《专题15任意角和弧度制及任意角的三角函数(教学案)(解析版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题15任意角和弧度制及任意角的三角函数(教学案)(解析版) .pdf（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 3 理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 1 角的概念的推广 1 定义 角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2 分类 按旋转方向不同分为正角 负角 零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 3 终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合S k 360 k Z 2 弧度制的定义和公式 1 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 弧度记作rad 2 公式 角 的弧度数公式 l r 弧长用 l 表示 角度与弧度的换算 1 180
2、rad 1 rad 180 弧长公式弧长 l r 扇形面积公式S 1 2lr 1 2 r 2 3 任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切 定义 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 那么 y 叫做 的正 弦 记作sin x 叫做 的余 弦 记作cos y x叫做 的正 切 记作tan 各 象 限 符 号 名师整理 助你成功 三角函 数线 有向线段MP 为正弦线 有向线段OM 为余弦线 有向线段 AT为 正切线 高频考点一角的概念及其集合表示 例 1 1 若角 是第二象限角 则 2是 A 第一象限角B 第二象限角 C 第一或第三象限角D 第二或第四象限角 2 终边在直线y 3x 上
3、 且在 2 2 内的角 的集合为 解析 1 是第二象限角 2 2k 2k k Z 4 k 2 2 k k Z 当 k 为偶数时 2是第一象限角 当 k 为奇数时 2是第三象限角 2 如图 在坐标系中画出直线y 3x 可以发现它与x 轴的夹角是 3 在 0 2 内 终边在直线 y 3 x 上的角有两个 3 4 3 在 2 0 内满足条件的角有两个 2 3 5 3 故满足条件的角 构成的集合 为 5 3 2 3 3 4 3 答案 1 C 2 5 3 2 3 3 4 3 名师整理 助你成功 方法规律 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终 边相同的所有角的集合 然
4、后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角 2 确定 k k k N 的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角 的范围 再写出 k 或 k 的范围 然后根据k 的可能取值讨论确定 k 或 k 的终边所在位置 变式探究 1 设集合 M x x k 2 180 45 k Z N x x k 4 180 45 k Z 那么 A M NB M N C N MD M N 2 集合 k 4 k 2 k Z 中的角所表示的范围 阴影部分 是 解析 1 法一由于 M x x k 2 180 45 k Z 45 45 135 225 N x x k 4 180 45 k Z 45 0 45 90 135
5、180 225 显然有 M N 故选 B 法二由于 M 中 x k 2 180 45 k 90 45 2k 1 45 2k 1 是奇数 而 N 中 x k 4 180 45 k 45 45 k 1 45 k 1 是整数 因此必有M N 故选 B 2 当 k 2n n Z 时 2n 4 2 n 2 此时 表示的范围与 4 2表示的范围一样 名师整理 助你成功 当 k 2n 1 n Z 时 2n 5 4 2 n 3 2 此时 表示的范围与 5 4 3 2 表示的范围一样 故选C 答案 1 B 2 C 高频考点二弧度制的应用 例 2 已知一扇形的圆心角为 半径为R 弧长为l 1 若 60 R 10
6、cm 求扇形的弧长l 2 已知扇形的周长为10 cm 面积是4 cm2 求扇形的圆心角 3 若扇形周长为20 cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 解 1 60 3 rad l R 3 10 10 3 cm 2 由题意得 2R R 10 1 2 R 2 4 解得 R 1 8 舍去 R 4 1 2 故扇形圆心角为 1 2 3 由已知得 l 2R 20 所以 S 1 2lR 1 2 20 2R R 10R R 2 R 5 2 25 所以当 R 5 时 S取得最大值 25 此时 l 10 2 方法规律 应用弧度制解决问题的方法 1 利用扇形的弧长和面积公式解题时 要注意角的单位必须
7、是弧度 2 求扇形面积最大值的问题时 常转化为二次函数的最值问题 利用配方法使问题得到解决 3 在解决弧长问题和扇形面积问题时 要合理地利用圆心角所在的三角形 变式探究 已知一扇形的圆心角为 0 所在圆的半径为R 1 若 90 R 10 cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 2 若扇形的周长是一定值C C 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 解 1 设弧长为l 弓形面积为S弓 则 90 2 R 10 l 2 10 5 cm S弓 S 扇 S 1 2 5 10 1 2 10 2 25 50 cm2 2 扇形周长C 2R l 2R R R C 2 名师整理 助你成功 S扇 1 2 R 2
8、1 2 C 2 2 C2 2 1 4 4 2 C2 2 1 4 4 C2 16 当且仅当 2 4 即 2 时 扇形面积有最大值 C2 16 高频考点三三角函数的概念 例 3 1 已知角 的终边与单位圆x2 y2 1 交于点 P 1 2 y 0 则 cos 2 等于 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 已知角 的终边过点P 8m 6sin 30 且 cos 4 5 则 m 的值为 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 解析 1 根据题意可知 cos 1 2 cos 2 2cos2 1 2 1 4 1 1 2 2 r 64m 2 9 cos 8m 64m2 9 4 5 m 0
