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1、第九章第九章第九章第九章线性系统线性系统线性系统线性系统的的的的状态空间状态空间状态空间状态空间分析与综合分析与综合分析与综合分析与综合9 9- -1 1 线性系统的线性系统的线性系统的线性系统的状态空间描述状态空间描述状态空间描述状态空间描述9 9- -2 2 线性系统的线性系统的线性系统的线性系统的可控性与可观性可控性与可观性可控性与可观性可控性与可观性9 9- -3 3 线性定常系统的线性定常系统的线性定常系统的线性定常系统的反馈结构反馈结构反馈结构反馈结构及及及及状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器9 9- -4 4 李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫稳定性分析稳定性分析稳定
2、性分析稳定性分析9 9- -5 5 控制系统状态空间设计控制系统状态空间设计控制系统状态空间设计控制系统状态空间设计?凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的特征多项式特征多项式：则：则 A 满足其特征方程，即满足其特征方程，即推论推论1 矩阵矩阵 A 的次幂可表示为的次幂可表示为 A 的的 n-1阶多项式：式中与阶多项式：式中与A阵的元素有关。阵的元素有关。1110( )nnnfIAaaa=+?1110( )nnnf AAaAa Aa I=+?()k kn10 , nkmmmAAkn=m?秩判据秩判据线性定常连续系统：其线性定常连续系统：其状态完全可控状态完全可控状态完
3、全可控状态完全可控的充分必要条件是：其中，的充分必要条件是：其中，A为为n维方阵；称为系统的维方阵；称为系统的可控性判别阵可控性判别阵。0( )( )( ), (0), 0x tAx tBu txxt=+=?1 nrank B ABABn =?1 nSB ABAB=?PBH秩判据秩判据线性定常连续系统：其线性定常连续系统：其状态完全可控状态完全可控状态完全可控状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵的充分必要条件是：式中，是矩阵A的所有特征值。另一种等价描述为：的所有特征值。另一种等价描述为：说明说明说明说明：因为这个判据是由波波夫：因为这个判据是由波波夫 (Popov) 和贝尔维奇和贝尔维
4、奇(Belevitch) 首先提出，并由豪塔斯首先提出，并由豪塔斯 (Hautus) 最先指出其可广泛应用性，故称为最先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据。秩判据。0( )( )( ), (0), 0x tAx tBu txxt=+=?(1,2, )iin=? ; 1,2,irankIA Bnin=? ; rank sIA BnsC= ?对角线规范型判据对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵线性定常连续系统：矩阵A的特征值两两相异，变为的特征值两两相异，变为对角线规范型对角线规范型：系统：系统完全可控完全可控的的充要条件充要条件不包含元素全为零的行不包含元素全为零的行12,n ?12 0
5、0 nxxBu=+?0( )( )( ), (0), 0x tAx tBu txxt=+=?B4. 4. 输出可控性输出可控性输出可控性输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。? 输出可控性输出可控性输出可控性输出可控性 (与与与与状态可控状态可控状态可控状态可控没有必然联系没有必然联系没有必然联系没有必然联系)若在有限时间间隔内，存在若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制函数无约束分段连续控制函数能使任意初始输出能使任意初始输出转移到任意最终输出转移到任意最终输出，则称此系统是，则称
6、此系统是输出完全可控输出完全可控输出完全可控输出完全可控，简称输出可控。，简称输出可控。? 输出可控性判据输出可控性判据输出可控性判据输出可控性判据设线性定常连续系统的状态空间描述为：设线性定常连续系统的状态空间描述为：01,t t01( ),u t tt t0( )y t1( )y t01, (0), 0,xAxBuxxttyCxDu=+=+?输出可控性矩阵输出可控性矩阵：输出可控：输出可控充要条件充要条件是是10 nSCB CABCAB D=?(1)qnp+0 rank Sq=111111()100()1010( )( )( )( )( )tAtA tttAtA ttx texeBu t
7、dty tCexCeBu t dtDu t=+=+01, (0), 0,xAxBuxxttyCxDu=+=+?系统系统式中，式中，u为为p为输入向量；为输入向量；y为为q维输出向量；维输出向量；x为为n维状态向量。状态空间表达式的解为：维状态向量。状态空间表达式的解为：5. 5. 线性定常连续系统的线性定常连续系统的线性定常连续系统的线性定常连续系统的可观测性判据可观测性判据可观测性判据可观测性判据考虑时系统的状态方程和输出方程为：式中，考虑时系统的状态方程和输出方程为：式中，x为为n维状态向量，维状态向量，y为为q维输出向量。维输出向量。A为常值矩阵，为常值矩阵，C为常值矩阵。为常值矩阵。?
