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1、 复变函数 复变函数 主讲教师 赵景霞 E mail zhaojingxia 研究对象 复变函数 自变量为复数的函数 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系 具体地就是复数域上的微积分 主要内容 复变函数的积分 级数 留数等 复数与复变函数 解析函数 课程基本介绍 学习方法 复变函数中许多概念 理论 和方法是实变函数在复数域内的推广和发展 它们之间有许多相似之处 但又有不同之处 在学习中要善于比较 区别 特别要注意复数域上特有的那些性质与结果 复变函数的发展过程 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的 为使负数开方有意义 需要再一次扩大数系 使实数域扩大到复数域 但在十八世纪以前 由于对复数的
2、概念及性质了解得不清楚 用它们进行计算又得到一些矛盾 所以 在历史上长时期人们把复数看作不能接受的 虚数 直到十八世纪 J D Alembert 1717 1783 与L Euler 1707 1783 等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义 澄清了复数的概念 并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题 复数才被人们广泛承认接受 复变函数论才能顺利建立和发展 复变函数的发展过程 复变函数的发展过程 1774年 欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程 比他更早时 法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中 就已经得到了它们 因此 后来人们提到这两个方程 把它们叫做
3、达朗贝尔 欧拉方程 到了十九世纪 上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时 作了更详细的研究 所以这两个方程也被叫做 柯西 黎曼条件 复变函数论的全面发展是在十九世纪 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样 复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学 当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支 并且称为这个世纪的数学享受 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一 复变函数的发展过程 二十世纪以来 复变函数已被广泛地应用在理论物理 弹性理论和天体力学等方面 与数学中其它分支的联系也日益密切 复变函数的发展过程 第一章复数及复平面 1 1复数及其几何表示 学习要点 掌握复数的意义与复数的表示方
4、法 掌握复数的代数运算 熟练掌握复数的方根 一 复数的概念 复数z的实部Re z x 虚部Im z y realpart imaginarypart 一般 任意两个复数不能比较大小 复数相等 二 四则运算 z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的和 差 积和商为 z1 z2 x1 x2 i y1 y2 z1z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2 复数的运算满足加法交换律 结合律 乘法交换律 结合律和分配律 共轭复数的性质 定义若z x iy 称 z x iy为z的共轭复数 conjugate 三 共轭复数 例4 解 例4 证明 例4 证明 四 复数的几何意
5、义 横坐标轴称为实轴 纵坐标轴称为虚轴 复平面一般称为z 平面 w 平面等 我们可以得到两个重要的不等式 z 0时 幅角无意义 幅角无穷多 Argz 0 2k k Z 1 三角表示法 可以用复数的模与辐角来表示非零复数z 2 指数表示法 例5 例6 例5 解 例6 解 例6 解 练习 求下列复数的模与幅角主值 求下列复数的三角表示式与指数表示式 解 五 复数的乘积与商 利用复数的三角表示 我们可以更简单的表示复数的乘法与除法 定理 对除法 有 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2 再将其伸缩到 z2 倍 乘法的几何意义 例7 解 例5 解 例6藏宝图 从绞架走到橡树 并记住走了多少步
6、到了橡树向右转个直角再走这么多步 在这里打个桩 某岛 岛的北岸有一大片草地 草地上有一株橡树和一株松树 还有一个绞架 回到绞架 朝松树走 同时记住所走的步数 到了松树向左拐个直角再走这么多步 在这里也打个桩 在两个桩中间挖 就可以找到宝藏 问题是绞架年代久远烂掉了 还能找到宝藏吗 第一根桩位置 第二根桩位置 例7 解 六 复数的乘幂与方根 则有 棣摩弗 DeMoivre 公式 而k取其它整数时 这些根又会重复出现 例11 练习 例10 例9 几何上 的n个值是以原点为中心 为半径的圆周上n个等分点 即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点 例10 七 复球面与无穷远点 球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面 过O点作z平面的垂线与球面交于N点 称为北极或者球极 对于平面上的任一点A 用一条空间直线把它和球极连接起来 交球面于 从几何上可以看出 z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈 这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点 而且若点z的模越大 球面上相应的点则越靠近北极N 规定 无穷远点的实部 虚部及幅角都没有意义
