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1、书山有路 高考导数文科考点总结 一 考试内容导数的概念 导数的几何意义 几种常见函数的导数 两个函数的和 差 基本导数公式 利用导数研究函数的单调性和极值 函数的最大值和最小值 导数概念与运算知识清单1 导数的概念函数y f x 如果自变量x在x0处有增量 x 那么函数y相应地有增量 y fx0 x fx0 x f x0 x f x0 y y比值 x叫做函数y f x 在x0到x0 x之间的平均变化率 即 x y 如果当 x 0时 x有极限 我们就说函数y f x 在点x0处可导 并把这个极限叫做f x 在点x0处的导数 记作f x0 或y x x0 limlim yf x0 x f x0 即
2、f x0 x 0 x x 0 x说明 y y函数f x 在点x0处可导 是指 x 0时 x有极限 如果 x不存在极限 就说函数在点x0处不可导 或说无导数 x是自变量x在x0处的改变量 x 0时 而 y是函数值的改变量 可以是零 由导数的定义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的步骤 可由学生来归纳 1 求函数的增量 y f x0 x f x0 yf x0 x f x0 2 求平均变化率 x x lim y 3 取极限 得导数f x0 x 0 x 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 也就是说 曲线y f x
3、在点p x0 f x0 处的切线的斜率是f x0 相应地 切线方程为y y0 f x0 x x0 1 书山有路3 几种常见函数的导数 C 0 xn nxn 1 sinx cosx cosx sinx x x x ex e a alna lnx 1 x x 1 logax logae 4 两个函数的和 差 积的求导法则法则1 两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数的和 或差 即 u v u v 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 即 uv u v uv 若C为常数 则 Cu C u Cu 0 Cu Cu 即常数与函数的积的
4、导数等于常数乘以函数的导数 Cu Cu 法则3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除 u v2 2 u v uv 以分母的平方 v v 0 形如y f x 的函数称为复合函数 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 法则 y X y U u X导数应用知识清单单调区间 一般地 设函数y f x 在某个区间可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 如果在某区间内恒有f x 0 则f x 为常数 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为0 极值点处的导数为0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜
5、率为负 右侧为正 最值 一般地 在区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 求函数 x 在 a b 内的极值 求函数 x 在区间端点的值 a b 书山有路 将函数 x 的各极值与 a b 比较 其中最大的是最大值 其中最小的是最小值 二 热点题型分析题型一 利用导数研究函数的极值 最值 1 f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是22 已知函数y f x x x c 2在x 2处有极大值 则常数c 6 3 函数y 1 3x x3有极小值 1 极大值3题型二 利用导数几何意义求切线方程1 曲线y 4x x3在点 1 3 处的切线方程是y x 22 若曲线f
6、x x4 x在P点处的切线平行于直线3x y 0 则P点的坐标为 1 0 3 若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直 则l的方程为4x y 3 04 求下列直线的方程 1 曲线y x3 x2 1在P 1 1 处的切线 2 曲线y x2过点P 3 5 的切线 解 1 点P 1 1 在曲线y x3 x2 1上 y 3x2 2x k y x 1 3 2 1所以切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 显然点P 3 5 不在曲线上 所以可设切点为A x0 y0 则y0 x02 又函数的导数为y 2x A x y 0 k y x x 2x0 0000 A x y 所以过点的切线的斜率
7、为 又切线过 P 3 5 点 所以有 0 3 0 0 x 3 2x 0 y0 1y 25 y 5 x0 1或 x0 5 由 联立方程组得 即切点为 1 1 时 切线斜率为 k1 2x0 2 当切点为 5 25 时 切线斜率为k2 2x0 10 所以所求的切线有两条 方程分别为y 1 2 x 1 或y 25 10 x 5 即y 2x 1或y 10 x 25题型三 利用导数研究函数的单调性 极值 最值1 已知函数f x x3 ax2 bx c 过曲线y f x 上的点P 1 f 1 的切线方程为y 3x 1 若函数f x 在x 2处有极值 求f x 的表达式 在 的条件下 求函数y f x 在 3
8、 1 上的最大值 若函数y f x 在区间 2 1 上单调递增 求实数b的取值范围 a c 3即 a c 3故 3 y f x 在x 2时有极值 故f 2 0 4a b 12 由 得a 2 b 4 c 5 f x x3 2x2 4x 5 2 f x 3x2 4x 4 3x 2 x 2 3 x 2时 f x 0 当 2 x 2时 f x 0 当 3 当2 x 1时 f x 0 f x f 2 13极大 f 1 4 f x 又在 3 1 上最大值是13 3 y f x 在 2 1 上单调递增 又f x 3x2 2ax b 由 知2a b 0 依题意f x 在 2 1 上恒有f x 0 即3x2 b
