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1、3 2 1几类不同增长的函数模型 热点提示学习本节内容时 应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数 对数函数的图象 利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律 进而归纳总结出一般规律 熟练掌握这一规律后 还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型 1 三种函数模型的性质 2 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 增长速度的对比 1 对于指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定范围内 ax会小于xn 但由于ax的增长快于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有ax xn 2 对于
2、对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 尽管在x的一定范围内 logax可能会大于xn 但由于logax的增长慢于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn 3 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 总会存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn ax 想一想 当0 x0时 就有logax xn ax 解析 指数函数模型增长速度最快 故选C 答案 C 2 右图所示的曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势 A 一
3、次函数B 幂函数C 对数函数D 指数函数答案 C 3 三个变量y1 y2 y3 随着变量x的变化情况如下表 则关于x分别呈对数函数 指数函数 幂函数变化的变量依次为 A y1 y2 y3B y2 y1 y3C y3 y2 y1D y1 y3 y2 解析 通过指数函数 对数函数 幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知 对数函数的增长速度越来越慢 变量y3随x的变化符合此规律 指数函数的增长速度成倍增长 y2随x的变化符合此规律 幂函数的增长速度越来越快 y1随x的变化符合此规律 故选C 答案 C 4 以下是三个变量y1 y2 y3随变量x变化的函数值表 其中 关于x呈指数函数变化的函数是 解析
4、从表格可以看出 三个变量y1 y2 y3都是越来越大 但是增长速度不同 其中变量y1的增长速度最快 画出它们的图象 图略 可知变量y1呈指数函数变化 故填y1 答案 y1 5 下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表 问 1 各函数随着x的增大 函数值有什么共同的变化趋势 2 各函数增长的快慢有什么不同 解 1 随着x的增长 各函数的函数值都增大 2 y 2x开始增长的速度较慢 但随着x的增大 y增长速度越来越快 y x2增长速度平衡 y log2x开始增长速度稍快 但随x增大 y增长速度越来越慢 类型一线性函数模型应用题 例1 为了发展电信事业方便用户 电信公司对移动电话采用不同的收费方式
5、 其中所使用的 如意卡 和 便民卡 在某市范围内每月 30天 的通话时间x 分 与通话费y1 元 y2 元 的关系分别如图 1 图 2 所示 1 分别求出通话费y1 y2与通话时间x之间的函数关系式 2 请帮助用户计算 在一个月 30天 内使用哪种卡便宜 思路分析 由题目可知函数模型为直线型 可先用待定系数法求出解析式 然后再进行函数值大小的比较 温馨提示 函数的图象是表示函数的三种方法之一 正确识图 用图 译图是解决函数应用题的基本技能和要求 本题由于过原点的直线是正比例函数图象 因此运用了待定系数法求得一次函数解析式 然后利用函数解析式解决了实际问题 借助函数图象表达题目中的信息 读懂图象
6、是关键 本题关键是能根据实际情况 建立一次函数的数学模型 再利用方程或不等式使问题得以解决 1某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅 现从甲 乙两商场了解到 同一类型餐桌报价每张200元 餐椅报价每把50元 甲商场称 每购买一张餐桌赠送一把餐椅 乙商场规定 所有餐桌椅均按报价的8 5折销售 那么 什么情况下到甲商场购买更优惠 类型二二次函数模型应用题 例2 养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt 为保证鱼群的生长空间 实际养殖量不能达到最大养殖量 必须留出适当的空闲量 已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比 比例系数为k k 0 1 写出y关于x的函数关系式 并指出这个函数的定义域