8、 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据上述系统上述系统完全可观测完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵格拉姆矩阵格拉姆矩阵格拉姆矩阵为为为为非奇异非奇异非奇异非奇异。格拉姆矩阵格拉姆矩阵格拉姆矩阵格拉姆矩阵0u =0, (0), 0, xAxxxtyCx=?n nqn10t 110(0, )TtA tTAtMteC Ce dt=1 nCCAranknCA=?21 () ()TTTTTTnTrank CA CACACn =?秩判据秩判据线性定常连续线性定常连续可观充要条件可观充要条件可观测阵可观测阵?PBH
9、秩判据秩判据线性定常连续系统：其线性定常连续系统：其完全可观测完全可观测完全可观测完全可观测的充分必要条件是：式中，是的充分必要条件是：式中，是A的所有特征值。的所有特征值。?对角线规范型判据对角线规范型判据上述系统上述系统完全可观测充要完全可观测充要完全可观测充要完全可观测充要条件是：当条件是：当A特征值两两相异时，对角线规范型中不包含全零列。特征值两两相异时，对角线规范型中不包含全零列。0, (0), 0, xAxxxtyCx=?(1,2, )iin=? ; 1,2, ; iiCrankninIACranknsCIA= ?12 0 , 0 nxxyCx=?12,n ?C? 数学基础数学基础
10、数学基础数学基础矩阵的对角化矩阵的对角化矩阵的对角化矩阵的对角化一个矩阵如果和对角阵相似，则称这个矩阵可对角化。一个矩阵如果和对角阵相似，则称这个矩阵可对角化。? 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件设方阵设方阵A可对角化，即可对角化，即A与相似与相似,则存在可逆阵则存在可逆阵P，使得：即。是，使得：即。是A的的n个个线性无关线性无关特征向量特征向量，是，是A的的n个特征值个特征值。12(,)nDdiag =?1 P APDAPPD=12121212121122(,)(,)(,)(,)(,)(,) 1,2,0 , 1,2,nnnnnnniiiiPXXXA X
11、XXXXXdiagAXAXAXXXXAXXinXin =?12,nXXX?12,n ?定理定理1：n阶方阵阶方阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。?定理定理2：属于：属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的。的不同特征值的特征向量是线性无关的。?定理定理3：若：若n阶方阵阶方阵A有有n个相异特征值，则个相异特征值，则A可对角化，且可对角化，且注意注意注意注意：定理：定理3的逆命题不成立。例如，的逆命题不成立。例如，n阶单位阵阶单位阵I是可对角化的，但其是可对角化的，但其n个特征值都为个特征值都为1，非互异。，非互异。?定理定理4：设为
12、：设为n阶方阵阶方阵A的的s个互异特征值，是个互异特征值，是A的属于的个线性无关的特征向量的属于的个线性无关的特征向量,。则下述向量线性无关：。则下述向量线性无关：12,n ?1211212(,)(,) (,)nnnAdiagPXXXP APdiag =?12,s ?12,iiiimXXX?iim1,2,is=?12111212122212,;,;,smmsssmXXXXXXXXX?小结小结小结小结当当A的特征多项式方程有重根时，如果的特征多项式方程有重根时，如果每个特征值都每个特征值都每个特征值都每个特征值都有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征
13、向量有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量的话，的话，A也可以对角化。在复数域中，对也可以对角化。在复数域中，对A的特征多项式进行因式分解，即：称为的的特征多项式进行因式分解，即：称为的代数重数代数重数。每个特征值有一个特征子空间，称特征子空间的维数为的。每个特征值有一个特征子空间，称特征子空间的维数为的几何重数几何重数，记作。，记作。?定理定理5：n阶复方阵阶复方阵A的特征值的的特征值的几何重数小于等于代几何重数小于等于代几何重数小于等于代几何重数小于等于代数重数数重数数重数数重数。121212( )() ()() , , snnnAsijs
14、fijnnnn=+=?ini,1,2,iVis=?iVimiimnii?定理定理6：n阶复方阵阶复方阵A的特征多项式为：则：的特征多项式为：则：?求相似对角阵的方法求相似对角阵的方法求解求解A的特征值的特征值121212( )() ()() , , snnnAsijsfijnnnn=+=?1,1,2,(),1,2,iisiiiimn ismnrIAnn is=?方阵方阵A可对角化可对角化1( )() ,isnAiijifIAij=计算的秩，然后判断秩的关系。若，则计算的秩，然后判断秩的关系。若，则A可对角化，否则可对角化，否则 A不可对角化。不可对角化。可对角化时，对，求的基础解系，得。可对角
15、化时，对，求的基础解系，得。其中有个。例其中有个。例1 判断是否可对角化？解：判断是否可对角化？解：求求A的特征值。的特征值。iIA1,2,is=?(),1,2,iirIAnn is=?,1,2,iis=?1211121212221211122(,;,;,)(,;,;,)snnsssnssPXXXXXXXXXP APdiag =?()0iIA X=12,1,2,iiiinXXXis=?in,1,2,iis=?0 10 0A=例例2 设解：设解：2111 10 , 0,20 0 1()10 0IAnrIAr=11()rIAnn由于所以由于所以A不可对角化。不可对角化。1 2 22 1 22 2
