《新高考数学（理）之平面向量 专题02平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学（理）之平面向量 专题02平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学（理）平面向量02 平面向量的基本定理及坐标表示【考点讲解】一、具本目标： 平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点透析：1.理解平面向量基本定理的实质，理解基底的概念，会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.4.用坐标表示的平面向量的共线条件是高考考查的重点，分值5分.一般是中低档题.二、知识概述：平面向量基本定理及其应用
2、平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量
3、不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的平面向量的坐标运算1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2)平面向量的坐标表示:(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(2)若，则3）平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则(3)设，则，.平
4、面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标.比如：，则注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息【真题分析】1.【2018年高考全国I卷】在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABCD【解析】本题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量
5、的问题，根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【答案】A2.【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）A B C D【解析】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分.连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.设 = 所以当时，上式取最大值，故选A.【答案】A3.【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（ ）A3 B2CD2【解析】本题考查的是平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
6、运算.如图所示，建立平面直角坐标系. 设，易得圆的半径，即圆C的方程是，若满足，则 ，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A【答案】A4.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.【答案】5.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_【解析】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算.如图，过点D作D
7、F/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD，得即故【答案】.6.【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是_；最大值是_【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则,令0.又因为可取遍，所以当时，有最小值.因为和的取值不相关，或，所以当和分别取得最大值时，y有最大值，所以当时，有最大值.故答案为0；.【答案】0；.7.【2017年高考天津卷理】在中，若，且，则的值为_【解析】本题考查的是平面向量基本定理的诮用问题.由题可得，则【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利
8、用向量的定比分点公式表示向量，则可获解本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积【答案】8.【2019优选题】已知向量（1）若，求的值； （2）若求的值。【解析】因为，所以 于是，故 由知，所以 从而，即，于是. 又由知，所以，或. 因此，或 【答案】（1）（2）.【模拟考场】1. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A. B . C. D. 【解析】本题考点是平面向量的基本定理的应用.由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.【答案】B2.设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）A.20 B.15 C.9 D.6【解析】本题考点是平面向
9、量的基本定理及向量的运算，由题意可知，所以，选C.【答案】C3.中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则=（ ）A. B. C. D. 【解析】三点共线，；同理由三点共线得解得故，故选B【答案】B4.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2，则( )A2 B2 C D【解析】依题，所以.故选A【答案】A5.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）A B C D2【解析】设正方形边长为，以为原点建立平面直角坐标系，则,，依题意，即，解得.【答案】B6.设分别为的三边的中点，则（ ）A. B. C. D. 【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，同理，【答案】
10、A7.在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_.【解析】本题考点平面向量的加法法则、平面向量基本定理的应用，由题意可知，又因为，所以所以有，解得，所以.【答案】28.如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则x2y的最小值为()A2 B C. D【解析】由已知可得()，又M，G，N三点共线，故1，3，则(当且仅当xy时，取“”号)【答案】C9.设, 点是线段上的一个动点, , 若, 则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 解得: , 因点是线段上的一个动点, 所以,即满足条件的实数的取值范围是, 故选择答案B.【答案
11、】B10.如图，在四边形中，,，且，设，则_.【解析】建立直角坐标系如图，则由，得 ，即，解得，所以.【答案】4.11.在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足.（1）求与的值；（2）若三点坐标分别为，求点坐标.【解析】（1）设则 . ，故 ， 而由平面向量基本定理得，解得 .（2）、，由于为中点， . 设，又由（1）知所以可得，解之得所以点的坐标为.【答案】（1）；（2）点的坐标为.12.已知点为坐标原点，(1)求点在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当时，不论为何实数，三点都共线；(3)若，求当且的面积为12时的值【解析】(1)当点在第二或第三象限时，有,故所求的充要条件为且(2)证明：当时，由(1)知，三点共线(3)当时，又，故又，点到直线的距离：.，解得，故所求的值为.16
