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1、专题 6 3 等比数列及其前n 项和 1 四川省绵阳市2019 届高三期中 已知 an 是正项等比数列 且a1a8 4a5 a4与 2a6的等差中项为 18 则 a5 A 2 B 4 C 8 D 16 答案 C 解析 设正项等比数列 an 的公比为q 0 a1a8 4a5 a 4与 2a6的等差中项为18 a12q7 4a1q4 a4 2a6 36 即 a1 q3 2q5 36 解得 a1 q 2 则 a5 a1q4 8 故选 C 2 山东省实验中学等四校2019 届高三联考 已知等差数列的公差不为零 为其前项和 且 构 成等比数列 则 A 15 B 15 C 30 D 25 答案 D 解析
2、设等差数列的公差为 由题意 解得 故选 D 3 江西省临川一中2019 届高三模拟 已知正项等比数列的前项和为 且 则公比的值为 A 1 B 1或 C D 答案 C 解析 因为 所以 故 因为正项等比数列 故 所以 故选C 4 辽宁省朝阳市重点高中2019 届高三模拟 在等比数列中 则 A 3 B C D 答案 A 解析 设等比数列的公比为 因为 所以 又 所以 故选 A 5 辽宁省实验中学 东北师大附中 哈师大附中 2019 届高三联考 等比数列的各项和均为正数 则 A 14 B 21 C 28 D 63 答案 C 解析 设等比数列的公比为q 即 解得或 又 故选 C 6 河北省保定市201
3、9 年高三第二次模拟 等比数列中 若 则公比 A B C 2 D 4 答案 B 解析 设等比数列的首项为 公比为 由题可得 解得 故选 B 7 内蒙古2019 届高三模拟 九章算术 第三章 衰分 介绍比例分配问题 衰分 是按比例递减分配 的意思 通常称递减的比例 百分比 为 衰分比 如 甲 乙 丙 丁 哀 得 个单位 递减的比例为 今共有 粮石 按甲 乙 丙 丁的顺序进行 衰分 已知丙衰分得石 乙 丁衰分所得的和为石 则 衰分比 与的值分别 为 A B C D 答案 A 解析 设 衰分比 为 甲衰分得石 由题意得 解得 故选 A 8 甘肃省 青海省 宁夏2019 届高三联考 已知等比数列的前项
4、和为 若 则 A 8 B 7 C 6 D 4 答案 A 解析 因为等比数列的前项和为 且 则 则 故选 A 9 河南省八市重点高中联盟2019 届高三测评 在等比数列中 则 A B C 2 D 4 答案 B 解析 因为 q4 所以 q8 q4 20 所以 q4 4 或 q4 5 舍 所以 q2 2 1 所以 故选 B 10 重庆南开中学2019 届高三检测 在等比数列中 若 则 A B C D 答案 D 解析 则 故选 D 11 山西省晋城市2019 届高三第二次模拟 设等比数列的前项和为 若 则 A 63 B 62 C 61 D 60 答案 A 解析 因为 成等比数列 即3 12 成等比数列
5、 所以 解得 12 江西省临川一中 南昌二中2019 届高三联考 已知数列为各项均为正数的等比数列 是它的前 项和 若 且 则 A 32 B 31 C 30 D 29 答案 B 解析 因为 所以 因为 所以 所以 所以 故选 B 13 湖南省益阳第一中学2019 届高三模拟 已知等比数列的前项和为 若 则 A 10 B 7 C 8 D 4 答案 C 解析 由题意得 故选 C 14 北京市房山区2019 年高三第一次模拟 九章算术 中有如下问题 今有浦生一日 长三尺 莞 生一日 长一尺 蒲生日自半 莞生日自倍 问几何日而长等 意思是今有蒲第一天长高3 尺 莞第一天长高 1 尺 以后蒲每天长高前一
6、天的一半 莞每天长高前一天的2 倍 若蒲 莞长度相等 则所需时间为 结 果精确到0 1 参考数据 A 2 2 天 B 2 4 天 C 2 6 天 D 2 8 天 答案 C 解析 设蒲的长度组成等比数列 an 其 a1 3 公比为 其前 n 项和为 An 则 An 莞的长度组成等比数列 bn 其 b1 1 公比为2 其前 n 项和为 Bn 则 Bn 由题意可得 整理得 2n 7 解得 2n 6 或 2n 1 舍去 n 2 6 估计2 6 日蒲 莞长度相等 故选 C 15 河南省郑州市2019 届高三第三次质量检测 等比数列的前项和为 若 则 A 81 B 24 C 81 D 24 答案 C 解析
7、 因为等比数列 由性质可得 又因为 所以当时 有 即公比 所以 故选 C 16 辽宁省本溪一中2019届高三模拟 在等比数列中 若 且前n项和 则数列的项数n等于 A 4 B 5 C 6 D 7 答案 B 解析 在等比数列中 易得 又 两式联立解得或 当时 解得 又 所以 解得 同理当时 由 解得 由 解得 综上 正整数 故选 B 17 浙江省诸暨市第一中学2019 届高三模拟 已知等差数列的前项和是 公差不等于零 若成等比 数列 则 A B C D 答案 C 解析 由成等比数列 可得 可得 即 公差不等于零 故选 C 18 广东省潮州市2019 届高三第二次模拟 双曲线的一个焦点为 若 成等
