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1、 案例分析1：中国人口时间序列模型（file:b2c1）（怎样建立AR模型） 图2.11 中国人口序列（1949-2000） 图2.12 中国人口一阶差分序列（1950-2000）从人口序列图可以看出我国人口总水平除在1960和1961两年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。51年间平均每年增加人口1451.5万人，年平均增长率为17.5 。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。把51年分为两个时期，即改革开放以前时期（19491978）和改革开放以后时期（19791996），则前一个时期的人口年平均增长率为20，后一个时期的年平均增长率为13.4。从人口序列的变化特
2、征看，这是一个非平稳序列。见人口差分序列图。建国初期由于进入和平环境，同时随着国民经济的迅速恢复，人口的年净增数从1950年的1029万人，猛增到1957年的1825万人。由于粮食短缺，三年经济困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期（1960，1961），人口净增值不但没有增加，反而减少。随着经济形势的好转，从1962年开始人口年增加值迅速恢复到1500万的水平，随后呈连年递增态势。1970年是我国历史上人口增加最多的一个年份，为2321万人。随着70年代初计划生育政策执行力度的加强，从1971年开始。年人口增加值逐年下降，至1980年基本回落到建国初期水平。1981至1991年人口增加
3、值大幅回升，主要原因是受19621966年高出生率的影响（1963年为43.73）。这种回升的下一个周期将在2005年前后出现，但强势会有所减弱。从数据看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趋势。由于现在的人口基数大于以往年份，所以尽管年增人口仍在1千万人以上，但人口增长率却是建国以来最低的（1996年为10.5）。从yt的变化特征看，1960，1961年数据可看作是两个离群值，其它年份数据则表现为平稳特征。但也不是白噪声序列，而是一个含有自相关和（或）移动平均成分的平稳序列。下面通过对人口序列yt和人口差分序列Dyt的相关图，偏相关图分析判别其平稳性以及识别模型形式。图2.13 yt
4、的相关图，偏相关图图2.14 Dyt的相关图，偏相关图（虚线到中心线的距离是2 (1/) = 0.28）见图2.13和图2.14。人口序列yt是非平稳序列。人口差分序列Dyt是平稳序列。应该用Dyt建立模型。因为Dyt均值非零，结合图2.14拟建立带有漂移项的AR(1)模型。估计结果如下：Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + vt (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Qa (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0-1) = 15.5模型参数都通过了显著性t检验。注意：（1）根据Wold分解定理，EViews的
5、输出格式表示的是，对序列(Dyt - 0.1429) 建立AR(1)模型，而不是对Dyt建立AR(1)模型。（2）整理输出结果：Dyt = 0.1429 (1-0.6171) + 0.6171 Dyt-1 + vt = 0.0547 + 0.6171 Dyt-1 + vt漂移项a = 0.0547，特征根是1 / 0.62 = 1.61。输出结果中的0.1429是Dyt的均值，不是模型漂移项。以AR(1)过程xt=a+f1 xt-1 + ut为例，两侧求期望，得均值m 和漂移项q0的关系是E(xt) =m ，或 a =m (1-f1) 对整理后的输出结果两侧求期望，就会反求出m = 0.054
6、7/ (1-0.6171) = 0.1429（3）有没有漂移项对求特征方程和特征根无影响。模型残差的相关图和偏相关图如下，图2.15 表2.5中模型（1）残差序列的相关图，偏相关图因为Q(10) = 5.2 c20.05( 10-1-0) = 16.9可以认为模型误差序列为非自相关序列。EViews操作方法：从EViews主菜单中点击Quick键，选择Estimate Equation功能。随即会弹出Equation specification对话框。输入漂移项非零的AR(1)模型估计命令（C表示漂移项）如下： D(Y) C AR(1)注意：（1）不能把命令中的AR(1)写成D(Y (-1)（
7、写成D(Y (-1)意味着做OLS估计）。（2）写成D(Y)的好处是EViews可以直接对Y、D(Y)进行预测。（3）模型中若含有移动平均项，EViews命令用MA(q)表示。（4）估计的时间序列模型的R2不可能很高。因为变量差分后损失了很多信息。（5）估计的模型是否成立应该从3个方面检查，模型参数估计量必须通过t检验；全部的特征根的倒数必须在单位圆以内；模型的残差序列必须通过Q检验。（6）在模型估计结果窗口通过View/ARMA Structure/Correlogram命令可以观察样本的相关图与理论AR(1)过程相关图的对比图。下面进行预测：Dy2001 = 0.0547 + 0.6171
