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1、材料力学（土）笔记第三章 扭 转1概 述等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解2薄壁圆筒的扭转设一薄壁圆筒的壁厚远小于其平均半径（），其两端承受
2、产生扭转变形的外力偶矩，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n上的内力将是作用在该截面上的力偶该内力偶矩称为扭矩，并用表示由横截面上的应力与微面积之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子在圆筒两端施加外力偶矩后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用来表示圆筒表面上每个格
3、子的指教都改变了相同的角度，这种直角的该变量称为切应变这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等由于壁厚远小于其平均半径，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力值均相等，其方向与圆周相切由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得由于为常量，且对于薄壁圆筒，可以用其平均半径代替，积分为圆筒横截面面积，引进，从而得到由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变和相距为的两端面间相对扭转角之间的关系式，式子中为薄壁圆筒的外半径当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角与外力偶矩（在数值上等于）之间
4、成正比可得和间的线性关系为上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为剪切胡克定律只有在切应力不超过某材料的某极限值时才适用该极限称为材料的剪切比例极限，适用于切应力不超过材料剪切比例极限的线弹性范围3传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图3.1 传动轴的外力偶矩设一传动轴，其转速为n（r/min），轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去设通过某一轮所传递的功率为，常用单位为kW1 kW=1000 W；1 W=1 J/s ; 1 J=1 Nm当轴在稳定转动时，外力偶在t秒内所做的功等于其矩与轮在t秒内的转角之乘积因此，外力偶
5、每秒钟所作的功即功率为 即得到作用在该轮上的外力偶矩为外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反3.2 扭矩及扭矩图可用截面法计算轴横截面上的扭矩为使从两段杆所求得的同一横截面上扭矩的正负号一致按杆的变化情况，规定杆因扭转而使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时则该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负若将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢表示，则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负为了表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在横截面的位置可仿照轴力图的作法绘制扭矩图4等直圆杆扭转时的应力强度条件4.1 横截面上的应力与薄
6、壁圆筒相仿，在小变形下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力几何方面为研究横截面上任意一点处切应变随点的位置而变化的规律在等直圆杆的表面上作出任意两个相邻的圆周线和纵向线当杆的两端施加一对其矩为的外力偶后，可以发现：两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度，圆周线的大小和形状均为改变在变形微小的情况下，圆周线的间距也未变化纵向线则倾斜了一个角度假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即平面假设上述假设只适用于圆杆为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置而变化的规律假想地截取长为的杆段进行分析由平面假设可知，截面b-b相对于截面a-a绕杆轴转动了一个微小的角度因此其上的任意半径也转动了同一角度由于截面
7、转动，杆表面上的纵向线倾斜了一个角度纵向线的倾斜角就是横截面周边上任一点A处的切应变同时经过半径上任意一点的纵向线在杆变形后也倾斜了一个角度为圆心到半径上点的距离即为横截面半径上任意一点处的且应变由几何关系可得即上式表示等直接圆杆横截面上任一点处的切应变随该点在横截面上的位置而变化的规律式子中的表示相对扭转角沿杆长度的变化率，对于给定的横截面是个常量在同一半径的圆周上各点处的切应变都相同，且与成正比物理方面由剪切胡可定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比令相应点处的切应力为，即得横截面上切应力变化规律表达式由上式可知，在同一半径的圆周上各点处的切应力 值均相等，其值与成正比因为垂直于半
