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1、分类与整合思想方法的常见应用 分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的
2、基本原则是:不重不漏,科学合理.高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.例1 函数在上有最大值，求实数的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当时，是一次函数且单调递增;当时, 是二次函数,单调性与的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当时，在上为
3、单调增函数，最大值为，满足题意.(2)当时，函数，其对称轴为.当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意;当时，当即时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意.综上所述：当时，函数在上有最大值.点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的都符合题意,所以整合时,把每一类型中的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列中,分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比；设，求数列的前n项和.2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数
4、的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值为.分析：对于任意的都有恒成立求参数的范围问题，可将参数分离出来.在分离时,需要对等于零, 为正, 为负分别进行.分离出之后,通过求导研究不等式右边关于的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若，则不论取何值，0显然成立,所以；当 即时，0可化为：,设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当x0 即时，0可化为，, 在区间上单调递增，因此,从而4，综上所述得4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边
5、同乘以式子.根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量展开讨论,所以在整合时,要把的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则a等于A BC或 D不同于A、B、C答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列、（）若是等比数列，试求数列的前n项和；（）当是等比数列时，甲同学说：一定是等比数列；乙同学说：一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（）中，欲求数列的前n项和，需要研究该数列的性质.由发现该数列为等比数列,但求和时要注意前项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（）中
6、，需要由的性质进一步研究的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I）因为是等比数列, 所以.又即是以a为首项,为公比的等比数列. （II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设的公比为，则又是以1为首项，为公比的等比数列， 是以a为首项，为公比的等比数列， 即为： .当时，是等比数列；当时，不是等比数列. 注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, 的公比取值不同, 的性质不同.变式练习3: 解关于的不等4. 由图形的不确定性引起的分类讨论例4 设为椭圆的两个焦点，
7、P是椭圆上的一点. 已知是一个直角三角形的三个顶点，且 ，求 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为是一直角三角形的三顶点，且，则直角顶点有两种可能性：点或点，故有两解.解: 由已知得 , .若为直角，则,解得,所以=.若为直角，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，得，故 .点评:该题由直角三角形的形状不确定即直角的位置不确定,引发了两方面的讨论,解题时要注意考虑全面.变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设是
8、的一个极值点，求与的关系式（用表示）并求的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对求导,再得与的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： ,由得 , .令得 .由于是的极值点，故，即. 当时，故为的单调增区间； 为的单调减区间. 当时，故为的单调增区间； 为的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏. 变式练习5. 已知椭圆的离心率 ， 则的值为A3 B或3 C D或6. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际
9、应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？ 解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有种不同选法；（4）选出的6
10、人中含有3名全能工人共有种不同选法.所以共有+=种选派方案.点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种变式练习答案及解析:1. 解:依题意得又.2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a的取值有关，故应对进行分类讨论.当时， 在2，上是增函数，最大值是，最小值是，据题意， ，即，当时，
11、在2，上是减函数，最大值是，最小值是，故，即，. 由知，答案为C.3. 解:原不等式可化为 ,(1)时，1，即(,1.(2)时，不等式即为,时， 不等式化为， 当，即时，不等式解为 当，此时不存在时，不等式化为， 当，即时，不等式解为. 当，即0时，；当20时,；当2时，； 2时，|14. 解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解（1）当双曲线的焦点在直线时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为， （2）当双曲线的焦点在直线时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为，此时 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于5.B. 解析：题设不能确定与中哪个较大,故应将与的大小分类讨论.据题意,当时， 又,.当时，,.由知或.故选.6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；（2）再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；（3）又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法.而作物B种植的情况与作物A相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）212种- 7 -用心 爱心 专心