9、x b 0 当 min x b 1时 f x f 1 3 b b 0 b 66 当 f 2 12 2b b 0 b min x b 2时 f x 6 6 4 min 12b b2 0 则0 b 6 2 1时 f x b12 当 综上所述 参数b的取值范围是 0 2 已知三次函数f x x3 ax2 bx c在x 1和x 1时取极值 且f 2 4 求函数y f x 的表达式 求函数y f x 的单调区间和极值 解 1 f x 3x2 2ax b 书山有路解 1 由f x x3 ax2 bx c 求导数得f x 3x2 2ax b 过y f x 上点P 1 f 1 的切线方程为 y f 1 f 1
10、 x 1 即y a b c 1 3 2a b x 1 而过y f x 上P 1 f 1 的切线方程为y 3x 1 3 2a b 3 2a b 0 5 书山有路由题意得 1 1是3x2 2ax b 0的两个根 解得 a 0 b 3 再由f 2 4可得c 2 f x x3 3x 2 2 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 函数f x 在区间 1 上是增函数 在区间 1 上是减函数 在区间 1 上是增函数 函数f x 的极大值是f 1 0 极小值是f 1 4 3 设函数f
11、 x x x a x b 若f x 的图象与直线5x y 8 0相切 切点横坐标为 且f x 在x 1处取极值 求实数a b的值 当b 1时 试证明 不论a取何实数 函数f x 总有两个不同的极值点 解 1 f x 3x2 2 a b x ab 由题意f 2 5 f 1 0 代入上式 解之得 a 1 b 1 2 当b 1时 令f x 0得方程3x2 2 a 1 x a 0 因 1 4 a2 a 1 0 x x 故方程有两个不同实根2 不妨设 1 2 由 12 x xf x 3 x x x x f x 可判断的符号如下 x x时f x 1122 x x x时f x x x时f x 当 当 当 因
12、此x1是极大值点 x2是极小值点 当b 1时 不论a取何实数 函数f x 总有两个不同的极值点 题型四 利用导数研究函数的图象1 如右图 是f x 的导函数 f x 的图象如右图所示 则f x 的图象只可能是 D 书山有路 3 A B C D y 1x3 4x 1的图像为 2 函数 A 3 方程2x3 6x2 7 0在 0 2 内根的个数为 B A 0B 1C 2D 3题型五 利用单调性 极值 最值情况 求参数取值范围 f x 1x3 2ax2 3a2x b 0 a 1 3 1 设函数 1 求函数f x 的单调区间 极值 2 若当x a 1 a 2 时 恒有 f x a 试确定a的取值范围 解
13、 1 f x x2 4ax 3a2 x 3a x a 令f x 0得x1 a x2 3a列表如下 f x 在 a 3a 上单调递增 在 a 和 3a 上单调递减 x a时 3 f x b 4a3 极小 x 3a时 f极小 x b 2 f x x2 4ax 3a2 0 a 1 对称轴x 2a a 1 f x 在 a 1 a 2 上单调递减 Maxmin f a 1 2 4a a 1 3a2 2a 1f a 2 2 4a a 2 3a2 4a 4 依题 f x a fM ax a fm in a即 2a 1 a 4a 4 a o24x 2 4 4 2 yy o24x 2 4 y y24x 2 4
14、4 2 642 642 642 4 2 y x o 6 24 2 4 642 2 书山有路4 a 1 4 1 解得5 又0 a 1 a的取值范围是5题型六 利用导数研究方程的根13 1 已知平面向量a 3 1 b 2 1 若存在不同时为零的实数k和t 使x a t2 3 b y ka tb x y 试求函数关系式k f t 2 据 1 的结论 讨论关于t的方程f t k 0的解的情况 解 1 x y x y 0即 a t2 3 b ka tb 0 22整理后得 ka t k t2 3 a b t2 3 b 0122 a b 0 a 4 b 1 上式化为 4k t t2 3 0 即k 4t t2
15、 3 11 2 讨论方程4t t2 3 k 0的解的情况 可以看作曲线f t 4t t2 3 与直线y k的交点个数 33于是f t 4 t2 1 4 t 1 t 1 令f t 0 解得t1 1 t2 1 当t变化时 f t f t 的变化情况如下表 1当t 1时 f t 有极大值 f t 极大值 2 1当t 1时 f t 有极小值 f t 极小值 21函数f t 4t t2 3 的图象如图13 2 1所示 可观察出 11 1 当k 2或k 2时 方程f t k 0有且只有一解 7 2 已知a为实数 函数 2 书山有路11 2 当k 2或k 2时 方程f t k 0有两解 11 3 当 2 k
16、 2时 方程f t k 0有三解 题型七 导数与不等式的综合1 设a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调函数 求实数a的取值范围 解 1 y f x 3x2 a 若f x 在 1 上是单调递减函数 则须y 0 即a 3x2 这样的实数a不存在 故f x 在 1 上不可能是单调递减函数 若f x 在 1 上是单调递增函数 则a 3x2 由于x 1 故3x2 3 从而0 a 3 f x x2 3 x a 1 若函数f x 的图象上有与x轴平行的切线 求a的取值范围 2 若f 1 0 求函数f x 的单调区间 证明对任意的x1 x2 1 0 不等式 12 f x f x 5 16恒成立 解 f x x3 ax2 3x 3a f x 3x2 2ax 3222 函数f x 的图象有与x轴平行的切线 f x 0有实数解 2 4a2 4 3 3 0a2 9 2 所以a的取值范围是 2 32 32 2 f 1 0 2 3 2a 3 0 a 9 f x 3x2 9x 3 3 x 1 x 1 4 222 由f x 0 x 1或 x 1f x 0 1 x 12 由2 8 f x 的单调递增区间是 1
