《专题8.6空间向量及空间位置关系(讲)(原卷版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题8.6空间向量及空间位置关系(讲)(原卷版) .pdf（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 8 6 空间向量及空间位置关系 1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表 示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 4 理解直线的方向向量及平面的法向量 5 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 6 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 知识点一空间向量及其有关概念 概念语言描述 共线向量 平行向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量平行于同一个平面的向量 共线向量定理对空间任意两个向量a b b 0 a b
2、存在 R 使 a b 共面向量定理 若两个向量a b 不共线 则向量p 与向量 a b 共面 存在唯 一的有序实数对 x y 使 p xa yb 空间向量基本定 理及推论 定理 如果三个向量a b c 不共面 那么对空间任一向量p 存在唯一的有序实数组 x y z 使得 p xa yb zc 推论 设O A B C 是不共面的四点 则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个 有序实数x y z 使 OP x OA y OB z OC 且 x y z 1 知识点二数量积及坐标运算 1 两个空间向量的数量积 a b a b cos a b a b a b 0 a b 为非零向量 设 a x y
3、z 则 a 2 a2 a x2 y2 z 2 2 空间向量的坐标运算 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 向量和a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 向量差a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 数量积a b a1b1 a2b2 a3b3 共线a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R b 0 垂直a b a1b1 a2b2 a3b3 0 夹角公式cos a b a1b1 a2b2 a3b3 a21 a22 a23b21 b22 b23 知识点三直线的方向向量与平面的法向量 1 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或或共线 则称此向量a 为直
4、线 l 的方向向量 2 平面的法向量 直线l 取直线l 的方向向量a 则向量a叫做平面 的法向量 知识点四空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线 l1 l2的方向向量分别 为 n1 n2 l1 l2n1 n2 n1 kn2 k R l1 l2n1 n2 n1 n2 0 直线 l 的方向向量为n 平 面 的法向量为m l n m n m 0 l n m n km k R 平面 的法向量分别为n m n m n km k R n m n m 0 特别提醒 1 空间向量基本定理的几点注意 1 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 2 由于 0 与任意一个非零向量共线 与任意两个非零
5、向量共面 故0 不能作为基向量 3 基底选定后 空间的所有向量均可由基底唯一表示 2 有关向量的数量积的提醒 1 若 a b c b 0 为实数 则ab bc a c 但对于向量就不正确 即a b b ca c 2 数量积的运算只适合交换律 加乘分配律及数乘结合律 但不适合乘法结合律 即 a b c 不一定等于 a b c 这是由于 a b c 表示一个与c共线的向量 而 a b c 表示一个与a 共线的向量 而 c 与 a 不一定共线 3 方向向量和法向量均不为零向量且不唯一 知识必备 1 证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P A B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线 1 PA PB
6、 R 2 对空间任一点O OP OA t AB t R 3 对空间任一点O OP x OA y OB x y 1 2 证明空间四点共面的方法 对空间四点P M A B 除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面 1 MP x MA y MB 2 对空间任一点O OP OM x MA y MB 3 PM AB 或 PA MB 或 PB AM 3 确定平面的法向量的方法 1 直接法 观察是否有垂直于平面的向量 若有 则此向量就是法向量 2 待定系数法 取平面内的两条相交向量a b 设平面的法向量为n x y z 由 n a 0 n b 0 解 方程组求得 考点一空间向量的数量积及应
7、用 典例 1 湖南长郡中学2019 届高三模拟 如图所示 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角 线长都等于1 点 E F G 分别是 AB AD CD 的中点 计算 1 EF BA 2 EG BD 解析 设 AB a AC b AD c 则 a b c 1 a b b c c a 60 1 EF 1 2BD 1 2c 1 2a BA a DC b c EF BA 1 2c 1 2a a 1 2a2 1 2a c 1 4 2 EG BD EA AD DG AD AB 1 2AB AD AG AD AD AB 1 2AB 1 2AC 1 2AD AD AB 1 2a 1 2b 1 2c c a
8、1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 方法技巧 1 利用数量积解决问题的两条途径 一是根据数量积的定义 利用模与夹角直接计算 二是利用坐标运 算 2 空间向量的数量积可解决有关垂直 夹角 长度问题 1 a 0 b 0 a b a b 0 2 a a2 3 cos a b a b a b 变式 1 天津新华中学2019 届高三质检 如图所示 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面为平行四 边形 以顶点A为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求 AC1的长 2 求证 AC1 BD 3 求 BD1与 AC 夹角的余弦值 1 解记AB a A