9、 4m2 64m2 9 1 25 因此 m 1 2 答案 1 A 2 B 方法规律 1 利用三角函数的定义 求一个角的三角函数值 需确定三个量 角的终边上任意 一个异于原点的点的横坐标x 纵坐标y 该点到原点的距离r 2 利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍 结合三角函数的周期性正确写出角的范 围 变式探究 1 设 是第三象限角 且cos 2 cos 2 则 2是 A 第一象限角B 第二象限角 C 第三象限角D 第四象限角 2 满足 cos 1 2的角 的集合为 解析 1 由 是第三象限角 知 2为第二或第四象限角 cos 2 cos 2 cos 2 0 名师整理 助你成功 综上知
10、2为第二象限角 2 作直线 x 1 2交单位圆于 C D 两点 连接 OC OD 则 OC 与 OD 围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集 合为 2k 2 3 2 k 4 3 k Z 答案 1 B 2 2k 2 3 2 k 4 3 k Z 高频考点四三角函数线 例 4 满足 cos 1 2的角 的集合为 答案 2k 2 3 2 k 4 3 k Z 解析 作直线x 1 2交单位圆于 C D 两点 连接OC OD 则 OC 与 OD 围成的区域 图中阴影部 分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 2 3 2 k 4 3 k Z 感悟提升 1 利用三角函
11、数的定义 求一个角的三角函数值 需确定三个量 角的终边上任意一个 异于原点的点的横坐标x 纵坐标y 该点到原点的距离r 2 根据三角函数定义中x y 的符号来确定各象限内三角函数的符号 理解并记忆 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍 结合三角函数的周期性正确写出角的范围 变式探究 1 已知角 的余弦线是单位长度的有向线段 那么角 的终边在 A x 轴上B y 轴上 C 直线 y x 上D 直线 y x 上 名师整理 助你成功 2 已知角 的终边经过点 3a 9 a 2 且 cos 0 sin 0 则实数a 的取值范围是 A 2 3 B 2 3 C
12、 2 3 D 2 3 答案 1 A 2 A 解析 1 cos 1 角 的终边在x 轴上 2 cos 0 sin 0 角 的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上 3a 9 0 a 2 0 2 a 3 故选 A 高频考点五 数形结合思想在三角函数中的应用 例 5 1 如图 在平面直角坐标系xOy 中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点P 的 位置在 0 0 圆在 x 轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于C 2 1 时 OP 的坐标为 2 函数 y lg 3 4sin2x 的定义域为 解析 1 如图所示 名师整理 助你成功 过圆心 C 作 x 轴的垂线 垂足为A 过 P 作 x 轴的垂线与
13、过C 作 y 轴的垂线交于点B 因为圆心移动的 距离为 2 所以劣弧PA 2 即圆心角 PCA 2 则 PCB 2 2 所以 PB sin 2 2 cos 2 CB cos 2 2 sin 2 所以 xP 2 CB 2 sin 2 yP 1 PB 1 cos 2 所以 OP 2 sin 2 1 cos 2 2 3 4sin 2x 0 sin2x 3 4 3 2 sin x 3 2 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 x k 3 k 3 k Z 答案 1 2 sin 2 1 cos 2 2 k 3 k 3 k Z 特别提醒 1 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化
14、 结合弧长公式 三角函数定义寻 名师整理 助你成功 找关系 2 利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况 然后观察适合条件的角的位置 方法技巧 1 在利用三角函数定义时 点P 可取终边上任一点 如有可能则取终边与单位圆的交点 OP r 一定是正值 2 三角函数符号是重点 也是难点 在理解的基础上可借助口诀 一全正 二正弦 三正切 四 余弦 3 在解简单的三角不等式时 利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 易错点睛 1 注意易混概念的区别 象限角 锐角 小于90 的角是概念不同的三类角 第一类是象限角 第二 第三类是区间角 2 角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化 在同一个式子
15、中 采用的度量制度必须一致 不 可混用 3 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 1 2018 浙江卷 已知角 的顶点与原点O 重合 始边与x 轴的非负半轴重合 它的终边过点 P 3 5 4 5 1 求 sin 的值 2 若角 满足 sin 5 13 求 cos 的值 解析 1 由角 的终边过点P 3 5 4 5 得 sin 4 5 所以 sin sin 4 5 2 由角 的终边过点P 3 5 4 5 得 cos 3 5 由 sin 5 13 得 cos 12 13 名师整理 助你成功 由 得 cos cos cos sin sin 所以 cos 56 65或 co
16、s 16 65 2 2018 北京卷 在平面坐标系中 AB CD EF GH 是圆 x2 y2 1 上的四段弧 如图 点 P 在其中 一段上 角 以 Ox 为始边 OP 为终边 若tan cos sin 则 P 所在的圆弧是 A AB B CD C EF D GH 答案 C 解析 当点 P 在AB 或CD 上时 由三角函数线易知 sin tan 不符合题意 当点 P 在 GH 上时 tan 0 sin 0 不符合题意 进一步可验证 只有点P 在EF 上时才满足条件 3 2017 北京卷 在平面直角坐标系xOy 中 角 与角 均以 Ox 为始边 它们的终边关于y 轴对称 若 sin 1 3 则 sin 解析 1 方法一当角 的终边在第一象限时 取角 终边上一点P1 2 2 1 其关于 y 轴的对称 点 2 2 1 在角 的终边上 此时sin 1 3 当角 的终边在第二象限时 取角 终边上一点P2 2 2 1 其关于y 轴的对称点 22 1 在角 的终边上 此时sin 1 3 综合可得 sin 1 3 方法二令角 与角 均在区间 0 内 故角 与角 互补 得sin sin 1 3 名师整理
