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1、MIMO信道的信道容量摘要由于 MIMO 可以在不需要增加带宽或总发送功率耗损（transmit power expenditure）的情况下大幅地增加系统的资料吞吐量（throughput）及传送距离，使得此技术于近几年受到许多瞩目。MIMO 的核心概念为利用多根发射天线与多根接收天线所提供之空间自由度来有效提升无线通信系统之频谱效率，以提升传输速率并改善通信品质。研究MIMO信道的容量是对MIMO进行深入分析的基础，本文分析了MIMO信道的容量计算方法，分别介绍了在静态信道中的注水法、平均功率分配法信道容量，以及衰落信道中遍历容量和中断容量。关键词：MIMO，信道容量，注水法，平均功率分配
2、，遍历容量，中断容量1 引言信道容量的计算是研究噪声信道的主要关注点之一。信道容量的定义是以任意小的差错率传输信息的最大速率，它建立了可靠通信的基本极限。因此，信道容量广泛应用于衡量通信系统的性能。本文的主要目标是研究与MIMO无线信道有关的信道容量。MIMO信道的香农容量是能够以任意小的差错率传输的最大数据率。中断容量则定义为能使中断率不超过某个数值的最大数据率。信道容量的大小和收发两端是否已知信道增益矩阵或其分布有关。下文先给出不同信道信息假设下静态信道的容量，它是其后讨论的衰落信道容量的基础。2.1 MIMO信道的并行分解发送端和接收端都有多个天线时，可以获得另外的一种增益，称作复用增益
3、。MIMO信道的服用增益来源于MIMO信道可以分解为R个并行的独立信道。在这些独立的信道上传输多路数据，数据速率就可以比单个天线系统提高R倍，这个提高的倍数就是复用增益。这个分解过程就用到了矩阵理论中的奇异值分解的知识。奇异值分解（singular value decomposition ,SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。考虑一个的MIMO信道
4、 ，发送端和接收端都已知信道增益矩阵H。令表示H的秩。对任意的H，可进行奇异值分解:其中的矩阵U和的矩阵是酉矩阵，的矩阵是由H的奇异值构成的对角阵即。这些奇异值中有个不为零，并且，其中为的第i大特征值。因为矩阵H的秩不能超过他的行数或列数，所以。满秩的情况称为富散射环境，此时。其他情况可能是低秩的，若某个信道中的H的元素高度相关，其秩可能会降为1。 用发送与编码和接受成形对信道的输入输出x和y分别进行变换，就可以实现矩阵的并行分解。发送预编码将输入向量x经线性变换后作为天线的输入，接收成形将信道的输出y乘以，如图（2）图2 发送预编码与接收成形发送预编码和接收成形将MIMO信道变换成个并行的单
5、入单出SISO信道，其输入为，输出为。这一点可以从奇异值分解得到：其中，是由H的奇异值构成的对角阵。注意到乘上酉矩阵不改变噪声的分布，即与同分布的。这样，发送预编码和接收成形将MIMO信道变换成了个独立的并行信道，第i个信道的输入为、输出为，噪声为，信道增益为。注意之间是有关联的，他们都是H的函数。不过由于这些并行信道并不相互干扰，所以我们说这些信道总是通过发送功率联系在一起的一组独立信道。并行分解如图（3）所示。并行信道互不干扰，使得最大似然解调的复杂度随线性增长。此外，通过在这些信道上发送独立数据，MIMO的数据速率将是单天线系统的倍，即复用增益为。但需注意，每个信道的性能与有关。1图1
