《新高考数学（理）之数列 专题05 等比数列（等比数列的和与性质）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学（理）之数列 专题05 等比数列（等比数列的和与性质）（解析版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新高考数学（理）数列05 等比数列（等比数列的和与性质）【考点讲解】1、 具体目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4） 了解等比数列与指数函数的关系.二、知识概述：1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )（2）等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列（3）如果 成等比数列，那么叫做与的
2、等比中项，且， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， （4）等比数列的前项和的公式为或 , 等比数列中没有“0”的项。用等比数列求和公式解题时，注意与两个不同的条件2、等比数列的性质（1）在等比数列中，（）（2）在等比数列中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（），则（3）在等比数列中，依次个项之和仍组成一个等比数列，即是前项之和，则，也是等比数列（4）对于正项等比数列，取，则即为等差数列。所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比【真题分析】1.【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列an的前n项和若，则S
3、5=_【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以【答案】2.【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.解得，所以【答案】3.【2017年高考江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则_【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则【答案】324【2019优选题】在数列和中，且对任意正整数，是与的等差中项，则的前n项的和为 【解析】，是以为首项，公比为的等比数列，.，是以为首项，公比为的等比数列.【答案】5.【2017课标II，理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
4、共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【解析】本题考点是 等比数列的应用；等比数列的求和公式.设塔顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有解得，即塔的顶层共有灯盏3盏.【答案】B6.【2019优选题】已知等比数列的首项公比前项和为，则的大小为（ ）【解析】本题考点是等比数列的基本量的运算.；.因为，所以，等号不能取到。【答案】C7.【2018年高考全国III卷】等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【解析
5、】（1）设的公比为，由题设得.由已知得，解得（舍去），或.故或.（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.若，则.由得，解得.综上，.【答案】（1）或；（2）.8.【2018年高考北京卷文数】设是等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）求.【解析】（1）设等差数列的公差为，又，.（2）由（1）知，是以2为首项，2为公比的等比数列.【答案】（1）；（2）.9.【2017年高考全国II卷文数】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.【解析】设an的公差为d，bn的公比为q，则an=-1+（n-1）d， bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.（1）
6、由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得d=3，q=0（舍去），d=1，q=2.因此bn的通项公式为bn=2n-1.（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5，q=4.当q=-5时，由得d=8，则S3=21.当q=4时，由得d=-1，则S3=-6.【答案】（1）bn=2n-1；（2）当q=-5时， S3=21.当q=4时， S3=-6.10.【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列已知（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；（ii）求【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得故所以，的通项公式为的通项公式为（2）（i
7、）所以，数列的通项公式为（ii） 【答案】（1）；（2）（i）（ii）11.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（2）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=02，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（ii），不等式对任意成立【答案】（1），；（2）证明见解析.【模拟考场】1.等比数列an的各项均为正数，且a2a69，则log3a1+log3a2+log3a7的值为 【分析】根据题意，由等比
8、数列的性质可得a1a7a2a6a3a5a42932，进而由对数的运算性质可得log3a1+log3a2+log3a7log3（a1a2a3a4a5a6a7）log337，变形可得答案本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算性质，注意利用等比数列的性质进行分析.【解析】根据题意，等比数列an中，若a2a69，则a1a7a2a6a3a5a42932，则log3a1+log3a2+log3a7log3（a1a2a3a4a5a6a7）log3377.【答案】72.已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足，则数列an的公比为 【分析】直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式的应用求出结果考点是
9、数列的通项公式和前n项和公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力.【解析】已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足，所以：所以：qm27，另：，解得：m3，所以：q3【答案】33已知等比数列an中a11，且，那么 【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和.【解答】解：设公比为q，a11，且满足，q2，31，【答案】314.等比数列an的前n项和为Sn，a1，若，则a2a4 【分析】先求出公比，再根据通项公式即可求出，本题考查了等比数列的求和公式和通项公式.【解析】等比数列an的前n项和为Sn，a1，即1+q3，解得q，a2
10、a4（a1q）（a1q3）（）（），【答案】5.已知等比数列an的首项为a1，公比为q，其前n项和为Sn，下列命题中正确的是 （写出全部正确命题的序号）（1）等比数列an单调递增的充要条件是a10且q1；（2）数列：S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，也是等比数列；（3）SnqSn1+a1（nN*，n2）；（4）点（n，Sn）在函数f（x）cdx（c，d为常数，且d0，d1）的图象上【分析】举例说明（1）错误；由等比数列的前n项和公式及定义可得（2），（3）正确；把等比数列前n项和写出指数型函数，可知（4）错误本题考查等比数列的通项公式、前n项和及性质，考查推理运算能力.【解析】对于（1）
11、，等比数列满足a10，0q1时，数列为单调递增数列，故（1）错误；对于（2），等比数列的首项为a1，等比为q.则，同理，（S3nS2n）2（S2nSn）（S4nS3n），得到此数列为等比数列，故（2）正确；对于（3），（nN*，n2），故（3）正确；对于（4），若点（n，Sn）在函数f（x）cdx（c，d为常数，且d0，d1）的图象上，则，当公比q0时不成立，故（4）错误正确命题的序号是（2），（3）【答案】（2），（3）6.设等比数列的前项和为.若，则数列的公比的值为 .【解析】若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意 ,即因为，所以所以解得 【答案】7.已知数列an的首项为1，数列bn为等
12、比数列且，若b10b112，则b7b14 ，a21 【分析】根据所给的关系式，依次令n1、2、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a21的值【解答】解：由得：，.以上20个式子相乘得，数列bn为等比数列，且b10b112，数列an的首项为1，210a211024，b10b112，b7b142，【答案】：2，10248设Sn是等比数列an的前n项和，若，则 【分析】根据等比数列的求和公式，以及，可得q52，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.【解析】设Sn是等比数列an的前n项和，即1+q53，q52，【答案】9.【2017
13、年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=6（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【解析】（1）设的公比为由题设可得解得，故的通项公式为（2）由（1）可得由于，故，成等差数列10.【2017年高考北京卷文数】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（1）求的通项公式；（2）求和：【解析】（1）设等差数列an的公差为d因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n1（2）设等比数列bn的公比为q因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以从而【答案】（1）an=2n1；（2）.