8、比数列 则该双曲线的 离率 A B C D 答案 B 解析 因为成等比数列 所以 所以 因为 所以 故选 B 19 天津市和平区2019届高三二模 已知单调等比数列 首项为 其前项和是 且 成等差数列 数列满足条件 1 求数列 的通项公式 2 设 记数列的前项和是 求 求正整数 使得对任意 均有 答案 1 2 解析 1 设 由已知得 即 进而有 所以 即 则 由已知数列是单调等比数列 且 所以取 数列的通项公式为 则 即数列的通项公式为 2 由 1 可得 分组求和可得 由于 由于比变化快 所以令得 即递增 而递减 所以 最大 即当时 20 江苏省南京金陵中学2019 届高三第四次模拟 已知各项
9、均为正整数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 Sn 1 kan tan2 1 n 2 n N 其中 k t 为常数 1 若 k t 数列 an 是等差数列 求 a1的值 2 若数列 an 是等比数列 求证 k t 答案 1 a1 1 2 见解析 解析 1 k t n 2 设等差数列 an 的公差为 d 令 n 2 则 令n 3 则 两式相减可得 an 0 a3 a2 2 d 由 且 d 2 化为 4 0 a1 0 解得 a1 1 2 Sn 1 kan tan2 1 n 2 n N 所以 Sn ka n 1 1 得 an kan 1 kan an an 1 an t an 1 an k
10、令公比为q 0 则 an 1 a nq q 1 k 1 tan q 2 1 1 q 1 tan q 1 k 对任意 n 2 n N 1 q 1 tan q 1 k 成立 q 1 an不是一个常数 t 0 Sn 1 kan 1 且 an 是各项均为正整数的数列 k 0 故 k t 1 2019 江苏高考 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为 M 数列 1 已知等比数列 an 满足 求证 数列 an 为 M 数列 2 已知数列 bn 满足 其中 Sn为数列 bn 的前 n 项和 求数列 bn 的通项公式 设 m 为正整数 若存在 M 数列 cn 对任意正整数 k 当 k m 时 都有成立 求 m
11、 的最大值 答案 1 见解析 2 bn n 5 解析 1 设等比数列 an 的公比为 q 所以 a1 0 q 0 由 得 解得 因此数列为 M 数列 2 因为 所以 由得 则 由 得 当时 由 得 整理得 所以数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列 因此 数列 bn 的通项公式为 bn n 由 知 bk k 因为数列 cn 为 M 数列 设公比为 q 所以 c1 1 q 0 因为 ck bk ck 1 所以 其中 k 1 2 3 m 当 k 1 时 有 q 1 当 k 2 3 m 时 有 设 f x 则 令 得 x e 列表如下 x e e 0 f x 极大值 因为 所以 取 当 k 1
12、 2 3 4 5 时 即 经检验知也成立 因此所求m 的最大值不小于5 若 m 6 分别取k 3 6 得 3 q3 且 q5 6 从而 q15 243 且 q15 216 所以 q 不存在 因此所求m 的最大值小于6 综上 所求m 的最大值为5 2 2019 全国高考 记Sn为等比数列 an 的前 n 项和 若 则 S4 答案 解析 设等比数列的公比为 由已知 即 解得 所以 3 2018 全国卷 等比数列中 1 求的通项公式 2 记为的前项和 若 求 答案 1 或 2 解析 1 设的公比为 由题设得 由已知得 解得 舍去 或 故或 2 若 则 由得 此方程没有正整数解 若 则 由得 解得 综
13、上 4 2017 全国高考真题 文 已知等差数列的前项和为 等比数列的前项和为 且 1 若 求的通项公式 2 若 求 答案 1 2 5 或 解析 设等差数列公差为 等比数列公比为有 即 1 结合得 2 解得或3 当时 此时 当时 此时 5 2017 全国卷 3 设等比数列满足 则 答案 8 解析 因为为等比数列 设公比为 即 显然 得 即 代入式可得 所以 6 2017 江苏高考 等比数列 an 的各项均为实数 其前n 项和为 Sn 已知 S3 7 4 S 6 63 4 则 a8 答案 32 解析 设 an 的首项为 a1 公比为q 则 a11 q3 1 q 7 4 a11 q6 1 q 63
14、 4 两式相除得 1 q3 1 q6 1 q3 1 q31 q3 1 9 解得 a1 1 4 q 2 所以 a8 1 4 2 7 25 32 7 2017 全国卷 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7 层塔共挂了381 盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的2 倍 则塔的顶层共有灯 A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏D 9 盏 答案 B 解析 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列 记为 an 则前 7 项的和 S 7 381 公比 q 2 依 题意 得S7 a1 1 27 1 2 381 解得 a1 3
