《专题05函数的单调性与最值(教学案)(解析版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05函数的单调性与最值(教学案)(解析版) .pdf（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 1 利用函数的单调性求单调区间 比较大小 解不等式 2 利用函数单调性求最值和参数的取值范围 3 与导数交汇命题 以解答题形式考查 1 函数单调性的定义 增函数减函数 定义 设函数 y f x 的定义域为A 区间 M A 如果取区间 M 中任意两个值x1 x2 改变量 x x2 x1 0 则当 y f x2 f x1 0 时 就 称函数 y f x 在区间 M 上 是增函数 y f x2 f x1 0 时 就 称函数 y f x 在区间 M 上 是减函数 图象 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 2 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数
2、就说这个函数在这个区间M 上具有单调性 区间 M 称为单调区间 特别提醒 1 函数的单调性是局部性质 函数的单调性 从定义上看 是指函数在定义域的某个子区间上的单调性 是局部的特征 在某个区 间上单调 在整个定义域上不一定单调 2 函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间 所以求解函数的单调区间 必须先求出函数的定义域 对于 名师整理 助你成功 基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解 如二次函数 对数函数 指数函数等 如果是复合函数 应根据复合函数的单调性的判断方法 首先判断两个简单函数的单调性 再根据 同 则增 异则减 的法则求解函数的单调区间 3 单调区间的表示 单
3、调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个单调区间应分别写 不能用并集符号 联结 也不能用 或 联结 高频考点一确定函数的单调性 区间 例 1 求下列函数的单调区间 1 y x 2 2 x 1 2 y log 1 2 x 2 3x 2 解析 1 由于y x 2 2x 1 x 0 x 2 2x 1 x 0 即y x 1 2 2 x 0 x 1 2 2 x0 则 x2 名师整理 助你成功 函数y log 1 2 x 2 3x 2 的定义域为 1 2 又 u x 2 3x 2 的对称轴 x 3 2 且开口向上 u x 2 3x 2 在 1 上是单调减函数 在 2 上是单调增函数 而y l
4、og 1 2 u在 0 上是单调减函数 y log 1 2 x 2 3x 2 的单调递减区间为 2 单调递增区间为 1 变式探究 1 函数f x log 1 2 x 2 4 的单调递增区间为 A 0 B 0 C 2 D 2 2 试讨论函数f x ax x 1 a 0 在 1 1 上的单调性 1 解析 由x 2 4 0 得 x 2 或x0 t x 2 4 在 2 上是减函数 且 y log 1 2t 在 0 上是减函数 函数f x 在 2 上是增函数 即f x 单调递增区间为 2 答案 D 2 解析 法一设 1 x1 x2 1 f x a x 1 1 x 1 a1 1 x 1 f x1 f x2
5、 a1 1 x1 1 a1 1 x2 1 a x2 x1 x1 1 x2 1 由于 1 x1 x20 x1 1 0 x2 10 时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 0时 f x 0 函数f x 在 1 1 上递减 当a0 函数f x 在 1 1 上递增 方法规律 1 求函数的单调区间 应先求定义域 在定义域内求单调区间 2 函数单调性的判断方法有 定义法 图象法 利用已知函数的单调性 导数法 3 函数y f g x 的单调性应根据外层函数y f t 和内层函数t g x 的单调性判断 遵循 同增异 减
6、 的原则 变式探究 判断函数f x x a x a 0 在 0 上的单调性 并给出证明 解析 f x 在 0 a 上是减函数 在 a 上是增函数 证明如下 法一设x1 x2是任意两个正数 且0 x1 x2 则f x1 f x2 x1 a x1 x2 a x2 x1 x2 x1x2 x1x2 a 当 0 x1 x2 a时 0 x1x2 a 又x1 x20 即f x1 f x2 所以函数f x 在 0 a 上是减函数 当a x1a 又x1 x2 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 0 在 0 a 上是减函数 在 a 上为增函数 法二f x 1 a x 2 令f x 0 则 1 a x 2
7、0 解得x a或x a 舍 令f x 0 则 1 a x 2 0 解得 a x0 0 x0 f x 在 1 2 上为增函数 又f 1 5 f 2 7 f x 3x 2 x x 1 2 的值域为 5 7 变式探究 1 已知函数f x log 1 3x x 1 x 2 2x x 1 则f f 3 函数f x 的最大值是 2 已知函数f x x 2 2x a x x 1 且a 1 当a 1 2时 求函数 f x 的最小值 若对任意x 1 f x 0 恒成立 试求实数a的取值范围 1 解析 由于f x log 1 3x x 1 x 2 2x x 1 所以f 3 log 1 33 1 则f f 3 f
8、1 3 当x 1 时 f x log 1 3x 是减函数 得f x 0 恒成立 则x 2 2x a 0对x 1 上恒成立 即a x 2 2x 在 x 1 上恒成立 令g x x 2 2x x 1 2 1 x 1 g x 在 1 上是减函数 g x max g 1 3 又a 1 当 30 在x 1 上恒成立 故实数a的取值范围是 3 1 方法规律 1 求函数最值的常用方法 单调性法 均值不等式法 配方法 图象法 导 数法 2 利用单调性求最值 应先确定函数的单调性 然后根据性质求解 若函数f x 在闭区间 a b 上是 增函数 则f x 在 a b 上的最大值为f b 最小值为f a 若函数f
