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1、知其然 更知其所以然 中国先哲 哪里有数 哪里就有美 Proclus 数学实验 上海交大数学科学学院 的计算 你也许能写出 3 1415926535 实际问题 圆周率 我们十分熟悉的常数 用Matlab可以求出 到几百位 digits 100 vpa pi 但你会计算 的值吗 你又能用几种方法计算 ans 3 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068 刘徽割圆法 从正六边形开始 逐步求边长与面积 相应 OAC的面积 设边数为6 2n的正多
2、边形边长为an 递推法 于是 的值 刘徽计算到192边形面积 得到 3 141 用Matlab计算m文件 functioncalpi n a 1 1 fori 1 n 1a i 1 sqrt 2 sqrt 4 a i 2 endS 3 2 n 1 a n 命令窗口输入 formatlonggcalpi 5 如何提高精度 提高多边形的边数 不能完全达到目的 在Matlab文件中解决符号运算 functioncalpi1 n a 1 sym 1 fori 1 n 1a i 1 sym sqrt 2 sqrt 4 a i 2 endS 3 2 n 1 a n vpa S 60 最后进行数值计算 60
3、为数值计算过程中保留的有效数字 任务1 德国人鲁道夫用一生计算圆周率 他同样是用圆的内接多边形逼近圆周 不过他是从正方形开始成倍增加边数 试推导出他计算所采用的递推公式 然后求 的近似值到10位和20位 利用幂级数计算 积分导出 取x 1 Sn的迭代格式 用Matlab计算 创建m文件calpi2 m 内容如下 functioncalpi2 n S 0 fori 1 nifmod i 2 0S S 1 2 i 1 elseS S 1 2 i 1 endendS 4 S calpi2 1000 ans 3 14059265383979 calpi2 10000 ans 3 14149265359
4、003 结果如何 calpi2 20000 ans 3 14154265358982 精度提高很慢 能不能算得更快一点 更精确一点 Machin公式 简单公式 用Matlab 创建m文件 functioncalpi2 1 n S 0 fori 1 nifmod i 2 0S S 1 2 i 1 1 2 2 i 1 1 3 2 i 1 elseS S 1 2 i 1 1 2 2 i 1 1 3 2 i 1 endendS vpa 4 S 30 观察30位有效数字 calpi2 1 10 ans 3 14159257960635063255949717131 计算结果 calpi2 1 20 an
5、s 3 14159265358975625659354591335 calpi2 1 50 ans 3 14159265358979323846264338328 一个结论 算法很重要 计算机速度 300次 秒 33 86 1040兆 秒 从1950 2000年 104次 秒 1012次 秒 提高1亿倍 算法 解线性方程组高斯消去法 多重网格法 计算机速度 运算次数 1018次 106次 提高1万亿倍 任务2 2 验证公式 1 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式 简单公式和Machin公式所用的项数 求 若要精确到40位 50位数字 试比较 试用此公式右端作幂级数展开完成任务1 所需的项数
6、 3 回忆在微积分中学习到的其它级数形式是否可用来求 的值到10位 20位 30位 相应需要级数的多少项 将 0 1 区间n等分 取xk k n 利用数值积分方法 yk 1 1 xk2 Matlab计算 创建m文件 梯形法 functioncalpi3 n x 0 1 n 1 y 1 1 x 2 S 2 sum y 1 0 5 2 S n calpi3 100 ans 3 14157598692313 calpi3 500 ans 3 14159198692313 calpi3 10000 ans 3 14159265192314 用数值积分计算 分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数
7、字 用Simpson法精确到15 位数字 任务3 针与平行线相交的次数为n MonteCarlo法 从Buffon落针实验谈起 纸上一组平行线距离为1 将长度为1的针多次地扔到 纸上 若扔针次数为m 而其中 Buffon指出 的数值与m n有关 他由此 求出 的近似值为3 142 设计方案 4m n 计算机模拟 产生区间 0 1 上数目为n的一组 在正方形0 x 1 0 y 1 上随机的投大量的点 那么 落在四分之一圆内的点数 m与在正方形内的点数n之 比m n应为这两部分图形 面积之比 4 故 随机数 x y 计算满足x2 y2 1的点数m Matlab计算 创建m文件 functiony
8、calpi4 k m 0 forn 1 kifrand 1 2 rand 1 2 1m m 1 end end y 4 m k 观察结果 思考为什么 2 设计方案用计算机模拟Buffon实验 任务4 看能否求得5位精确数字 1 用MonteCarlo法计算 除了加大随机数 在随机数一定时可重复算若干次后求平均值 其他方法 1 的展开式Ramanujan公式 算术几何平均值迭代法 利用积分 推导公式 任务5 用此公式计算 的近似值 效果如何 有必要计算那么精确吗 十位小数就足以使地球周界准确到一英 寸以内 三十位小数便能使整个可见宇宙周 边准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个 度量 三十五位小
9、数的 值计算能把太阳系 包围起来的圆的周长 误差还不到质子直径的 百万分之一 计算 的意义 反映数学和计算技术发展的一个侧面 历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度 可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标 3 1415926 3 1415927 领先世界900余年 位数100万10 1亿2061亿12411亿2 7万亿10万亿年代19731989199920022010 12011 10国家法国美国日本日本法国日本 人工计算 实验法 几何法 分析法 用计算机 始于19492035位 VonNeumann 最高记录 808位 1948 家用电脑 运用超级计算机已算到小数位60万亿位 引发新的概念 方法和思想 产生新的问题 测试或检验超级计算机的各项性能 SuperPI Intel公司推出奔腾 Pentium 时发现问题 雅虎科技公司的研究员尼古拉斯 斯则 NicholasSze 采用 云计算 技术 利用1000台电脑同时计算 历时23天 将圆周率精确到小数点后2千万亿位 1 利用学习过的知识 或查阅资料 提出其他 计算 的方法 先用你学过的知识证明 然后 2 对你在实验中应用的计算 的方法进行比较 实践这方法 任务5 分析讨论 任务 e是一个重要的超越数 还有 试用上述公式或其他方法近似计算e 谢谢各位