16、1A=判断判断A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P，使为对角阵。，使为对角阵。1P AP21122111 2 2 2 1 2(5)(1) 2 2 15,1;1,2 ; 1IAnnmn=+= =故故 A 可对角化。可对角化。求解特征向量。求解特征向量。222 2 2()2 2 21 , 3212 2 2rIArnn=1231231231111(5)04220242022401 1 1 TIA XxxxxxxxxxXkX=+=+=1231231232122121222()02220222022201 0 10 1 1TTIA XxxxxxxxxxXXk
17、Xk X =+1121221101 1 01 ,0,1 1 0 11111 1 1XXXP = 11151 1 11 1 2 1 13 11 2 11 1 11 2 21 1 012 1 12 1 21 0 31 2 12 2 1P APPP AP=5 1 11 1 1 1=7. 7. 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换分析和设计系统时，通常需对系统进行各种非奇异变换，例如将分析和设计系统时，通常需对系统进行各种非奇异变换，例如将A 阵对角化、约当化、将化为可控标准型，将化为可观标准型等。阵对角化、约当化、将化为可控标准型，将化为可观标准型
18、等。状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换系统：取非奇异阵系统：取非奇异阵P ：上述称为系统：上述称为系统P变换。系统变换目的是使阵变换。系统变换目的是使阵规范化规范化,揭示系统特性及分析计算，并揭示系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质不会改变系统的原有性质不会改变系统的原有性质不会改变系统的原有性质,故称为故称为等价变换等价变换等价变换等价变换。,A b,A c, xAxbuycx=+=?A11AP APbP bccP=11, , , PxAPxbuycPxxP APxP buycPxxAxbuyc xy=+=+=+=?xPx
19、=120 iinIAAppPppp=? 系统变换的核心思想系统变换的核心思想系统变换的核心思想系统变换的核心思想为了分析或综合系统，将不便研究的状态空间模型进行等价变换，获得所需结果后，再引入反变换换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。下面概括几种常用线性变换。为了分析或综合系统，将不便研究的状态空间模型进行等价变换，获得所需结果后，再引入反变换换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。下面概括几种常用线性变换。1) 1) 化化化化A A阵为对角型阵为对角型阵为对角型阵为对角型设设 A阵为任意形式方阵，且具有阵为任意形式方阵，且具有 n n个互异实数特征个互异实数特征个互异实数特征个互异实数特
20、征值值值值，则，则 A 阵有阵有 n 个线性无关个线性无关实数实数特征向量特征向量，可构成，可构成非奇异变换阵非奇异变换阵P。1xP x=121 0 0 nP AP =?12,n ?若若A为友矩阵，且有为友矩阵，且有n个互异实数特征值个互异实数特征值,则下列则下列范德蒙特范德蒙特 (Vandermode) 矩阵矩阵P可使可使A对角化：对角化：2) 2) 化化化化A A阵为约当型阵为约当型阵为约当型阵为约当型设设A阵具有阵具有m重实特征值，其余为重实特征值，其余为n-m个互异实特征值，但在求解时只有一个个互异实特征值，但在求解时只有一个独立独立实实特征向量特征向量, 则只能使则只能使A化为约当阵
21、化为约当阵J。12,n ?0121 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 nAPaaaa=?123222212311111231 nnnnnnn?1iiApp=ip求解举例：求解举例：含含约当块约当块m m121 mmnPppppp+=?11111 1 0 1 0 mnJP AP+=?2 mpp?是是广义实特征向量广义实特征向量1112121 1 0 10 mmpppA ppp=?1122121()ppApApp+=1111()mmmmmppApApp+=3) 3) 化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型单输入单输入线
22、性定常可控标准型线性定常可控标准型可控性判别阵可控性判别阵可控性判别阵可控性判别阵次对角线元素都为次对角线元素都为1，故，故，一定可控一定可控。1110 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 1 nnnaSb AbAba=?121 nnaa?1210121 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 nnnxxxaaaax=?12100 01nnxxuxx + ?Sdet0S 结论结论结论结论：一个：一个可控系统可控系统，当，当A,b不具有可控标准型时，一定不具有可控标准型时，一定可以选择适当的变换可以选择适当的变换化为可控标准型化为可控标准型。著名的变换。著名的变换1111 xA
