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1、受迫振动研究报告摘要：本实验借助共振仪，测量观察电磁阻尼对摆轮的振幅与振动频率之间的影响。在此基础上，研究了受迫振动，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并以此求出阻尼系数 。关键词：受迫振动幅频特性曲线相频特性曲线引言：振动是自然界最常见的运动形式之一。由受迫振动而引起的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作；为研究物质的微观结构，常采用磁共振的方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要的任务。1.实验原理1.1 受迫振动本实验中采用的是伯尔共振仪，其外形如图 1 所示：图
2、1铜质圆形摆轮系统作受迫振动时它受到三种力的作用：蜗卷弹簧 B 提供的弹性力矩,轴承、空气和电磁阻尼力矩 ,电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供的驱动力矩 。=0cos根据转动定理，有22=+0cos（ 1）式中，J 为摆轮的转动惯量， 为驱动力矩的幅值， 为驱动力矩的角频率，令0 20=， 2=， =0则式（1）可写为 22+2+20=cos (2)式中 为阻尼系数， 为摆轮系统的固有频率。在小阻尼 条件下，方程 0 (22)（2）的通解为： =cos(0+)+(+)此解为两项之和，由于前一项会随着时间的推移而消失，这反映的是一种暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力同频率且振幅为 的振动
3、。可见，虽然刚开始振动比较复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，称为一种简谐振动。公式为： =(+) (3)振幅 和初相位 （ 为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统 的性质与阻尼情况有关，也与驱动力的频率 和力矩的幅度 有关，而与振动的初始条件 0无关（初始条件只是影响达到稳定状态所用的时间） 。 与 由下述两项决定： = (202)2+422（ 4）=2202（ 5）1.2 共振由极值条件 可以得出，当驱动力的角频率为 时，受迫振动的振=0 =2022幅达到最大值，产生共振：共振的角频率 =2022振幅：= 2202（ 6）相位差 =(2022 )由上式
4、可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率 越接近于系统的固有频率 ，共 0振振幅 也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于 . /2下面两幅图给出了不同阻尼系数 的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。受迫振动的幅频特性受迫振动的相频特性1.3 阻尼系数 的测量(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数 摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩 ,轴承、空气和电磁阻尼力矩 ， 阻尼较小（ ）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方程和方程的解为：22022+2+20=0=cos(+)=202可见，阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔
5、n 个周期的两振幅之比取对数，则有：0= (+)=实际的测量之中，可以以此来算出 值。其中，n 为阻尼振动的周期数， 为计时开 0始时振动振幅， 为的 n 次振动时振幅，T 为阻尼振动时周期。（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数 （只适合于 时的情况） 220由幅频特性可以看出，弱阻尼 情况下，共振峰附近 ，220 01， +020由（4）和（6）可得： =2202(202)2+422(0)2+2当 时，由上式可得： 。= 2 0在幅频特性曲线上可以直接读出 处对应的两个横坐标 和 ，= 2 +0 0从而可得： +=2 （ 8）2. 实验仪器伯尔共振仪，如图：3. 实验数据及其处理3.
6、1 测定电磁阻尼为 0 情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系周 期 （ s） 振 幅 周 期 （ s） 振 幅 周 期 （ s） 振 幅1.569 159 1.572 122 1.575 821.569 158 1.572 120 1.575 781.570 153 1.572 116 1.575 761.570 147 1.573 114 1.575 751.570 146 1.573 111 1.575 741.570 145 1.573 110 1.576 691.570 141 1.573 109 1.576 661.571 137 1.573 106 1.576 601.571 13
7、5 1.573 103 1.576 591.571 130 1.574 99 1.576 581.572 127 1.574 94 1.576 531.571 126 1.574 93 1.576 521.572 125 1.574 92 1.576 511.572 124 1.574 91 1.576 501.574 87() () ()对这些数据进行作点拟合：由拟合直线可以看出周期 T 与振幅 的关系式为：=6.6801105+1.5800说明：（1）由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数 k 在扭转角度 的改变而略有变化（3% 左右） 。为此测出周期与振幅之间的关系曲线，供作幅频特
8、性曲线和相频特性曲线是查用，有效减小实验的系统误差。（2）由于实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。所以在图上的描点会出现这样的情况。采用直线拟合效果也是比较好的。3.2 观察研究摆轮的阻尼振动实验数据如下：振 幅 150 138 128 117 108 100 92 84 78 7110个 周 期 （ 15.736s） 时 振 幅 记 录()由公式：0= (+)=可以得出：15071=15.735所以： =0.047533.3 测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数数据载入(周期的单位均为 S):周 期 *10 振 幅 相 位 差 周 期 *1 初 始 周 期 角
9、 频 率 比 值16.233 66 24.5 1.6233 1.575601 0.970616116.213 68 25.7 1.6213 1.575468 0.97173116.177 72 27.5 1.6177 1.5752 0.973728316.152 75 28 1.6152 1.575 0.975111416.086 84 33 1.6086 1.574399 0.978738516.012 97 39 1.6012 1.57353 0.982719415.94 112 46 1.594 1.572528 0.986529715.911 118 49.5 1.5911 1.572
10、127 0.988075815.871 127 55.5 1.5871 1.571526 0.990187315.84 134 61.2 1.584 1.571059 0.9918315.81 140 66 1.581 1.570658 0.993458515.785 146 71.2 1.5785 1.570257 0.99477815.763 149 76 1.5763 1.570057 0.996039215.746 151 80 1.5746 1.569923 0.997029715.723 154 86 1.5723 1.569723 0.998360815.71 154 86 1.
11、571 1.569723 0.999186915.701 154 91.5 1.5701 1.569723 0.999759715.689 154 95 1.5689 1.569723 1.000524315.672 151 100 1.5672 1.569923 1.001737515.65 148 106 1.565 1.570123 1.003273815.618 139 115 1.5618 1.570725 1.005714315.6 132 120.5 1.56 1.571192 1.007174515.581 126 125.5 1.5581 1.571593 1.0086599
12、15.554 116 131.5 1.5554 1.572261 1.010840315.528 107 136 1.5528 1.572862 1.012920115.504 100 140 1.5504 1.57333 1.014789715.459 87 145 1.5459 1.574198 1.018305415.257 56 159 1.5257 1.576269 1.033144915.182 49 161 1.5182 1.576737 1.0385567()初始周期指的是对应角度的阻尼为 0 是的周期。由此，可以作出幅频特性曲线和相频特性曲线。拟合出来的幅频特性曲线：拟合的幅
13、频特性曲线的参数如下：由拟合可得，振幅 与 的关系为：0=55.7246+3.02860.025222（ 00.9991） 20.02522因此，峰值 =151.7293由公式（8） ，当 时，=2+=2 因为 , 推出+=(0.014032)0 =0.014030因为 ，且理想条件为 ，通过查表可知 ，0=20 0=0=1 0=1.572所以，阻尼系数为： =0.0561说明：（1）两次算出的值相差比较大，可能是因为使用的计算方式不一样造成的。拟合出来的幅频特性曲线：相应的拟合参数为：所以，拟合的方程为：=161.7824 141.22731+00.99980.0087由拟合的参数可知，拟合的程度还是相当好的。4 总结本次试验通过伯尔共振仪测量观察电磁阻尼对摆轮的振幅与振动频率之间的影响。在此基础上，研究了受迫振动，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并以此求出阻尼系数 。此外，本次试验未对两种方式算出的阻尼系数为什么相差比较大做出理论分析。4 参考文献1钱锋、潘人培，大学物理实验（修订版），北京：高等教育出版社，200
