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1、高一数学不等式综合人教实验B版【本讲教育信息】一、教学内容：不等式综合二、学习目标（1）熟练掌握不等式的有关性质，掌握均值不等式及其应用条件，能够运用均值定理解决相关的最值问题。 （2）熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法，在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 （3）对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 （4）准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题三、知识要点1、不等式的性质：2、均值不等式：3、不等式的证明：比较法：（1）作差：步骤：作差；变形（因式分解、配方）；定号（2）4、解一元
2、二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式或（2）解方程（3）据二次函数的图象写出二次不等式的解集。5、求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；【典型例题】例1. 已知ab，b0，求证：a+b+4（a+2）（b+2）。证法一：（a+b+4）（a+2）（b+2）=a+b+4ab2a2b4=abab=（ab+a+b）0，b0小结：本题根据结构特点分析，适合用比较法证明。比较法常用的有作差比较法与作商比较法两种，作商法比较同号两式大小时，商是与1而不是与0比较大小。例2. （1）比较与的大小。（2）已知，比较与的大小。（3）若、满足，比较、的大小。解：（1） （2）方法一：设，
3、， 方法二： 方法三： ， （3）解： 又 例3. （1）已知：，求的最大值。（2）求的最小值。解：（1） 当且仅当时，（2）设（） 当时，例4. 已知（1）求证（2）求证中至少有一个不小于。证明：（1）（2）用反证法，假设都小于，则而出现矛盾中至少有一个不小于小结：由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。例5. 制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g。已知每天原料的使用限额为
4、A药品120g、B药品400g，C药品240g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能使获利最大？解：根据题意，可列出下表A药品B药品C药品甲种烟花344乙种烟花2116原料限额120400240设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z美元，则目标函数：（美元）其中x，y应满足，该不等式组所表示的平面区域如上图所示把变形为平行直线系：。由图可知，当直线经过平面区域上的点M时，截距z最大解方程组得交点M（24，24） 每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润最大本讲涉及的主要数学思想方法1. 应用不等式知识可以解决函数、方程等
5、方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性 2. 对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、已知是实数，则使成立的一个充要条件是（ ）A. B. C. D. 2、已知，下列不等式：（1）（2）（3）（4）一定成立的是（ ）A. （1）（2）（3） B. （1）（2）（4）C. （1）（3） D. （2）（4）3、设，则M、N的大小关系是（ ）A. B
6、. C. D. *4、若且，四个数中最大的是（ ）A. B. C. D. 5、已知则的最小值为（ ）A. B. C. D. *6、如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）A. B. C. D. 二、填空题7、与1的大小关系是_*8、若函数的定义域为R，则k的取值范围为_9、已知实数、满足条件则的最大值为 .三、解答题10、建造一个容积是，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别是和，求：水池的最低造价。*11、已知，且，求证：。*12、设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=，问是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+f（x）2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论
7、 【试题答案】1、C提示：赋值求解。2、C提示：在（2）中，当时，取“”号成立。在（4）中，当时，没有3、D4、B解：特殊值法，取代入可得b最大5、A6、A7、解：8、解：由题意知，对恒成立，当且仅当或解得9、810、解：设水池底的一边长为，水池总造价为元，依题意，水池另一边长为（当，即时取“”）当水池底面是边长为的正方形时，水池总造价最低为1760元。11、证明：12、解：由f（1）=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=1，由f（x）2x2+2x+推得f（1） 由f（x）x2+推得f（1），f（1）=，ab+c=，故2（a+c）=5，a+c=且b=1，f（x）=ax2+x+（a） 依题意：ax2+x+（a）x2+对一切xR成立，a1且=14（a1）（2a）0，得（2a3）20，f（x）=x2+x+1易验证：x2+x+12x2+2x+对xR都成立 存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式 x2+f（x）2x2+2x+对一切xR都成立 用心 爱心 专心