23、xbuxP zP zAP zbuzPAP zPbu=+=+=+?10121 0 1 0 00 0 0 1 00 , 0 0 0 10 1nPAPPbaaaa = ?1P?下面具体推导变换矩阵下面具体推导变换矩阵P：设变换矩阵设变换矩阵P为为12 TTTTnPppp=?11210121 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 nnnppppApaaaap=?21 nnpp?121 nnppPpp=?1223101121 nnnnnp App AppApp Aa pa pap= ?122213111 nnnp App Ap AppAp Ap=?变换矩阵变换矩阵P b阵变换过程阵变换过程下面
24、讨论将非标准可控化为下面讨论将非标准可控化为可控标准型可控标准型的变换矩阵的求解方法。的变换矩阵的求解方法。1xP z=结论结论结论结论：是可控判别阵的逆阵的最后一行：是可控判别阵的逆阵的最后一行1111110 01nnpbp AAbPbbpAbp A = ?11111 0 0 10 0 1 nnpb AbAbpb AbAb =?1p1P1111 npp APp A=?计算计算可控性矩阵可控性矩阵构造构造P阵阵计算可控性矩阵的计算可控性矩阵的逆逆取出取出最后一行最后一行1 nSb AbAb=?1112121222112 nnnnnnSSSSSSSSSS=?112 nnnnpSSS=?1111
25、npp APp A=?便是将非标准型可控系统便是将非标准型可控系统化为可控标准型化为可控标准型的变换矩阵的变换矩阵1P对偶原理对偶原理研究系统可控、可观时，用对偶性原理常带来方便。式中：均为维状态向量；均为维状态向量；均为维状态向量。互为对偶系统的研究系统可控、可观时，用对偶性原理常带来方便。式中：均为维状态向量；均为维状态向量；均为维状态向量。互为对偶系统的输入、输出向量的维数输入、输出向量的维数是是相交换相交换的。可控判别阵可观判别阵可观判别阵可控判别阵的。可控判别阵可观判别阵可观判别阵可控判别阵1122( , ,) : , (,) : , TTTTTTA B CxAxBuyCxACBzA
26、 zC vB z=+=+=?互为对偶互为对偶, x zn, y vq, up121 nB ABAB?1() () () () )()TTTTTTTTnTTBABAB?1 ()TTTTnTCA CAC?1 ()TTTTnTCA CAC?12应用应用对偶原理对偶原理，能将，能将可观测的可观测的单输入单输入 - 单输出系统化为可观测标准型的问题单输出系统化为可观测标准型的问题转化为其对偶系统转化为其对偶系统化为化为可控标可控标准型的问题。单输入单输出系统可观测，但不是可观标准型。对偶系统为一定是可控的，但不是可控标准型。准型的问题。单输入单输出系统可观测，但不是可观标准型。对偶系统为一定是可控的，但
27、不是可控标准型。思路思路思路思路：先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型。列出对偶系统的可控阵：先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型。列出对偶系统的可控阵(即原系统的可观阵即原系统的可观阵), xAxbuycx=+=?,A c, TTTzA zc vb z=+=?121 ()TTTTnTSVcA cAc=?1V求取第求取第n行构造行构造P求，引入变换，变换后动态方程为对偶系统利用对偶原理，得原系统可观标准型求，引入变换，变换后动态方程为对偶系统利用对偶原理，得原系统可观标准型1121TTTnvvVv=?11V1 ()
28、TnTTnTTnnvv APvA=?11V1P1zP z=11, TTTzPA P zPc vb P z=+=?11()()()TTTTTTTTTTxPA Pxb PuPAP xP buyPcxcP x=+=+=?比较原系统及其对偶系统比较原系统及其对偶系统比较原系统及其对偶系统比较原系统及其对偶系统原系统化为可观标准型需要进行变换，即其中， 为原系统可观阵的逆阵中第原系统化为可观标准型需要进行变换，即其中， 为原系统可观阵的逆阵中第n行的转置。行的转置。非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换的不变特性为了研究系统固有特性，常引入非奇异变换。为了
29、研究系统固有特性，常引入非奇异变换。为了研究什么，而不研究什么，最后还是研究了什么。为了研究什么，而不研究什么，最后还是研究了什么。TP1 TTnnnnxP xPvAvAv=?nv11, ()()()TTTTTTTTTTxAxbuycxxPA Pxb PuPAP xP buyPcxcP x=+=+=+=? 简单综述几种非奇异变换简单综述几种非奇异变换简单综述几种非奇异变换简单综述几种非奇异变换将将A阵对角化或约当化。需要进行阵对角化或约当化。需要进行P变换。将变换。将A,b化为可控标准型。需要进行变换。将化为可控标准型。需要进行变换。将A,c化为可观标准型。需要进行变换。尽管这些变换中，化为可
30、观标准型。需要进行变换。尽管这些变换中，P各不相同，但都是非奇异阵。各不相同，但都是非奇异阵。? 非奇异线性变换特点非奇异线性变换特点非奇异线性变换特点非奇异线性变换特点不改变系统固有属性；系统不改变系统固有属性；系统特征值、传递矩阵、可控特征值、传递矩阵、可控特征值、传递矩阵、可控特征值、传递矩阵、可控性、可观性性、可观性性、可观性性、可观性等重要性质等重要性质保持不变保持不变保持不变保持不变。下面以。下面以P变换论证。设系统。令，变换后：变换论证。设系统。令，变换后：1PTP , xAxBuyCxDu=+=+?xPx=11 , xP APxP BuyyCPxDu=+=+?111111111
