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1、书 山 有 路 1 皮耶 德 费马 Pierre de Fermat 是一个 17 世纪 的法国律师 也是一位业余数学家 之所以称业余 是由于皮耶 德 费马具有律师的全 职工作 他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为 费尔玛 注意 玛 字 费马最后定理在中国习惯称为费马大定理 西方数学 界原名 最后 的意思是 其它猜想都证实了 这是 最后一个 著名的数学史学家贝尔 E T Bell 在 20 世纪初所 撰写的著作中 称皮耶 德 费马为 业余数学家之 王 贝尔深信 费马比皮耶 德 费马同时代的大多数 专业数学家更有成就 然而皮耶 德 费马并未在其 他方面另有成就 本人也渐渐退出人们的视野 考虑
2、到 17 世纪是杰出数学家活跃的世纪 因而贝尔认为费 马是 17 世纪数学家中最多产的明星 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔 德 费马 在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔 托里拆利 气 压计的发明者 的信中提出的 托里拆利最早解决了这个问题 而 19 世纪的数学 家斯坦纳重新发现了这个问题 并系统地进行了推广 书 山 有 路 2 因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点 相关的问 题也被称作费马 托里拆利 斯坦纳问题 这一问题的解决极大推动了联合数学的发展 在近 代数学史上具有里程碑式的意义 费马点 是指位于三角形内且到三角形三个顶点到三角形三个顶点 距离之和最短距离之和最短的点 若给定一个 A
3、BC 的话 从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A B C 的距离之和比从其它点 算起的都要小 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个 1 若三角形 3 个内角均小于 120 那么 3 条距离连 线正好三等分费马点所在的周角 即该点所对三角形 三边的张角相等 均为 120 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心 2 若三角形有一内角大于等于 120 则此钝角的顶 点就是距离和最小的点 书 山 有 路 3 在 1 的条件下画图找费马点 如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年 三角形 ACE 则 CD BE 交点 P 即为所求 2 若在 120 的钝角三角形中 其顶点即是
4、另外 当刚好 120 且三角形 BCD 为等边三 角形时 有个结论 AD AB AC 我们拓展一道几何题 第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的 书 山 有 路 4 2011 房山一摸 2009 石景山 25 本小题满分 7 分 已知 等边三角形 ABC 如图 1 P 为等边 ABC 外一点 且 BPC 120 试猜想线段 BP PC AP 之间的数量关系 并证明你的猜想 2 如图 2 P 为等边 ABC 内一点 且 APD 120 求证 PA PD PC BD 我们回到正题 费马点 C A B P 图 1 C B A P D 图 2 书 山 有 路 5 25 如图 在平面直角坐标系xOy中 点
5、B的坐标为 2 0 点D在x轴 的正半轴上 30ODB OE为 BOD的中线 过B E两点的抛物 线 2 3 6 yaxxc 与x轴相交于A F两点 A在F的左侧 1 求抛物线的解析式 2 等边 OMN的顶点M N在线段AE上 求AE及AM的长 3 点P为 ABO内的一个动点 设mPAPBPO 请直接写出m 的最小值 以及m取得最小值时 线段AP的长 2013 房山一摸 24 1 如图 1 ABC 和 CDE 都是等边三角形 且 B C D 三点共线 联结 AD BE 相交于点 P 求证 BE AD 2 如图 2 在 BCD 中 BCD 120 分别以 BC CD 和 BD 为边在 BCD 外
6、部作等边三角形 ABC 等边三角形 CDE 和等边三角 形 BDF 联结 AD BE 和 CF 交于点 P 下列结论中正确的是 只填序号即可 AD BE CF BEC ADC DPE EPC CPA 60 3 如图 2 在 2 的条件下 求证 PB PC PD BE 书 山 有 路 6 图2 图1 A P P A A B CB C 29 阅读下面材料阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题 如图小伟遇到这样一个问题 如图 1 在 在 ABC 其中 其中 BAC 是一个是一个 可以变化的角 中 可以变化的角 中 AB 2 AC 4 以 以 BC 为边在为边在 BC 的下方作等边的下方作等边 PBC 求