6、MIMO信道奇使用异值分解后的等效并行信道2.2 静态信道MIMO信道的容量是SISO信道的互信息公式在矩阵信道下的扩展。静态信道下，接收端可以容易地对H做出很好的估计，因此本节假设有发送端信道边信息（channel side information at the transmitter ,CSIT）。在此假设下，信道容量由信道输入向量x和输出向量y之间的互信息确定：（1）其中是y的熵，是y|x的熵。由熵的定义可知，其中为噪声熵。噪声的熵独立于信道输入，所以最大化互信息就是最大化y的熵。若给定输入向量x的协方差矩阵为，那么MIMO信道输出y的协方差矩阵为（1-1）可以证明，给定协方差矩阵为的所
7、有随机向量中，零均值循环对称随机向量的熵最大。而仅当输入向量x是零均值循环对称复高斯随机变量时，y才是零均值循环对称复高斯随机变量，所以零均值循环对称复高斯随机变量是式中x的最佳分布，功率约束条件是。于是，我们有，从而互信息为（1-2）MIMO信道容量就是所有满足功率约束条件的输入协方差矩阵中，使得互信息量最大，即（1-3）其中是矩阵A的行列式。很明显，最优的取决于发送端是否知道。以下根据不同的发送端信道边信息假设来考虑这个最优问题。1.发送端已知信道：注水法对于给定信道矩阵为的MIMO信道，当发送端和接收端均已知时，MIMO信道分解可以简化信道容量的分析。具体而言，信道容量等于总发送功率在各
8、个信道之间最优分配后，各个独立并行信道的容量之和。最优功率分配就是通过优化协方差矩阵使（1-3）最大化的结果。讲奇异值分解带入（1-3），利用酉矩阵性质可以得到收发两端都已知信道时MIMO信道的容量为（1-4）其中是的非零奇异值的个数。由于MIMO信道可以分解成个并行信道，因此称其自由度为。由于，式（1-4）所示的容量也可以根据第i个并行信道的功率表示为（1-5）其中是满功率时第i个信道的信噪比。上式表明，高信噪比时，信道容量随信道的自由度线性增长；相反，低信噪比时，所有功率都会分配在信噪比最大（即最大）的那个信道上。式（1-5）与平坦衰落信道或频率选择性信道类似。其最优解是MIMO信道的注水
9、法功率分配：（1-6）其中为某个门限值。由此得到信道容量为对于有一个发送天线和多个接收天线的单入多出系统，或者有多个发送天线一个接收天线的多入单出系统，也可以定义出收发都有理想信道信息时的容量。这些信道可以通过多天线获得分集增益和阵列增益，但没有复用增益。当发送端和接收端都已知信道信息时，其容量等于信号在发送端或接收端进行最大比合并后得到的SISO信道的容量为，其中，信道矩阵变成了信道增益向量h。最优权值向量，是。2.发送端未知信道：平均功率分配假设接收端已知信道信息，而发送端未知，那么发送端讲无法在各天线上进行优化功率分配，或是优化天线之间的协方差特性。如果H分布符合ZMSW信道增益模型，其
10、均值和方差对各个天线来说是对称的。因此我们认为应该把功率平均分配给每个发射天线上。这样，输入的协方差矩阵是酉矩阵乘上了一个系数：。在上述假设下，这样的输入协方差矩阵确实能够使信道互信息量最大。此时互信息为可用奇异值分解将此式表示为（1-7）其中。式（1-7）所给出的MIMO信道的互信息与H，特别是奇异值的具体实现有关。对随机矩阵H平均后的平均互信息与H的概率分布有关。在衰落信道中，若发送端以此平均互信息为速率发送数据，可以保证接收端能正确接收，下部分进行讨论。对于静态信道，如果发送端不知道信道状态或者信道的平均互信息，那么它也无法确定该以什么样的速率发送方能保证数据的正确接收。此时最适合的容量
11、定义为中断容量。发送端以固定速率R来发送，中断率表示接收端不能正确接收的概率，也即信道H的互信息小于R的概率，其值为（1-10）这个概率取决于的特征值分析，这些特征值是H的奇异值的平方。人们对聚真气一直的分布问题已经进行了研究，对于MIMO信道中常见的情形，已经得到了分布的结果。当发送端和接收端的天线数目很多时，随机矩阵理论给出了关于H的奇异值分布的中心极限定理。根据这一定理，所有信道实现都有相同的互信息。作为中心极限分布的例子，假设接收端天线数固定为那么在ZMSW模型下，大数定律表明讲此式带入式（1-7）可得，当趋于无限大时，互信息变为常数。定义，则随着M的增大，MIMO信道在位置CSTI的