31、11111111111111()( )()()() ()()( )IP APP PP APPPP APPIA PPIA PPPIAP PIAIIAIAG sCP sIP APP BDCP P sIPP APP BDCP PsIA PP BDCPPsIAPP BDC sIABDG s=+=+=+=+=+=变换后系统变换后系统特征值特征值不变不变变换后系统变换后系统传递矩阵传递矩阵不变不变1111111111111111 () () () () () () () nnnnTTTnTTTTrank Srank P BP AP P BP APP Brank P B P ABP ABrank PB AB
32、ABrank B ABABrank Srank VrankCPP APCPP APCPrank P C=?111 () () () TTTTnTTTTTTnTTTTTnTTP A CPACrank P CA CACrank CA CACrank V=?变换后系统变换后系统可控性可控性不变不变变换后系统变换后系统可观性可观性不变不变线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解通常，通常，不可控系统不可控系统中中包含可控和不可控包含可控和不可控两种两种状态状态变量。变量。不可观系统不可观系统中中包含可观和不可观包含可观和不可观两种两种状态状态变量。可观不
33、可观可控不可控由对应四种状态变量构成的变量。可观不可观可控不可控由对应四种状态变量构成的子空间也分为四类子空间也分为四类，也是系统也对应分成了，也是系统也对应分成了四类子系统四类子系统，称为系统的，称为系统的结构分解结构分解结构分解结构分解，也称为系统的，也称为系统的规范分解规范分解规范分解规范分解。研究结构分解可以更明显地揭示系统的结构特性、传递特性。研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态变量。研究结构分解可以更明显地揭示系统的结构特性、传递特性。研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态变量x变成相应地使原动态方程中的变成相应地使原动态方程中的A,B,CA,B,C矩阵矩阵矩阵矩
34、阵变换成某种变换成某种标准构标准构标准构标准构造的形式造的形式造的形式造的形式。从可控和可观角度，状态变量分为四类：从可控和可观角度，状态变量分为四类： cocoxx cocoxx TTTTTcocococoxxxx?结构分解过程结构分解过程可控部分不可控部分可控部分不可控部分2层次分解层次分解(可控角度可控角度)可观部分不可观部分可观部分不可观部分可观部分不可观部分可观部分不可观部分可观部分不可观部分可观部分不可观部分2层次分解层次分解(可观角度可观角度)可控部分不可控部分可控部分不可控部分可控部分不可控部分可控部分不可控部分1) 系统按可控性的结构分解系统按可控性的结构分解不可控系统：，式
35、中不可控系统：，式中xn、up、yq。若系统可控阵的秩。若系统可控阵的秩r(rn)，则可从可控阵中选出，则可从可控阵中选出r个线性无关的列向量，另外再任意选取尽可能简单的个个线性无关的列向量，另外再任意选取尽可能简单的个n维列向量，使其与线性无关，这样就可以构成非奇异变换矩阵。是 维可控；是维不可控。维列向量，使其与线性无关，这样就可以构成非奇异变换矩阵。是 维可控；是维不可控。 , xAxbuycx=+=?12,rs ss?nr12,rrnsss+?12,rs ss?n n1121 rrnPsssss+=?111 , ccccccccxxxxxPPAPPBuyCPxxxx=+=? cxr c
36、xnr非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵11121111222 , ; 0 0 AABPAPPBCPCCA=11121221122 cccccccxA xA xBuxA xyC xyC x=+=?将输出向量进行分解将输出向量进行分解，可得，可得子系统动态方程子系统动态方程：111212212 0 0 ccccccxxAABuxxAxyCCx=+=?11121221212cccccccxA xA xBuxA xyC xC xyy=+=+=+?可控的子系统不可控子系统可控的子系统不可控子系统111 , ccccccccxxxxxPPAPPBuyCPxxxx=+=?11121111222 , ; 0 0
37、AABPAPPBCPCCA=引入变换引入变换11121221122 cccccccxA xA xBuxA xyC xyC x=+=?系统结构的可控性规范分解具有下列特点系统结构的可控性规范分解具有下列特点111111111111111111111111111212 ()() ()() 0 0 0 ()()() () 0 nnnnrank B ABABrank PBPAPPBPAPPBB A BABrankrankB A BABrC sIABCPsIPAPPBAACCsI=?11111211122222111111112221121221 0 0 0 () ()() 0 0 ()(sIAABBC
38、CAsIAsIAsIAAsIABCCsIAC s=1111)IAB由于下述推导由于下述推导因而维系统是可控的，并且和系统具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统时因而维系统是可控的，并且和系统具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统时, 可等价地用分析子系统来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。可等价地用分析子系统来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。输入 只能通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关，故到之间传递矩阵描述不能反映不可控部分特性输入 只能通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关，故到之间传递矩阵描述不能反映不可控部
