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1、高一期末总复习下专题一 三角恒等变换一、公式之家1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ； ； ； （）； 2二倍角的正弦、余弦和正切公式： = = 升幂公式 ； 降幂公式 ， 3、半角公式： ； = = 4、万能公式 二、变换技巧1、常用的三角函数变换技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； ；问： ； ； ；等等来源:Zxxk.Com（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数
2、。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。来源:学科网ZXXK如：； ； ； ；（其中 ；）（6）切化弦：在三角恒等变换中，见到正切的一般用将进行转化，从而简化计算。考点一 公式的应用例1、化简.解：
3、.考点二 三角函数综合题例2（1）、(2014天津高考)已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解：(1)由已知，有f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由x得2x，则sin，即函数f(x)sin.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.例2（2）、已知向量a(sin x，cos x)，b(cos ，sin )，函数f(x)ab的最小正周期为2，其图象经过点M.(1)求函数f(x)的解析式；
4、(2)已知，且f()，f()，求f(2)的值解：(1)依题意有f(x)absin xcos cos xsin sin(x)函数f(x)的最小正周期为2，2T，解得1.将点M代入函数f(x)的解析式，得sin.，.故f(x)sincos x.(2)依题意有cos ，cos ，而，sin ，sin ，sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，f(2)cos(2)cos 2cos sin 2sin .专题二 正余弦定理一、正弦定理：1、正弦定理的内容在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 （为三角形外接圆的半径）2、正弦定理的变形正弦定理有几种常见变形，在解题中要灵活运用，即
5、：形式1：（角到边的转换）；形式3：（边到角的转换）；形式4：；（边角互换）；形式5：二、余弦定理1.余弦定理的定义三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦值的乘积的两倍，即2.余弦定理的变形，3.余弦定理与勾股定理的关系由余弦定理知：当时，则，是 三角形，反之亦然；当 时，则，是钝角三角形，反之亦然；当 时，则，是锐角三角形，反之亦然综上：，三、三角形中常见的结论(1)ABC .(2)在三角形中大边对 ，反之亦然(3)任意两边之和 第三边，任意 小于第三边(4)三角形内的诱导公式：sin(AB) ；cos(AB) ；tan(AB) ；sin ；cos .四.三角
6、形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)(4)Spp-ap-bp-c，其中p(abc)(5)S=abc4R(其中R为三角形外接圆的半径)五解三角形的类型总结：考点一 利用正余弦定理解三角形例1（1）、在三角形中，求和【解析】由正弦定理，或当时，由正弦定理得;当时，由正弦定理得所以中， 或例1（2）、在中，已知，解此三角形【解析】由余弦定理得化简可得解得或当时，由正弦定理得，时，由正弦定理得考点二 利用正余弦定理判断三角形形状例2、根据下列条件，判断三角形的形状（1）在中，；（2）在中，
7、【解析】（1）,又,等腰三角形（2）可得即,即,即,化简得或，即或为等腰三角形或直角三角形考点三 正余弦定理中的最值问题例3、在中，角所对边分别为，若，求的取值范围【解析】由余弦定理得，知，又，所以，得，即考点四 利用正余弦定理证明不等式例4、在中，角，所对边分别为，求证：【解析】由正弦定理得，(为的外接圆半径)由余弦定理得，右边，左边考点五 正余弦定理综合题例5、在中，分别是角的对边，向量，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【解析】（1）因为是三角形内角，所以（2）由（1）可知，且即即又，专题三 正余弦定理的实际应用1解三角形应用题：基本思路实际问题数学问题数学问题的解 实际问题的解，解
8、三角形应用题的关键是将实际问题转化为 来解决。 其基本解题思路是： 分析此题属于哪种类型的问题（如： 、 、 等）， 依据题意画出示意图，把已知量和未知量在示意图中标出（目的是发现已知量和未知量之间的关系）， 确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意 的要求。2实际应用问题中的有关名称、术语名称意义图示名称意义图示铅垂平面与地面垂直的平面仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角坡角坡面与水平面的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比方向角正北或正南方向与目标方向线所成的锐角视角观察物体时，从物体两端引出的光线
9、在人眼光心处形成的角方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角考点一 利用正余弦定理测量距离问题例1、如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，并求间的距离【答案】 【解析】在中， ，所以又，故是底边的中垂线，所以， 在中，即因此，故的距离约为 考点二 利用正余弦定理测量高度问题例2、如图，在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进，到点处测得顶端的仰角为，再继续前进至点，测得顶端的仰角为，求的大小和建筑物的高。【答案】【解析】, 同理， 在中， ，即 ，。 在
10、中， 即所求角为，建筑物高度为。考点三 利用正余弦定理测量角度问题例3、某货船在索马里海域航行中遭到海盗袭击，发出呼叫信号，我海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间。 【答案】，方位角 【解析】如图所示，设所需时间为t小时， 在， 可得 所以护航舰需要1小时靠近货船。此时，。 在，由正弦定理 ， ,故护航舰航行的方位角为。 考点四 利用正余弦定理求面积 例4、半圆的直径为，为直径延长线上的一点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形问：点在什么位置时，四边形面积最大？ 【答案】 【解析】设在中，由余弦定理，得于是，四边形的面积为因为，所以当时，即时，四边形的面积最大专题四 等差数列一、.等差数列的定义