8、径平面内的切应变，故的方向垂直于半径静力学方面由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素等值且反向则整个截面上的内力元素的合力必等于零，并组成一个力偶，即为横截面上的扭矩因为的方向垂直于半径，故内力元素对圆心的力矩为由静力学中的合力矩原理可得经整理后得上式中的积分仅与横截面的几何量有关，称为极惯性矩，用表示其单位为，整理得可得上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式当等于横截面的半径时，即在横截面周边上的各点处，切应力将达到其最大值在上式中若用代表，则有式中，称为扭转截面系数，单位为推导切应力计算公式的主要依据为平面假设，且材料符合胡克定律因此公式仅适用于在线弹性范围内的
9、等直圆杆为计算极惯性矩和扭转截面系数在圆截面上距圆心为处取厚度为的环形面积作为面积因素可得圆截面的极惯性矩为圆截面的扭转截面系数为由于平面假设同样适用于空心截面杆件，上述切应力公式也适用于空心圆截面杆设空心圆截面杆的内、外直径分别为和，其比值则可得空心圆截面的极惯性矩为所以扭转截面系数为4.2 斜截面上的应力在圆杆的表面处用横截面、径向截面及与表面相切的面截取一单元体在其左右两侧（即杆的横截面）上只有切应力，其方向与y轴平行在其前后两平面（即与杆表面相切的面）上无任何应力由于单元体处于平衡状态，故由平衡方程可知单元体在左右两侧面上的内力元素应是大小相等，指向相反的一对力并组成一个力偶，其矩为为
10、满足令两个平衡方程， 和在单元体上、下两个平面上将有大小相等、指向相反的一对内力元素并组成其矩为的力偶该力偶与前一力偶矩数值相等而转向相反，从而可得上式表明，两相互垂直平面上的切应力和数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理该定理具有普遍意义纯剪切应力状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态等直圆杆和薄壁圆筒在发生扭转时，其中的单元体均处于纯剪切应力状态现分析在单元体内垂直于前、后量平面的任意斜截面上的应力斜截面外法线n与x轴的夹角为规定从x轴至截面外法向逆时针转动时为正，反之为负应用截面法，研究其左边部分的平衡设斜截面的面积为，则面和面的面积分别为
11、和选择参考轴和分别于斜截面平行和垂直由平衡方程和即利用切应力互等定理公式，整理后即得任意一斜截面上的正应力和切应力的计算公式单元体的四个侧面（和）上的切应力绝对值最大，均等于和两截面上正应力分别为即该两截面上的正应力分别为中的最大值和最小值，即一为拉应力，另一为压应力其绝对值均等于，且最大、最小正应力的作用面与最大切应力的作用面之间互成45这些结论是纯剪切应力状态的特点，不限于等直圆杆在圆杆的扭转试验中，对于剪切强度低于拉伸强度的材料（如低碳钢），破坏是由横截面上的最大切应力引起，并从杆的最外层沿与杆轴线约成45倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的在最大切应力相等的情况下，空心圆轴的自重较实心圆轴
12、为轻，比较节省材料4.3 强度条件强度条件是最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即等直圆杆的最大工作应力存在于最大扭矩所在横截面即危险截面的周边上任一点，即危险点上述强度条件可写为5等直圆杆扭转时的变形刚度条件5.1 扭转时的变形等直杆的扭转变形是用两横截面绕杆轴相对转动的相对角位移，即相对扭转角来度量的为相距的两横截面间的相对扭转角 因此，长为的一段杆两端面间的相对扭转角长为的一段杆两端间的相对扭转角为当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的扭矩均相同且等于杆端的外力偶矩对于由同一材料制成的等直圆杆，及亦为常量，则可得或的单位为，其正负号随扭矩而定由上式可见，相对扭转角与成反
13、比，称为等直圆杆的扭转刚度由于杆在扭转时各横截面上的扭矩可能并不相同，且杆的长度也各不相同因此在工程中，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率来度量，称为单位长度扭转角，并用表示公式只适用于材料在线弹性范围内的等直圆杆例题3-5截面C相对于截面B的扭转角，应等于截面A相对于B的扭转角与截面C相对于A的扭转角之和5.2 刚度条件等直杆扭转时，除需满足强度条件外，有时还需满足刚度条件刚度要求通常是限制器单位长度扭转角中最大值不超过某一规定的允许值，即上式即为等直圆杆在扭转时的刚度条件式中，称为许可单位长度扭转角，其常用单位是需要将单位换算，于是可得许可单位长度扭转角是根据作用在轴上的荷载
14、性质以及轴的工作条件等因素决定的6等直圆杆扭转时的应变能当圆杆扭转变形时，杆内将积蓄应变能计算杆内应变能，需先计算杆内任一点处的应变能密度，再计算全杆内所积蓄的应变能受扭圆杆的任一点处于纯剪切应力状态设其左侧面固定，则单元体在变形后右侧面将向下移动当材料处于线弹性范围内，切应力与切应变成正比，且切应变值很小因此在变形过程中，上、下两面上的外力将不作功只有右侧面上的外力对相应的位移做功，其值为单元体内所积蓄的应变能数值上等于于是可得单位体积内的应变能即应变能密度为根据剪切胡克定律，上式可改写为或求得受扭圆杆任一点处的应变能密度后，全杆的应变能可由积分计算为杆的体积，为杆的横截面积，为杆长若等直杆仅在两端受外力偶矩作用，则任一横截面的扭矩和极惯性矩均相同可得杆内得应变能为以上应变能表达式也可利用外力功与应变能数值上相等的关系，直接从作用在杆端的外力偶矩在杆发生扭转过程中所做的功算得7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形对于非等直圆杆，在杆扭转后横截面不在保持为平面取一矩形截面杆，事先在其表面绘出横截面的周线，则在杆扭转后，这些周线变成了曲线从而可以推知，其横截面在杆变形后将发生翘曲而不再保持平面对于此类问题，只能用弹性的理论方法求解等直非圆杆在扭转时横截面发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，称为纯扭转或自
