xf的定义域内任意一个x 都有 xfxf 那么函数 xf就叫做奇函数 其 实质是函数 xf上任一点 xfx关于原点的对 称点 xfx 也在 xf图象上 2 奇偶函数的几何特征 一般地 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关 于原点对称 3 奇偶函数定义域特征 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则 即首先要看定义 域是否关于原点对称 4 奇偶函数的证明 1 首先看定义域是否关于原点对称 2 定义域内的任意一个x 若函数满足 xfxf 则为 偶函数 若函数满足 xfxf 则为奇函数 5 如果知道函数的奇偶性和一个区间 ba上的解析式 那么就可以设出关于原