9、x 在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 变式探究 如果函数f x 对任意的实数x 都有f 1 x f x 且当x 1 2时 f x log2 3x 1 那么函数f x 在 2 0 上的最大值与最小值之和为 A 2 B 3 C 4 D 1 解析 根据f 1 x f x 可知函数f x 的图象关于直线x 1 2对称 又函数f x 在 1 2 上单调递增 故 f x 在 1 2 上单调递减 名师整理 助你成功 则函数f x 在 2 0 上的最大值与最小值之和为 f 2 f 0 f 1 2 f 1 0 f 3 f 1 log28 log22 4 答案
10、 C 高频考点三函数单调性的应用 命题角度1 利用函数的单调性比较大小 例 1 已知函数f x 的图象关于直线x 1 对称 当x2 x1 1 时 f x2 f x1 x2 x1 a b B c b a C a c b D b a c 答案 D 解析 f x 的图象关于x 1 对称 f 1 2 f 5 2 又 由 已 知 可 得f x 在 1 上 单 调 递 减 f 2 f 5 2 f e 即 f 2 f 1 2 f e 选 D 命题角度2 利用函数的单调性解不等式 例 2 f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f xy f x f y f 3 1 当f x f x 8 2 时 x的取值范围
11、是 A 8 B 8 9 C 8 9 D 0 8 答案 B 解析 2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定 义在 0 上的增函数 所以有 x 0 x 8 0 x x 8 9 解得 80 00 cos x x 0 则下列结论正确的是 A f x 是偶函数 B f x 是增函数 C f x 是周期函数 D f x 的值域为 1 答案 D 解析 由函数 f x 的解析式知 f 1 2 f 1 cos 1 cos 1 f 1 f 1 则 f x 不是偶函数 当 x 0 时 令 f x x2 1 则 f x 在区间 0 上是增函数 且函数值
12、f x 1 当 x 0 时 f x cos x 则 f x 在区间 0 上不是单调函数 且函数值f x 1 1 函数 f x 不是单调函数 也不是周期函数 其值域为 1 2014 四川卷 设f x 是定义在R 上的周期为2 的函数 当x 1 1 时 f x 4x2 2 1 x 0 x 0 x 2 a R 有最大值 则f x B 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 答案 解析 若f x A 则 f x 的值域为R 于是 对任意的b R 一定存在a D 使 得 f a b 故 正确 取函数f x x 1 x 1 其值域为 1 1 于是 存在M 1 使得 f x 的值域 包含于 M M 1 1 但
13、此时f x 没有最大值和最小值 故 错误 当f x A 时 由 可知 对任 意的 b R 存在 a D 使得 f a b 所以 当g x B 时 对于函数f x g x 如果存在一个正数M 使得 f x g x 的值域包含于 M M 那么对于该区间外的某一个b0 R 一定存在一个 a0 D 使得 f a0 b g a0 即 f a0 g a0 b0 M M 故 正确 对于 f x aln x 2 x x2 1 x 2 当 a 0 或 a 0 时 函数f x 都没有最大值 要使得函数f x 有最大值 只有a 0 此时 f x x x2 1 x 2 易知 f x 1 2 1 2 所以存在正数M 1
14、 2 使得 f x M M 故 正确 2014 四川卷 已知函数f x e x ax2 bx 1 其中 a b R e 2 718 28 为自然对数的底数 1 设 g x 是函数 f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 2 若 f 1 0 函数 f x 在区间 0 1 内有零点 求a 的取值范围 解析 1 由 f x ex ax2 bx 1 得 g x f x ex 2ax b 所以 g x ex 2a 当 x 0 1 时 g x 1 2a e 2a 当 a 1 2时 g x 0 所以 g x 在 0 1 上单调递增 因此 g x 在 0 1 上的最小值是g 0 1 b 当
15、 a e 2时 g x 0 所以 g x 在 0 1 上单调递减 因此 g x 在 0 1 上的最小值是g 1 e 2a b 名师整理 助你成功 当 1 2 a e 2时 令 g x 0 得 x ln 2a 0 1 所以函数g x 在区间 0 ln 2a 上单调递减 在区 间 ln 2 a 1 上单调递增 于是 g x 在 0 1 上的最小值是g ln 2a 2a 2aln 2a b 综上所述 当a 1 2时 g x 在 0 1 上的最小值是 g 0 1 b 当 1 2 a e 2时 g x 在 0 1 上的最小值是 g ln 2 a 2a 2aln 2a b 当 a e 2时 g x 在 0
16、 1 上的最小值是 g 1 e 2a b 2 设 x0为 f x 在区间 0 1 内的一个零点 则由 f 0 f x0 0 可知 f x 在区间 0 x0 上不可能单调递增 也不可能单调递减 则 g x 不可能恒为正 也不可能恒为负 故 g x 在区间 0 x0 内存在零点 x1 同理 g x 在区间 x0 1 内存在零点 x2 故 g x 在区间 0 1 内至少有两个零点 由 1 知 当 a 1 2时 g x 在 0 1 上单调递增 故 g x 在 0 1 内至多有一个零点 当 a e 2时 g x 在 0 1 上单调递减 故 g x 在 0 1 内至多有一个零点 都不合题意 所以 1 2 a0 g 1 e 2a b 0 由 f 1 0 得 a b e 10 g 1 1 a 0 解得 e 2 a 1 当 e 2 a 1 时 g x 在区间 0 1 内有最小值g ln 2 a 若 g ln 2a 0 则 g x 0 x 0 1 从而 f x 在区间 0 1 内单调递增 这与f 0 f 1 0 矛盾 所以g ln 2a 0 g 1 1 a 0 故此时 g x 在 0 ln 2a 和 ln
