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1、考点 13 平面向量的数量积及应用 知识框图 自主热身 归纳总结 1 2018 苏州暑假测试 已知平面向量a 2 1 a b 10 若 a b 52 则 b 的值 是 答案 5 解析 因为 50 a b 2 a 2 b 2 2a b 5 20 b 2 所以 b 5 2 2017 无锡期末 已知向量 a 2 1 b 1 1 若 a b 与 m a b 垂直 则实数m 的值为 答案 1 4 解析 根据向量a b 的坐标可得 a b 1 2 m a b 2m 1 m 1 因为 a b m a b 所以 a b m a b 1 2 m 1 2 m 1 4m 1 0 故 m 1 4 3 2016 苏北四
2、市摸底 已知 a 1 b 2 a b 1 2 则向量a b 的夹角为 答案 2 3 解析 因为 a b 1 2 所以 a b 3 两边平方得 a 2 2a b b2 3 将 a 1 b 2代入得 1 2a b 4 3 从而 a b 1 所以 cos a b a b a b 1 2 而 a b 0 所以 a b 2 3 即向量 a b 的夹角为 2 3 4 2017 苏北四市期末 已知非零向量 a b 满足 a b a b 则 a 与 2a b 夹角的 余弦值为 答案 57 14 解析 解法 1 因为非零向量 a b满足 a b a b 所以a 2 b2 a2 2a b b2 a b 1 2a
3、2 1 2b 2 所以 a 2a b 2a 2 a b 5 2a 2 2 a b 2a b 2 5a 2 4a b 7 a cos a 2 a b a 2a b a 2 a b 5 2a 2 a 7 a 5 27 57 14 解法 2 因为非零向量 a b 满足 a b a b 所以 a b 2 3 所以a 2 a b 2a 2 a b 2a2 a b cos2 3 5 2a 2 2 a b 2a b 2 5a 2 4a b 5a 2 4 a b cos 2 3 7 a 以下同解法 1 5 2017 南通 扬州 淮安 宿迁 泰州 徐州六市二调 如图 在平面四边形ABCD 中 O 为 BD的中点
4、 且 OA 3 OC 5 若AB AD 7 则BC DC 的值是 答案 9 解析 BC DC OC OB OC OD OC OD OC OD OC2 OD2 类似 AB AD AO 2 OD 2 7 所以 BC DC OC2 OD2 OC2 AO2 7 9 思想根源极化恒等式 a b a b 2 2 a b 2 2 在 ABC中 若 M 是 BC 的中点 则 AB AC AM2 MC 2 其作用是 用线段的长度来计算向量的数量积 6 2017 南京学情调研 在 ABC 中 已知 AB 3 BC 2 D在边 AB上 AD 1 3AB 若DB DC 3 则边 AC的长是 答案 10 解析 思路分析
5、 1 注意到 AB BC已知 故以 BA BC 为基底 将其它向量表示出来 通过 DB DC 3 计算出向量 BA BC 的夹角后 再利用余弦定理求得 AC的长 思路分析 2 以 B为坐标原点 BC所在的直线为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 从而用向 量的坐标运算来研究问题 要求AC的长本质就是求点A 的坐标 可以通过 DB DC 3 来求得 点 A的坐标 解法 1 因为 AD 1 3AB 所以 DB DC 2 3AB 2 3AB BC 4 9AB 2 2 3AB BC 4 2 3 3 2cos ABC 3 解得 cos ABC 1 4 因此 AC 2 AB2 BC2 2AB BC cos