9、D b AA1 c 则 a b c 1 a b b c c a 60 a b b c c a 1 2 AC1 2 a b c 2 a2 b2 c2 2 a b b c c a 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 6 AC 1 6 即 AC1的长为6 2 证明 AC1 a b c BD b a AC1 BD a b c b a a b b 2 b c a 2 a b a c b c a c b c cos 60 a c cos 60 0 AC1 BD AC1 BD 3 解BD1 b c a AC a b BD1 2 AC 3 BD1 AC b c a a b b2 a2 a c b c 1
10、cos BD1 AC BD1 AC BD1 AC 6 6 AC 与 BD1夹角的余弦值为 6 6 考点二共线 共面向量定理的应用 典例 2 河北正定中学2019 届高三调研 已知A B C 三点不共线 对平面ABC 外的任一点O 若点 M 满足 OM 1 3 OA OB OC 1 判断 MA MB MC 三个向量是否共面 2 判断点 M 是否在平面ABC 内 解析 1 由已知 OA OB OC 3 OM 所以 OA OM OM OB OM OC 即 MA BM CM MB MC 所以 MA MB MC 共面 2 由 1 知 MA MB MC 共面且过同一点M 所以 M A B C 四点共面 从
11、而点M 在平面 ABC 内 方法技巧 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题 如要证明P A B C 四点共面 只要能 证明 PA x PB y PC 即可 对空间任意一点O 若 OP x OA y OB z OC x y z 1 则 P A B C 四点共面 变式 2 山西忻州一中2019 届高三模拟 如图所示 已知斜三棱柱ABC A1B1C1 点 M N 分别在 AC1和 BC 上 且满足AM kAC1 BN k BC 0 k 1 判断向量MN 是否与向量AB AA1 共面 解析 AM k AC1 BN k BC MN MA AB BN kC1A AB k BC k C1A BC AB k
12、 C1A B1C1 AB kB1A AB AB k AB1 AB k AA1 AB 1 k AB k AA1 由共面向量定理知向量MN 与向量 AB AA1 共面 考点三利用向量证明平行与垂直问题 典例 3 2018 年天津卷 如图 且AD 2BC 且 EG AD 且 CD 2FG DA DC DG 2 I 若 M 为 CF 的中点 N 为 EG 的中点 求证 II 求二面角的正弦值 III 若点 P 在线段 DG 上 且直线BP 与平面 ADGE 所成的角为60 求线段DP 的长 答案 证明见解析 解析 依题意 可以建立以D 为原点 分别以 的方向为x 轴 y 轴 z 轴的正方向的空间直角坐
13、标系 如图 可得 D 0 0 0 A 2 0 0 B 1 2 0 C 0 2 0 E 2 0 2 F 0 1 2 G 0 0 2 M 0 1 N 1 0 2 依题意 0 2 0 2 0 2 设 n0 x y z 为平面 CDE 的法向量 则即 不妨令 z 1 可得 n0 1 0 1 又 1 1 可得 又因为直线MN 平面 CDE 所以 MN 平面 CDE 依题意 可得 1 0 0 0 1 2 设 n x y z 为平面BCE 的法向量 则即 不妨令 z 1 可得 n 0 1 1 设 m x y z 为平面 BCF 的法向量 则即 不妨令 z 1 可得 m 0 2 1 因此有 cos 于是 si
14、n 所以 二面角 E BC F的正弦值为 设线段DP 的长为 h h 0 2 则点 P 的坐标为 0 0 h 可得 易知 0 2 0 为平面ADGE 的一个法向量 故 由题意 可得 sin60 解得 h 0 2 所以线段的长为 举一反三 吉林长春市实验中学2019 届高三模拟 如图所示 在四棱锥P ABCD 中 底面ABCD 是正方形 侧棱PD 底面 ABCD PD DC E 是 PC 的中点 过点E 作 EF PB 于点 F 求证 1 PA 平面 EDB 2 PB 平面 EFD 证明 以D 为坐标原点 射线DA DC DP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立如图所示的空间 直角坐标系
15、D xyz 设 DC a 1 连接 AC 交 BD 于点 G 连接 EG 依题意得A a 0 0 P 0 0 a C 0 a 0 E 0 a 2 a 2 因为底面ABCD 是正方形 所以 G 为 AC 的中点 故点 G 的坐标为 a 2 a 2 0 所以 PA a 0 a EG a 2 0 a 2 则 PA 2 EG 故 PA EG 而 EG 平面 EDB PA 平面 EDB 所以 PA 平面 EDB 2 依题意得B a a 0 所以 PB a a a 又 DE 0 a 2 a 2 故 PB DE 0 a2 2 a2 2 0 所以 PB DE 所以 PB DE 由题可知EF PB 且 EF D
16、E E 所以 PB 平面 EFD 方法技巧 利用空间向量证明空间垂直 平行的一般步骤 1 建立空间直角坐标系 建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系 2 建立空间图形与空间向量之间的关系 用空间向量表示出问题中所涉及的点 直线 平面的要 素 3 通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量 再研究平行 垂直关系 4 根据运算结果解释相关问题 变式 3 浙江学军中学2019 届高三质检 如图 在三棱锥P ABC 中 AB AC D 为 BC 的中 点 PO 平面 ABC 垂足 O 落在线段AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 1 证明 AP BC 2 若点 M 是线段 AP 上一点 且AM 3 试证明平面AMC 平面 BMC 证明 1 以 O 为坐标原点 以射线OD 为 y 轴正半轴 射线OP 为 z 轴正半轴建立如图所示的空 间直角坐标系O xyz 则 O 0 0 0 A 0 3 0 B 4 2 0 C 4 2 0 P 0 0 4 于是 AP 0 3 4 BC 8 0 0 所以 AP BC 0 3 4 8 0 0 0 所以 AP BC 即 AP BC 2 由 1
