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1、三角函数的值域与最值 人教版高中数学2014高考第一轮复习 一 高考要求 1 能利用三角函数的定义域 值域 单调性和它们的图象等 求三角函数的最大值和最小值 2 能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值 3 会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决 最值问题是三角函数中考试频率最高的重点内容之一 需要综合运用三角函数概念 图象 性质以及诱导公式 同角三角函数基本关系式 三角变换等 也是函数内容的重要交汇点 常见方法有 1 涉及正 余弦函数以及asin bcos 可考虑利用三角函数的有界性 二 重点解析 2 形如y asin2x bsinx c或y acos2x bsi
2、nx c的函数可通过适当变换 配方求解 3 形如sinx cosx sinxcosx在关系式中时 可考虑换元法处理 三 知识要点 常见的三角换元 1 若x2 y2 1 可设x cos y sin 2 若a x2 y2 b 可设x rcos y rsin 即有a r2 b 1 已知函数f x cos4x 2cosxsinx sin4x 1 求f x 的最小正周期 解 1 f x cos4x 2cosxsinx sin4x cos2x sin2x cos2x sin2x sin2x cos2x sin2x f x 的最小正周期为 四 检测反馈题 解 由y 2sinxcosx 8 sinx cosx
3、 19 2 设0 x 求函数y sin2x 8 sinx cosx 19的最大值和最小值 0 x 当t 1 即x 时 y取最大值27 四 检测反馈题 因此由f x 的值域为 5 1 可得 解得 a 2 b 5或a 2 b 1 四 检测反馈题 对于任意的t1 t2 1 3 且t1 t2有 0 即f t1 f t2 0 f t1 f t2 f t 在 1 3 上是增函数 四 检测反馈题 当t 1时 ymin f t min 0 此时 sinx 1 x的集合为 四 检测反馈题 5 若方程4sin2x cos4x a 0恒有实数解 求a的取值范围 解 从分离参数的角度考虑 原方程即为 a 2cos22
4、x 2cos2x 3 cos2x 1 四 检测反馈题 解 由已知当a 0时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x 1 函数y acosx b a b为常数 若 7 y 1 求bsinx acosx的最大值 解得a 4 b 3 此时 当a 0时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x 解得a 4 b 3 此时 当a 0时 不合题意 综上所述 bsinx acosx的最大值为5 五 自测练习 解 y 1 sin2x 2asinx a sinx a 2 a2 a 1 令sinx t 则y t a 2 a2 a 1 1 t 1 若 a1 则当t 1时 y有
5、最大值 2 求函数y cos2x 2asinx a a为定值 的最大值M M 1 a 2 a2 a 1 a 若 1 a 1 即 1 a 1 则当t a时 y有最大值 M a a 2 a2 a 1 a2 a 1 若 a 1 即a 1 则当t 1时 y有最大值 M 1 a 2 a2 a 1 3a 五 自测练习 由题设3 a 4 a 1 五 自测练习 五 自测练习 五 自测练习 令t sinx 则0 t 1 故有 要求f x 的最大值M a 可分情况讨论如下 要求f x 的最大值M a 可分情况讨论如下 g t 在 0 1 上先增后减 g t 在 0 1 上为减函数 g t 在 0 1 上为增函数 五 自测练习 解得a 3或 2 均不合题意 舍去 五 自测练习