7、求 AP 的最大值 的最大值 小伟是这样思考的 利用变换和等边三角形将边的位置重新组小伟是这样思考的 利用变换和等边三角形将边的位置重新组 合 他的方法是以点合 他的方法是以点B为旋转中心将为旋转中心将 ABP逆时针旋转逆时针旋转60 得到得到 A BC 连接连接 A A 当点当点 A 落在落在 A C 上时上时 此题可解 如图此题可解 如图 2 1 请你回答 请你回答 AP 的最大值是的最大值是 2 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 如图如图 3 等腰 等腰 Rt ABC 边 边 AB 4 P 为为 ABC 内部一点 请写出内部一点 请写出
8、求求 AP BP CP 的最小值长的解题思路的最小值长的解题思路 提示提示 要解决要解决 AP BP CP 的最小值问题 可仿照题目给出的做法的最小值问题 可仿照题目给出的做法 把把 ABP 绕绕 B 点逆时针旋转点逆时针旋转 60 得到 得到 BP A 请画出旋转后的图形请画出旋转后的图形 请写出求请写出求 AP BP CP 的最小值的解题思路 结果可以不的最小值的解题思路 结果可以不化简 化简 2016 一月昌平 图3 C A B P 书 山 有 路 7 28 已知 点 O 是等边 ABC 内的任一点 连接 OA OB OC 1 如图 1 已知 AOB 150 BOC 120 将 BOC
9、绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC DAO 的度数是 用等式表示线段 OA OB OC 之间的数量关系 并证明 2 设 AOB BOC 当 满足什么关系时 OA OB OC 有最小值 请在图 2 中画 出符合条件的图形 并说明理由 若等边 ABC 的边长为 1 直接写出 OA OB OC 的最小值 A BC D A BC O 图1图2 2017 年一月昌平 29 如图 1 在 ABC 中 ACB 90 点 P 为 ABC 内一点 1 连接 PB PC 将 BCP沿射线CA方向平移 得到 DAE 点B C P的对应点 分别为点D A E 连接CE 依题意 请在图2中补全图形 如果BP
10、CE BP 3 AB 6 求 CE 的长 图1 P C B A图2 A B P C 图3 N M B A P C 书 山 有 路 8 2 如图 3 连接 PA PB PC 求 PA PB PC 的最小值 小慧的作法是 以点 A 为旋转中心 将 ABP 顺时针旋转 60 得到 AMN 那么就将 PA PB PC 的值转化为 CP PM MN 的值 连接 CN 当点 P 落在 CN 上时 此题可解 请你参考小慧的思路 在图 3 中证明 PA PB PC CP PM MN 并直接写出当 AC BC 4 时 PA PB PC 的最小值 延伸一下 2017 年一月 海淀 28 在 ABC 中 AB AC
11、 BAC 点 P 是 ABC 内一点 且 2 PACPCA 连接 PB 试探究 PA PB PC 满足的等量关 系 P A B C P A B C P 1 当 60 时 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转 60 得到 ACP 连接 PP 如图 1 所示 由ABP ACP 可以证得 APP 是等边三角形 再由30PACPCA 可得 APC 的大小为 度 进而得到 CPP 是直角三角形 这样可以得到 PA PB PC 满足的等量关系 为 2 如图 2 当 120 时 请参考 1 中的方法 探究 PA PB PC 满足的等量关系 并给出证明 3 PA PB PC 满足的等量关系为 图 1 图 2 书
12、山 有 路 9 2016 年顺义一摸 28 已知 在 ABC 中 BAC 60 1 如图 1 若 AB AC 点 P 在 ABC 内 且 APC 150 PA 3 PC 4 把 APC 绕着点 A 顺时针旋转 使点 C 旋转到点 B 处 得到 ADB 连接 DP 依题意补全图 1 直接写出 PB 的长 2 如图 2 若 AB AC 点 P 在 ABC 外 且 PA 3 PB 5 PC 4 求 APC 的度数 3 如图 3 若 AB 2AC 点 P 在 ABC 内 且 PA 3 PB 5 APC 120 请直接写出 PC 的长 C A B P CB A P B C A P 书 山 有 路 10 26 如图 四边形 ABCD 是正方形 ABE 是等边三角形 M 为对角 线 BD 不含 B 点 上任意一点 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN 连接 EN AM CM 1 求证 AMB ENB 2 当 M 点在何处时 AM CM 的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM 的值最小 并说明理由 3 当 AM BM CM 的最小值为时 求正方形的边长 在矩形 ABCD 中 点 P 在矩形内 点 Q 在 BC 上 AD 5 AB 3 求 AP DP PQ 的最小值