7、2 求鱼群年增长量的最大值 3 当鱼群的年增长量达到最大值时 求k的取值范围 思路分析 由题意写出函数关系式 利用配方法求得最大值 列不等式求k的范围 温馨提示 这是一道二次函数的应用题 同时考查了正比例函数 一次函数 本题中 最大养殖量 空闲量 空闲率 这些临时定义 使本题理解难度加大 因此 要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇 再找未知量之间的关系 在函数模型中 二次函数模型占有重要的地位 因为根据实际问题建立函数解析式后 可利用配方法 判别式法 换元法 函数的单调性等方法来求函数的最值 从而解决实际问题中的最大 最小等问题 类型三指数函数 对数函数模型应用题 例3 1999年1月6日
8、我国的第13亿个小公民在北京诞生 若今后能将人口年平均递增率控制在1 经过x年后 我国人口数字为y 亿 1 求y与x的函数关系y f x 2 求函数y f x 的定义域 3 判断函数f x 是增函数还是减函数 并指出在这里函数的增减有什么实际意义 思路分析 递增率问题广泛存在于生产和生活中 研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一 这类问题解决的关键是理解 递增率 的意义 递增率是所研究的对象在 单位时间 内比它在 前单位时间 内的增长率 切记并不总是只和开始单位时间内的值比较 具体分析问题时 应严格计算并写出前3 4个单位时间的具体值 通过观察 归纳出规律后 再推广概括为数学问题后求解
9、 解 1 1999年人口数 13亿 经过1年 2000年人口数 13 13 1 13 1 1 亿 经过2年 2001年人口数 13 1 1 13 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 2 亿 经过3年 2002年人口数 13 1 1 2 13 1 1 2 1 13 1 1 3 亿 经过年数与 1 1 的指数相同 经过x年人口数 13 1 1 x 亿 y f x 13 1 1 x 2 理论上指数函数定义域为R 此问题以年作为单位时间 N 是此函数的定义域 3 y f x 13 1 1 x是指数函数 1 1 1 13 0 y f x 13 1 1 x是增函数 即只要递增率为正数时 随着时
10、间的推移 人口的总数总在增长 温馨提示 在实际问题中 常常遇到有关平均增长率的问题 如果原来产值的基础为N 平均增长率为p 则对于时间x的产值y 可以用下面的公式y N 1 p x表示 解决平均增长率的问题 要用到这个函数式 递增率问题广泛存在于生产和生活中 研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一 这类问题解决的关键是理解 递增率 的意义 递增率是所研究的对象在 单位时间 内比它在 前单位时间 内的增长率 切记并不总是只和开始单位时间内的值比较 具体分析问题时 应严格计算并写出前3 4个单位时间的具体值 通过观察 归纳出规律后 再推广概括为数学问题 然后 求解此数学问题 类型四不同函数
11、模型增长趋势的比较 例4 函数f x 2x和g x x3的图象如下图所示 设两函数的图象交于点A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 1 请指出右图中曲线C1 C2分别对应的函数 2 结合函数图象 判断f 6 g 6 f 2010 g 2010 的大小 思路分析 1 随着自变量x的增大 图象位于上方的函数是指数函数y 2x 另一个函数就是幂函数y x3 解 1 C1对应的函数为g x x3 C2对应的函数为f x 2x 2 f 1 g 1 f 2 g 10 1x2 从图象上可以看出 当x1x2时 f x g x f 2010 g 2010 又 g 2010 g 6 f 2010 g 20
12、10 g 6 f 6 温馨提示 由指数函数 对数函数 幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象 哪个是幂函数的图象 解决此类题型的关键是了解 指数爆炸 对数增长 等函数增长差异 需注意幂函数的增长是介于两者之间的 根据图象判断增长型的指数函数 对数函数和幂函数时 通常是观察函数图象上升得快慢 即随着自变量的增大 图象最 陡 的函数是指数函数 4函数f x lgx g x 0 3x 1的图象如下图所示 1 试根据函数的增长差异指出曲线C1 C2分别对应的函数 2 比较两函数的增长差异 以两图象交点为分界点 对f x g x 的大小进行比较 解 1 C1对应的函数为g x 0 3x
13、1 C2对应的函数为f x lgx 2 当xf x 当x1g x 当x x2时 g x f x 1 增长规律在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个档次上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个x0 当x x0时 就有logax xn ax 2 我们学过的基本初等函数有一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 1 基本初等函数的图象 2 随着x的增大 一次函数y kx b k 0 指数函数y ax a 1 对数函数y logax a 1 幂函数y xn n 0 的变化及相应增量规律 直线型均匀上升 增量恒定 指数型急剧上升 增量快速增大 对数型缓慢上升 增量逐渐减少 幂函数型虽上升较快 但随着x的不断增大 上升趋势远不如指数型 几乎有些微不足道 其增量缓慢递增 一般简述为 直线上升 指数爆炸 对数函数逐渐增长 幂函数缓慢增长 当然常数型无增长 绿色通道