6、 ABC 10 即 AC 10 解法 2 以 B为坐标原点 BC所在的直线为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 设 ABC 则因为 AB 3 BC 2 所以 C 2 0 A 3cos 3sin 又因为 AD 1 3AB 所以 D 2cos 2sin 故 DB 2cos 2sin DC 2 2cos 2sin 因此 DB DC 4cos 4cos 2 4sin2 3 解 得 cos 1 4 从 而 A 3 4 315 4 由 此 可 得 AC 3 4 2 2 315 4 2 10 7 2016无锡期末 已知平面向量 满足 1 且 与 的夹角为 120 则 的模的取值范围为 答案 0 23 3 解
7、析 思路分析本题题设虽然简单 但不易入手 实际上 本题隐含条件 必能构成三角形 故引入 与 的夹角 根据正弦定理 用 表示 利用函数思想求解 设 与 的夹角为 则0 120 由正弦定理可得 sin120 sin60 所 以 23 3 sin 120 因 为0 120 所 以0 120 120 所以 0 sin 120 1 所以 00 q 0 且直线 PQ x p y q 1 因为点 E在直线 PQ上 所以 1 2p 1 4q 1 BQ CP 2 q p 1 2p q 2p q 1 2p 1 4q 5 4 q 2p p 2q 5 4 2 q 2p p 2q 9 4 当且仅当 q 2p p 2q
8、即 p q 3 4时取 所以 BQ CP 的最大值是 9 4 变式 2 2018 苏州期末 如图 ABC为等腰三角形 BAC 120 AB AC 4 以 A 为圆心 1 为半径的圆分别交AB AC于点 E F 点 P是劣弧 EF 上的一动点 则 PB PC 的取值 范围是 答案 11 9 解析 坐标法 以 A为原点 垂直于BC的直线为 x 轴建立平面直角坐标系xAy 则 B 2 23 C 2 23 设 P cos sin 其中 3 3 PB PC 2 cos sin 2 3 2 cos 23 sin cos 2 2 sin2 12 7 4cos 因为 cos 1 2 1 所以 PB PC 11
9、 9 变式 3 2018 苏北四市期末 如图 在 ABC中 已知 AB 3 AC 2 BAC 120 D 为边 BC的中点 若 CE AD 垂足为 E 连结 BE 则EB EC 的值为 答案 27 7 解析 思路分析建立平面直角坐标系xOy 写出 A B C D各点的坐标 利用坐标法 求解 解法 1 坐标法 以点 A为坐标原点 AB所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系xOy 如图 所示 则 A 0 0 B 3 0 C 1 3 D 1 3 2 所以直线 AD y 3 2 x 直线 CE y 2 3 3 x 3 3 联 立 y 3 2 x y 23 3 x 3 3 得E 2 7 3 7 所 以
10、EB 19 7 3 7 EC 9 7 63 7 从而 EB EC 189 49 27 7 解法 2 向量的数量积 EB EC ED2 DC2 CE2 由 2AD 2 AB AC 2 得 4AD2 9 4 6 7 即 AD 7 2 因为 S ADC 1 2S ABC 3 3 4 且 S ADC 1 2AD CE 7 4 CE 所以 CE 2 27 7 故EB EC 27 7 解法 3 基底法 因为 E 在中线 AD 上 所以可设 AE AB AC 则EB 1 AB AC 同理 EC 1 AC AB 所以 EB EC 3 1 2 2 13 1 3 7 1 由 AD E C 0 得 AB AC 1
11、AC AB 0 可解得 1 7 从而 EB EC 3 6 7 27 7 变式 4 2018 苏锡常镇调研 如图 扇形 AOB的圆心角为 90 半径为 1 点 P 是圆弧 AB 上的动点 作点 P 关于弦 AB 的对称点Q 则OP OQ u uu r uuu r 的取值范围为 答案 21 1 Q P O B A 解析 思路分析 首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方法 坐标法和基底法 进行求解 解法 1 坐标法 以OA为 x轴 OB为y轴 建立平面直角坐标系 则 0 1 A 1 0 B 则 直线01 yxAB 由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上 可设 sin cosP 2 0 设点P关于直