39、分特性, 这从物理意义上进一步说明可控子系统和系统具有相同的传递矩阵。但是，不可控子系统对整个系统的影响不可忽视。因而这从物理意义上进一步说明可控子系统和系统具有相同的传递矩阵。但是，不可控子系统对整个系统的影响不可忽视。因而, 要求仅含稳定特征值要求仅含稳定特征值,以保证整个系统稳定以保证整个系统稳定,并应考虑到可控子系统的状态响应和整个系统输出响应均与不可控子系统的状态有关。并应考虑到可控子系统的状态响应和整个系统输出响应均与不可控子系统的状态有关。r1111(,)AB C( , ,)A B C1111(,)AB C( , ,)A B Cuy22A( )cx t( )y tcxu1111(
40、,)AB C( , ,)A B C选取非奇异阵列向量及的非唯一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是唯一的。选取非奇异阵列向量及的非唯一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是唯一的。由于故的稳定性完全由的特征值决定；的稳定性完全由的特征值决定，而都是由于故的稳定性完全由的特征值决定；的稳定性完全由的特征值决定，而都是A的特征值。称为系统的可控因子或可控振型，称为不可控因子或不可控振型。的特征值。称为系统的可控因子或可控振型，称为不可控因子或不可控振型。可控性规范分解表达式为系统的可控性判别提供了一个准则，即线性定常系统
41、完全可控的充要条件是，系统经过非奇异变换不能化为规范分解式，其中的阶数。按照上述选取方法，用可控性规范分解表达式为系统的可控性判别提供了一个准则，即线性定常系统完全可控的充要条件是，系统经过非奇异变换不能化为规范分解式，其中的阶数。按照上述选取方法，用1P12,rs ss?12,rrnsss+?1122det()det() det()sIAsIAsIA=cx11A12,r ?cx22A1,rn+?1,n?12,r ?1,rn+?( , ,)A B C11Arn1P计算机进行线性变换，可较容易地确定系统的可控性，优势尤其体现于维数较大的可控性判别。计算机进行线性变换，可较容易地确定系统的可控性，
42、优势尤其体现于维数较大的可控性判别。( , ,)A B C9 9- -3 3 线性定常系统的线性定常系统的线性定常系统的线性定常系统的反馈结构反馈结构反馈结构反馈结构及及及及状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器经典控制理论用传递函数描述系统，只能用输出量作为反馈量。经典控制理论用传递函数描述系统，只能用输出量作为反馈量。现代控制理论除了输出反馈，还经常采用状态反馈现代控制理论除了输出反馈，还经常采用状态反馈。在进行系统分析和综合时，。在进行系统分析和综合时，状态反馈状态反馈能提供更多校正信息，因而在形成最有控制规律、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦控制等方面得到广泛应用。为了利用状态进行反
43、馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所有状态变量在物理上都可测量，于是提出了用状态观测器给出状态估值的问题。因此，能提供更多校正信息，因而在形成最有控制规律、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦控制等方面得到广泛应用。为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所有状态变量在物理上都可测量，于是提出了用状态观测器给出状态估值的问题。因此，状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器的设计便构成了用状态空间法综合设计系统的主要内容。的设计便构成了用状态空间法综合设计系统的主要内容。1. 1. 线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响线性定
44、常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响两种常用反馈结构两种常用反馈结构两种常用反馈结构两种常用反馈结构线性直接状态反馈线性直接状态反馈和和线性非动态输出反馈线性非动态输出反馈，简称，简称状态反馈状态反馈和和输出反馈输出反馈。状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈设设n维线性定常系统维数：维线性定常系统维数：xn、up、yq；A , B , C 。v是是p维参考输入向量；维参考输入向量；K是维实反馈增益矩阵。假定：所有状态都是可以用来反馈的。是维实反馈增益矩阵。假定：所有状态都是可以用来反馈的。 , xAxBuyCx=+=?n nnpqnuvKx=pn1()
45、 , ( )()KxABK xBvyCxGsC sIABKB=+=+?, ,ABK B C闭环闭环闭环闭环系统系统系统系统结论结论：引入状态反馈后，系统：引入状态反馈后，系统输出方程没有变化输出方程没有变化输出方程没有变化输出方程没有变化。输出反馈输出反馈输出反馈输出反馈系统系统状态状态常常常常不能全部测量不能全部测量，状态反馈法应用受到了限制，此时，状态反馈法应用受到了限制，此时采用输出反馈法采用输出反馈法采用输出反馈法采用输出反馈法。1() , ( )()KxABK xBvyCxGsC sIABKB=+=+?, ,ABK B C闭环闭环闭环闭环系统系统系统系统? 输出反馈的目的输出反馈的目