8、 Dy2000 + v2001 = 0.0547 + 0.6171 0.0957 +0= 0.1138 y2001 = y2000 + Dy2001 = 12.6743 + 0.1138 = 12.7881EViews给出的预测值是12.78806，结果相同。预测的EViews操作方法：把样本容量调整到1949-2001。打开估计式窗口，在Equation Specification（方程设定）选择框输入命令，D(Y) C AR(1)，保持Method（方法）选择框的缺省状态（LS方法），在Sample（样本）选择框中把样本范围调整至1949-2000。点击OK键，得到估计结果后，点击功能条中
9、的预测（Forecast）键。得对话框及各种选择状态见下图。点击OK键，YF和YFse序列出现在工作文件中。打开YF序列窗口，得2001年预测值12.78806，见前图。已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。预测误差为 h = 0.002图2.17 点击forecast键只选取2001年动态或静态的预测结果 解法2： 把中国人口序列yt看作是含有确定性趋势的平稳序列。前提是中国人口序列yt必须是退势平稳序列。用yt对时间t回归,得yt = 5.0152 + 0.1502 t + ut(110) (102) R2 = 0.995, (1949-2001)用ut检验单位根如下。dut
10、= -0.0940 ut-1 + 0.6681 dut-1(-2.5) (6.3) R2 = 0.45, (1951-2001), DF0.05 = -1.96图16 ut序列ut是一个平稳序列。所以yt是一个退势平稳序列。有理由建立一个含有固定趋势项的时间序列模型。图17 ut的相关图和偏相关图通过观察ut的相关图和偏相关图，判定ut是一个二阶自回归过程。f1为正，f2为负。特征根应该为复根。建立含有固定趋势项的二阶自回归模型 Y C trend(1948) AR(1) AR(2)估计结果如下：写表达式如下：yt = 4.9729 + 0.1508 t + ut, (1949，t = 1)(
11、34.9) (35.4) 其中ut = 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt , (1949，t = 1) (13.7) (-5.9) 或写为 yt = 4.9729 + 0.1508 t + 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt , (1949，t = 1)(34.9) (35.4) (13.7) (-5.9) R2 = 0.995, (1951-2000) , Q(10) = 4.6, Qa (k-p-q) = Q0.05 (10-2-0-2) = 12.6模型残差序列的相关与偏相关图如下，根据上式预测，2001年中国人口预测数是y2001
12、= 4.9729 +0.1508253 +1.5503(-0.15179) - 0.6491 (-0.09728)=12.7942（亿人）, (2001年, t = 53)也可以把输出结果写为，yt = 4.9729+0.1508 t +1.5503 (yt-1-4.9729-0.1508(t-1) - 0.6491(yt-2-4.9729-0.1508(t-2)+vt(34.9) (35.4) (13.7) (-5.9) 整理后得yt = 0.5293+0.0149 t +1.5503 yt-1 - 0.6491yt-2 + vt 注意：EViews的输出格式表示的是对序列(yt -4.97
13、29-0.1508t)估计AR(2)模型。根据上式预测，2001年中国人口预测数是y2001 = 0.5293 + 0.0149 53 +1.5503 (12.6743)-0.6491 (12.5786)=12.8032（亿人）, (2001年, t = 53)EViews预测的结果是12.8033。已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。预测误差为 h = 0.003图2.18 点击forecast键只选取2001年动态或静态的预测结果案例2 日本人口时间序列模型（file:japopu）（怎样建立缺项的AR模型） 图1 日本人口序列(yt) 日本人口差分序列(Dyt) 人口数字之
14、所以起于1872年，是因为1872年日本才有了全国人口统计数字。在122年间（1872-1994），日本人口从3480.6万人增至12503.4万人（3.6倍）。日本人口增加的特点是两头慢，中间快。同时在1944-1946年和1972年人口总量出现了激烈波动。1944-1946年的波动是因为战败，1972年的波动是由于美国归还冲绳。由图1中的相关图可以判定日本人口序列yt是一个非平稳序列。由图2可以看出日本人口差分序列Dyt是一个平稳序列。图3是日本人口的二次差分序列DDyt。它也是一个平稳序列。差分序列Dyt的极差是0.059，差分序列DDyt的极差是0.087。可见DDyt是一个过度差分序列。应该用Dyt建立时间序列模型。日本历史上有两次大规模向国外学习的过程。一次是大化改新。大化改新（公元645-649）是一场以圣德太子政治理念为基础的贵族革命。圣德太子（公元574-622）一心加强皇权，决心向中国学习，启蒙日本。他四度向中国派遣使团和留学生。在它的影响下，其死后23年，即公元645年，中大兄皇子发动政变，成功地建立了类似唐朝的中央集权机构。一次是明治维新。明治维新始于1868年。从而开始了全面向西方学习的历史。口号是“富国强兵”（福泽谕吉）。主要
