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1、新课改理论选讲 迈尔旦2014年7月25日 考点一实数的有关概念1 数轴规定了 的直线 叫做数轴 和数轴上的点是一一对应的 2 相反数 1 实数a的相反数为 2 a与b互为相反数 3 相反数的几何意义 在数轴上 表示相反数的两个点位于原点的两侧 且到原点的距离 这两个点关于 对称 3 倒数 原点 正方向 单位长度 实数 a a b 0 相等 原点 1 实数a的倒数是 其中a 0 2 a和b互为倒数 4 绝对值在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值 即一个正数的绝对值是它 0的绝对值是 负数的绝对值是它的 ab 1 原点 本身 相反数 0 温馨提示 1 绝对值是a a 0 的数有两
2、个 它们互为相反数 即为 a 2 绝对值相等的两个数相等或互为相反数 即 若 a b 则a b或a b 0 3 任意实数的绝对值都是非负数 即 a 0 4 去掉绝对值符号进行化简运算时 关键是判断绝对值符号里面的代数式的正负 考点二实数的分类1 按定义分类 2 按正负分类 考点三平方根 算术平方根 立方根温馨提示 在应用x2 a时 一定不要忘记a 0这一条件 注意算术平方根与平方根的区别与联系 如1的平方根是 1 而1的算术平方根是1 平方根 正的平方根 互为相反数 考点四科学记数法 近似数与有效数字把一个数N表示成a 10n 1 a 10 n是整数 的形式叫科学记数法 当 N 1时 n等于原
3、数N的整数位数减1 当 N 1且N 0时 n是一个负整数 它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数 含整数位上的零 2 近似数与有效数字一个近似数 四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一位 这时从左边第个非零数字起 到末位数字为止 所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 一 考点一实数的运算在实数范围内运算顺序是 先算 再算 最后算 有括号的先算括号内的 同一级运算 从左到右依次进行计算 考点二零指数 负整数指数幂考点三实数大小比较1 在数轴上表示两个数的点 右边的点表示的数总比左边的点表示的数 两个负数比较 绝对值大的反而 2 设a b是任意两个数 若a b 0 则a b 若a b
4、 0 则a b 若a b 0 则a b 乘方 或开方 乘除 加减 1 大 小 温馨提示1 注意零指数 负整数指数幂的意义 遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算 2 三个重要的非负数a a 0 a a2 考点一整式的有关概念1 单项式和多项式统称整式 单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子 而多项式是指几个单项式的 2 单项式中的数字因数叫做单项式的 单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 3 多项式中 每一个单项式叫做多项式的项 其中不含字母的项叫做常数项 多项式中次数的次数就是这个多项式的次数 和 系数 指数和 最高项 考点二整式的运算1 整式的加减 1 同类项与合并同类项所含的 相同
5、 并且 也分别相同的单项式叫做同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项 合并的法则是系数相加 所得的结果作为合并后的系数 字母和字母的 不变 2 去括号与添括号 括号前是 号 去掉括号和它前面的 号 括号里的各项都不改变符号 括号前是 号 去掉括号和它前面的 号 括号里的各项 字母 相同字母的指数 指数 都改变符号 括号前是 号 括到括号里的各项都不改变符号 括号前是 号 括到括号里的各项都改变符号 3 整式加减的实质是合并同类项 温馨提示 在进行整式加减运算时 如果遇到括号 应根据去括号法则 先去括号 再合并同类项 当括号前是负号 去括号时 括号内每一项 2 幂的运算同底数幂相乘
6、底数不变 指数相加 即am an m n都是整数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 am n m n都是整数 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所有的幂相乘 am n amn 都要变号 即 ab n anbn n为整数 同底数幂相除 底数不变 指数相减 即am an a 0 m n都为整数 3 整式的乘法单项式与单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即m a b c 多项式与多项式相乘 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再
7、把所得的积相加 即 m n a b ma mb na nb am n ma mb mc 4 整式的除法单项式除以单项式 把 分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 把这个多项式的每一项除以这个单项式 然后把所得的商相加 5 乘法公式 1 平方差公式两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 即 a b a b 2 完全平方公式 系数 同底数幂 a2 b2 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和加上 或减去 它们的积的2倍 即 a b 2 考点三因式分解1 因式分解的定义及与整式乘法的关系 1 这种运算就是因式分解 2 因式分
8、解与整式乘法是互逆运算 2 因式分解的常用方法 1 提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式 那么这个相同的因式 就叫做公因式 a 2ab b2 把一个多项式化为几个整式的积的形式 提公因式法用公式可表示为ma mb mc 其分解步骤为 确定多项式的公因式 公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积 将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式 2 运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解 这种方法叫做公式法 即a2 b2 a2 2ab b2 温馨提示 在运用公式法分解因式时 公式中的字母 可以是一个数 也可以是一个单项式 还可以是一个多项式 m a b c