46、的输出反馈的目的输出反馈的目的首先，是使系统闭环成为稳定系统。然后，在此基础上，进一步改善闭环系统性能。首先，是使系统闭环成为稳定系统。然后，在此基础上，进一步改善闭环系统性能。?输出反馈的两种形式输出反馈的两种形式输出反馈的两种形式输出反馈的两种形式将输出量反馈至：将输出量反馈至：状态微分状态微分状态微分状态微分将输出量反馈至：将输出量反馈至：参考输入参考输入参考输入参考输入?输出量反馈输出量反馈至至状态微分状态微分状态微分状态微分的系统的系统的系统的系统结构图结构图结构图结构图动态方程为：动态方程为：动态方程为：动态方程为：传递函数矩阵为：传递函数矩阵为：传递函数矩阵为：传递函数矩阵为：(
47、) , xAxBuHyAHC xBuyCx=+=+=?1( )()HGsC sIAHCB=+?输出量反馈输出量反馈至至参考输入参考输入参考输入参考输入的系统的系统的系统的系统结构图结构图结构图结构图v是是p维参考输入；维参考输入；F是维实反馈增益是维实反馈增益动态方程为：动态方程为：动态方程为：动态方程为：传递函数矩阵为：传递函数矩阵为：传递函数矩阵为：传递函数矩阵为：uvFy=pq() , xABFC xBvyCx=+=?1( )()FGsC sIABFCB=+说明说明说明说明：状态反馈和输出反馈都可改变系数矩阵。：状态反馈和输出反馈都可改变系数矩阵。?状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈信息量
48、大而完整，可在不增加系统维数情况下，自由地支配响应特性。信息量大而完整，可在不增加系统维数情况下，自由地支配响应特性。?输出反馈输出反馈利用了状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小，所引入的补偿装置将使系统维数增加，且难以得到任意的所期望的响应特性。利用了状态变量的线性组合进行反馈，其信息量较小，所引入的补偿装置将使系统维数增加，且难以得到任意的所期望的响应特性。?非对称等同性非对称等同性：一个输出反馈系统的性能，一定有对应的状态反馈系统与之等同。例如：反之，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同。由于求解：一个输出反馈系统的性能，一定有对应的状态反馈系统与之等同。例如
49、：反之，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同。由于求解F时，有可能因时，有可能因F含有高阶导数而无法实现。输反系状反系含有高阶导数而无法实现。输反系状反系() () xABK xBvxABFC xBvFCK=+=+=?KFC=对于非最小相位被控对象，如果对于非最小相位被控对象，如果含有含有在在右半右半复平面上复平面上极点极点，并且，并且选择选择在在右半右半复平面上复平面上零点来加以对消时零点来加以对消时，便会，便会有不稳定的隐患有不稳定的隐患。但是，由于输出反馈所用的输出变量总是容易测量的，实现起来比较方便，因而获得广泛应用。对于。但是，由于输出反馈所用的输出变量总是容
50、易测量的，实现起来比较方便，因而获得广泛应用。对于状态反馈系统状态反馈系统中中不便测量或不能测量的状态不便测量或不能测量的状态变量，需要利用变量，需要利用状态观测器状态观测器进行进行重构重构。反馈结构对系统性能的影响反馈结构对系统性能的影响反馈结构对系统性能的影响反馈结构对系统性能的影响引入反馈，系统状态的系数矩阵发生了变化，对系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等均有影响。引入反馈，系统状态的系数矩阵发生了变化，对系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等均有影响。对系统可控性和可观测性的影响对系统可控性和可观测性的影响对系统可控性和可观测性的影响对系统可控性和可观测性的影响后面所述后面
51、所述定理定理定理定理9 9- -1 1、定理、定理、定理、定理9 9- -2 2、定理、定理、定理、定理9 9- -3 3基于如下系统：基于如下系统： , xAxBuyCx=+=?引入引入状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈，不改变不改变系统的系统的可控性可控性，但，但可能改变可能改变系统的系统的可观性可观性。状态反馈。状态反馈改变系统可观性改变系统可观性的原因，是状态反馈造成了所的原因，是状态反馈造成了所配置的极点配置的极点与与零点相对消零点相对消。输出至状态微分反馈输出至状态微分反馈输出至状态微分反馈输出至状态微分反馈的引入，的引入，不改变不改变系统系统可观性可观性，但，但可能改变可能改变系统
52、系统可控性可控性。输出至参考输入反馈输出至参考输入反馈输出至参考输入反馈输出至参考输入反馈的引入，能同时的引入，能同时不改变不改变系统的系统的可控性可控性和和可观性可观性，即输出反馈系统为可控，即输出反馈系统为可控(可观测可观测)的充要条件是被控系统为可控的充要条件是被控系统为可控(可观测可观测)。?定理定理定理定理9 9- -1 1?定理定理定理定理9 9- -2 2FO?定理定理定理定理9 9- -2 2对系统稳定性的影响对系统稳定性的影响对系统稳定性的影响对系统稳定性的影响状态状态反馈和反馈和输出输出反馈反馈都能影响都能影响系统的系统的稳定性稳定性。加入反馈，使得。加入反馈，使得通过反馈
53、构成的闭环系统成为稳定系统通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统，称之为，称之为镇定镇定镇定镇定。由于状态反馈具有许多优越性，且。由于状态反馈具有许多优越性，且输出反馈系统总可输出反馈系统总可输出反馈系统总可输出反馈系统总可以找到与之性能等同的状态反馈系统以找到与之性能等同的状态反馈系统以找到与之性能等同的状态反馈系统以找到与之性能等同的状态反馈系统，故在此只讨论状态反馈的镇定问题。对于线性定常被控系统：如果可以找到状态反馈控制规律：其中，故在此只讨论状态反馈的镇定问题。对于线性定常被控系统：如果可以找到状态反馈控制规律：其中，v为参考输入，使得通过反馈构成的闭环系统：是渐近稳定的，即的特征值均具