12、线 AB 的对称点 11 yxQ 则 1 1 cos sin 01 2 sin 2 cos 1 1 11 x y yx 可得 cos1 sin1 1 1 y x 即 cos1 sin1 Q 所以cossin2cossin cos1 sin sin1 cosOQOP 令 4 sin 2cossint 则2 1t且1cossin2 2 t 故 4 5 2 1 1 22 ttttfOQOP 所以OP OQ uuu r uuu r 的取值范围为 21 1 变式 5 2017 南通 扬州 泰州 淮安三调 如图 在直角梯形ABCD中 AB DC 90ABC 3AB 2BCDC 若EF 分别是线段DC和BC
13、上的动点 则ACEF uuu ru uu r 的取值范围 是 答案 4 6 解析 以 BA为x轴 BC为 y 轴建立平面直角坐标系 则 3 0 A 0 0 B 0 2 C 2 2 D 设 2 0 E xFy 因为EF 分别是线段DC和BC上 所以 0 2 x y 则 3 2 2 ACEFx y uuu ru uu r 324AC EFxy u uu r uu u r 因为 0 2 x y 所以32 0 10 xy 从而324 4 6 xy 即AC EF u uu r uuu r 的取值范围为 4 6 题型三平面向量数量积的综合应用 知识点拨 平面向量的数量积计算有两种处理方法 一是通过向量分解
14、转化为基向量来解决 A B CD E F 二是通过建立平面直角坐标系 通过坐标运算来解决 方法 1 比较灵活 方法2 比较程式化 若有直角坐标系框架 或者便于建系 考试时建议通过建系来解决问题比较稳妥 若题中几何 关系明显 且所求向量的长度和夹角未知 首选坐标法 圆中求向量数量积最值问题 优先考 虑以角作为参数 来建立函数关系 这样问题转为三角的最值问题 便于求解 例 3 2018 南京 盐城一模 如图是蜂巢结构图的一部分 正六边形的边长均为1 正六边 形的顶点称为 晶格点 若A B C D四点均位于图中的 晶格点 处 且A B的位置所 图所示 则 AB CD 的最大值为 答案 24 解析 思
15、路分析本题所给 AB 是确定的 所以根据数量积定义 AB CD 的最大值即 CD 在AB 上 的投影最大 可以选取几个特殊位置逐一检验 也可以用图形作出投影的最大值 解法 1 如图 1 建立平面直角坐标系 A 3 2 9 2 B 0 0 那么很容易得到C 0 5 此 时 D的位置可以有三个点可以选择 分别是D1 3 2 1 2 D2 3 0 D3 3 3 2 1 2 分别 求出AB CD 的值为 21 24 22 5 所以 AB CD 的最大值为 24 图 1 图 2 解法 2 由数量积定义可得 要求AB CD 的最大值 即求 CD 在AB 上投影的最大值 如图 2 FD AB 此时 CD 在
16、FD 上的投影最大 即在 AB 上的投影最大 AB CD AE EB CF FD AE EB AB CF AE EB AE 2EB AE 2 2EB 2 3AE EB 16 2 3 4 1 1 2 24 变式 1 2018 苏中三市 苏北四市三调 如图 已知2AC B为 AC 的中点 分别以AB AC 为直径在AC 的同侧作半圆 M N分别为两半圆上的动点 不含端点ABC 且 BMBN 则AMCN uuuu ruuu r 的最大值为 思路分析 处理向量数量问题 主要是坐标法和基底法 解法1 建立坐标系 设 NBCMABa 0 2 得到 M N坐标 建立以角 a 的函数关系式 解法2 两个向量不 共起点 可以转化为以B 为起点的向量 运用向量数量积的定义得到关于AM uuuu r 的函数 换元 转化二次函数 求最值 解法3 建立坐标系后 设出直线 BN和BM 方程 MN 为直线与圆的交点 联立直线与圆方程 求出 MN 的坐标 得到一个关于斜率 k 的函数关系式 换元后求最值 答案 1 4 解析 解法 1 坐标法 以点 B为坐标原点 线段AC所在的直线为 x轴 建立平面坐标 系 设NBCM