9、 a b a b a b 2 3 因式分解的一般步骤 1 一提 如果多项式的各项有公因式 那么先提公因式 2 二用 如果各项没有公因式 那么可以尝试运用公式法来分解 3 三查 分解因式 必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 考点一分式形如 A B是整式 且B中含有字母 B 的式子叫做分式 1 分式有无意义 B 0时 分式无意义 B 0时 分式有意义 2 分式值为0 A 0且B 0时 分式的值为0 考点二分式的基本性质分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个 的整式 分式的值不变 0 不等于零 2 通分的关键是确定n个分式的 确定最简公分母的一般步骤是 当分母是多项式时 先 再取系数的最小公倍数
10、 所有不同字母 因式 的 的积为最简公分母 3 约分的关键是确定分式的分子与分母中的 确定最大公因式的一般步骤是 当分子 分母是多项式时 先 取系数的 相同字母 因式 的 的积为最大公因式 温馨提示 1 若原分式的分子 或分母 是多项式 运用分式基本性质时 要先把分式的分子 或分母 用括号括上 再乘以 或除以 整式 2 应用分式基本性质时 要深刻理解 都 与 同 这两个字的含义 避免犯只乘分子或分母一项的错误 最简公分母 最高次幂 最大公因式 最低次幂 因式分解 最大公因式 因式分解 考点三分式的运算 4 分式的混合运算在分式的混合运算中 应先算乘方 再算乘除 进行约分化简后 最后进行加减运算
11、 遇到有括号的 先算括号里面的 运算结果必须是 分式或整式 考点四分式求值分式的求值方法很多 主要有三种 1 先化简 后求值 2 由值的形式直接转化成所求的代数式的值 3 式中字母表示的数未明确告知 而是隐含在方程等题设条件中 解这类题 一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值 另一方面把所求代数式化简 只有双管齐下 才能获得简易的解法 最简 考点一二次根式考点二最简二次根式最简二次根式必须同时满足条件 1 被开方数的因数是 因式是整式 2 被开方数中不含能开的尽方的因数或因式 0 正整数 考点三同类二次根式几个二次根式化成 后 如果 相同 这几个二次根式就叫做同类二次根式 温馨提示 判断几个
12、二次根式是否是同类二次根式 必须先化成最简二次根式后再判断 否则很容易出错 考点四二次根式的性质 最简二次根式 被开方数 非负 a 考点五二次根式的运算1 二次根式的加减法先将各根式化为 然后合并同类二次根式 0 最简二次根式 最简二次根式 0 考点一等式及方程的有关概念1 等式及其性质用等号 来表示相等关系的式子 叫做等式 等式的性质 等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得结果仍是等式 等式两边都乘以 或除以 同一个数 除数不能为0 所得结果仍是等式 温馨提示 在等式两边都除以同一个代数式时 一定要保证这个代数式的值 不为零 2 方程的有关概念 1 含有未知数的 叫做方程 2 使
13、方程左 右两边的 相等的未知数的值 叫做方程的解 只含有一个未知数的方程的解 也叫做根 3 求方程解的过程 叫做解方程 4 方程的两边都是关于未知数的 这样的方程叫做整式方程 等式 值 整式 考点二一元一次方程1 一元一次方程在整式方程中 只含有一个未知数 并且未知数的次数是1 系数不等于0的方程 叫做一元一次方程 一元一次方程的标准形式是 2 解一元一次方程的一般步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 合并同类项 5 系数化为1 考点三二元一次方程组及解法1 二元一次方程组 1 二元一次方程的一般形式 ax by c 0 a 0 b 0 ax b 0 a 0 2 几个含有相同未知数的二元
14、一次方程合在一起 叫做二元一次方程组 2 解二元一次方程组的基本思路 消元 3 二元一次方程组的解法 1 代入消元法 2 加减消元法 3 图象法 解方程组其实就是把方程组转化为方程 解二元一次方程组就是通过消元 把它转化为一元一次方程求解 温馨提示 解方程组其实就是把方程组转化为方程 解二元一次方程组就是通过消元 把它转化为一元一次方程求解 考点四列方程 组 解应用题1 列方程 组 解应用题的一般步骤 1 把握题意 搞清楚条件是什么 求什么 2 设未知数 3 找出能够包含未知数的等量关系 一般情况下设几个未知数 就找几个等量关系 4 列出方程 组 5 求出方程 组 的解 注意排除增根 6 检验
15、 看是否符合题意 7 写出答案 包括单位名称 2 列方程 组 解应用题的关键是 确定等量关系 考点一一元二次方程的定义在整式方程中 只含有 个未知数 并且含未知数项的最高次数是 这样的整式方程叫一元二次方程 一元二次方程的标准形式是 考点二一元二次方程的常用解法 一 2 ax2 bx c 0 a 0 考点一分式方程及解法1 分式方程分母里含有 的方程 叫做分式方程 2 解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程 即分式方程 整式方程 1 去分母 转化为整式方程 2 解整式方程 得根 3 验根 4 增根在方程变形时 使原分式方程的分母为零的根 称为原方程的增根 解分式方程时 有可能产生增根 因
16、此解分式方程要验根 其方法是代入最简公分母中 使最简公分母为0的是增根 否则不是 未知数 考点二与增根有关的问题1 分式方程的增根必须同时满足两个条件 1 2 2 增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值 解答思路为 1 将原方程化为整式方程 2 确定增根 3 将增根代入变形后的整式方程 求出参数的值 是由分式方程化成的整式方程的根 使最简公分母为零 考点三列分式方程解应用题1 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样 不同之处是列出的方程是分式方程 求出分式方程解后 一定要记住对所列方程和实际问题验根 不要缺少了这一步 2 应用问题中常用的数量关系及题型 1 数字问题 包括日历中的数字规律 设个位数字为c 十位数字为b 百位数字为a 则这个三位数是 日历中前后两日差 上下两日差 100a 10b c 1 7 2 体积变化问题 3 打折销售问题 利润 成本 利润率 100 4 行程问题 路程 若用v表示轮船的速度 用v顺 v逆 v水分别表示轮船顺水 逆水和水流的速度 在下列式子中填空 v顺 v v逆 v v v水 售价 速度 时间 v水 v水 在轮船航行问题中 知v顺 v逆 v