54、有负实部，则称系统实现了为参考输入，使得通过反馈构成的闭环系统：是渐近稳定的，即的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定状态反馈镇定状态反馈镇定状态反馈镇定。xAxBu=+?uKxv= +()xABK xBv=+?()ABK当且仅当线性定常系统的当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定不可控部分渐近稳定时，系统是时，系统是状态反馈可镇定状态反馈可镇定的。的。2. 2. 系统的极点配置系统的极点配置系统的极点配置系统的极点配置状态反馈和输出反馈都能改变闭环系统的极点位置。状态反馈和输出反馈都能改变闭环系统的极点位置。极点配置极点配置极点配置极点配置：利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点
55、位于所希望的极点位置。系统性能和极点位置密切相关，要研究两个问题：一是，建立极点可配置的条件；二是，确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。：利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。系统性能和极点位置密切相关，要研究两个问题：一是，建立极点可配置的条件；二是，确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。极点可配置的条件极点可配置的条件极点可配置的条件极点可配置的条件既适合于单输入既适合于单输入-单输出，也适合于多输入单输出，也适合于多输入-多输出。多输出。?定理定理定理定理9 9- -4 4利用状态反馈的极点可配置条件利用状态反馈的极点可配置条件利用状态反馈的极点可配置条件利用状态反馈的极
56、点可配置条件利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系被控系被控系被控系统可控统可控统可控统可控。利用输出反馈的极点可配置条件利用输出反馈的极点可配置条件利用输出反馈的极点可配置条件利用输出反馈的极点可配置条件用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可观测被控系统可观测被控系统可观测被控系统可观测。为了根据期望闭环极点设计输出反馈矩阵。为了根据期望闭环极点设计输出反馈矩阵 h 的参数，只需将期望的系统特征多项式与该输出反馈特征多项式相比即可。对于的参数，只需将期望的系统特征多项式与该
57、输出反馈特征多项式相比即可。对于多多输入输入-单输出被控系统来说，当采用输出至参考输入的反馈时，反馈增益矩阵单输出被控系统来说，当采用输出至参考输入的反馈时，反馈增益矩阵F?定理定理定理定理9 9- -5 5?定理定理定理定理9 9- -6 6()IAhc为维，记为为维，记为f，则：输出反馈系统的动态方程为：若令，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择，则：输出反馈系统的动态方程为：若令，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择f，可是特征值任意配置。但当比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必定含有输出量各阶导数，于是，可是特征值任意配置。但当比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必定含有
58、输出量各阶导数，于是f阵不是常数矩阵，物理实现困难，难以应用。可推论得：当阵不是常数矩阵，物理实现困难，难以应用。可推论得：当f时常数矩阵时，便不能任意配置极点。时常数矩阵时，便不能任意配置极点。单输入单输入单输入单输入- -单输出系统的极点配置算法单输出系统的极点配置算法单输出系统的极点配置算法单输出系统的极点配置算法下面讨论一种计算状态反馈增益矩阵的规范算法。给定可控对下面讨论一种计算状态反馈增益矩阵的规范算法。给定可控对(A,b)和一组期望的闭环特征值要确定维反馈增益向量和一组期望的闭环特征值要确定维反馈增益向量k，12,n ?(1)n1puvfy=() , xABfc xBvycx=+
59、=?fcK=使闭环系统矩阵的特征值为。第使闭环系统矩阵的特征值为。第1步：计算步：计算A的特征多项式第的特征多项式第2步：计算由所决定的希望特征多项式第步：计算由所决定的希望特征多项式第3步：计算步：计算1110detnnnsIAsasa sa=+?12,n ?0121110( )()()() nnnnasssssasa sa=+?k001111 nnkaaaaaa=?12,n ?()AbK第第4步：计算变换矩阵第步：计算变换矩阵第5步：求步：求P 第第6步：计算反馈增益向量步：计算反馈增益向量说明说明说明说明: 上述规范算法也适用于单输入上述规范算法也适用于单输入-多多输出系统。求解具体问题时，不一定要化为可控标准型，可直接计算状态反馈系统的特征多项式令其各项的系数与希望多项式中对应项系数相等，便可确定反馈增益向量。输出系统。求解具体问题时，不一定要化为可控标准型，可直接计算状态反馈系统的特征多项式令其各项的系数与希望多项式中对应项系数相等，便可确定反馈增益向量。111111 0 1 1nnnaPAbAb baa=?kkP=det sIAbk+k