12、情况下容量将趋于，随着M线性增长。在天线数较少时也能观察到这种随M线性增长的规律。同样的，当信噪比很大时，对于任意和，容量也随着线性增长。由于ZMSW MIMO信道的秩，因此无CSIT时，高信噪比或者天线数很多时，信道容量随信道自由度线性增长。这些结论是MIMO技术颇具吸引力的主要原因：只要接收端能正确估计信道信息，即使发送端不知道信道状态，ZMSW MIMO信道的容量也与发送端和接收端中的最小天线数成线性增长的关系。因此MIMO信道在不需要增加信号功率或带宽的情况下就可以提供很高的数据率。但需注意，信噪比非常低时增加发送天线并无益处，容量只与接受天线数有关。这是因为信噪比非常低时，MIMO系
13、统只是在集中能量，不能利用所有可用的自由度。此时，对于ZMSW MIMO信道，无论是把能量扩展到所有发射天线上，还是集中在一根天线上都能达到容量。随着信噪比的增加，限制因素不再是功率，而我是信道的自由度。尽管至少在天线数很多时，无CSTI比不影响容量的增长率，但他会增加解调的复杂度。因为发送端位置信道便无法将MIMO信道转化为互不干扰的SISO信道，前面已经提到，译码复杂度与所有发送天线上的独立符号数成指数关系，其中的独立符号数等于输入协方差矩阵的秩。我们在这里的分析是在理想的CSRI和没有CSTI条件相下假设了信道增益矩阵分布为ZMSW，即均值为零、协方差矩阵为单位阵。如果信道均值不为零，或
14、者协方差矩阵不是单位阵的话，信道在该空间上就存在差别，此时平均功率分配不是最优的方法，可以利用这种空间差别来采用最优的发送策略。当信道中存在主导的均值或协方差方向时，可用波束成形来达到信道容量。因为波束成形实现起来非常简单，所以这种空间的差异性是一种非常有利的情形。2.3 衰落信道假设信道增益矩阵经历了平衰落，即增益随时间变化。类似于静态信道，信道容量取决于发送端和接收端是否已知信道矩阵。有理想的CSIR和CSIT时，发送发送端可以自适应于信道的衰落，此时的信道容量是最优功率分配下对所有信道矩阵实现的平均。有CSTI、无CSTI时，我们用遍历容量和中断容量来描述信道的容量。下面对此进行详细讨论
15、。1.、发送端已知信道：注水法有CSIT和CSIR时，发送端将像静态信道那样根据每个衰落信道的实现优化发送策略。对每次实现的信道容量进行平均就是信道的遍历容量。这个平均信道叫做信道遍历容量功率分配有两种可能。短期功率约束下，每个信道实现的发送功率等于平均功率，遍历容量为（1-8）其中。长期功率约束下，不同的信道实现H对应不同的发送功率,所有实现的平均功率满足，遍历容量为（1-9）其中。短期功率约束是沿天线的空间注水，而长期功率约束是沿时间和空间的二维注水，类似于时变频率选择性衰落信道容量中的时频注水。式（1-7和式（1-8）第二行中方括号内的项是H的奇异值的函数，因此式中关于H的数学期望取决于奇异值的分布。H为ZMSW矩阵或其他类型矩阵时起一直的分解见文献22的2.1节。2.发送端未知信道：遍历容量和中断容量考虑时变信道，假设接收端已知随机矩阵H，但发送端未知，发送端假设H服从ZMSW分布。此时有两种重要的容量定义，分别是遍历容量和中断容量。遍历容量是按照所有的信道实现平均后的最大可传输速率，他只取决于H的分布。达到这个速率要求发送端在功率约束条件下优化信道输入的协方差矩阵。这一问题的数学表达式为其中的数学期望是对信道矩阵H的分布进行。对于ZSMW模型，H是独立同分别的零均值循环对称的，其方差为1。如同静态信道的结果，能使ZSMW信道的遍历容量最大化的输入
