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1、函数性质的综合应用 一 概念与判断 奇偶性 二 具有奇偶性的函数的性质1 定义域关于原点对称2 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数相反 3 在公共定义域内 两个奇函数的和函数是奇函数 两个奇函数的积函数是偶函数 两个偶函数的和函数 积函数是偶函数 一个奇函数 一个偶函数和积函数是奇函数4 若奇函数f x 在x 0处有定义 则f 0 05 奇函数图象关于原点对称 偶函数图象关于y轴对称 周期性 单调性 三 常见函数的单调性 略 二 用定义证明函数的单调性的步骤1 取值 2 做差 3 整理 4 判断 四 复合函数的单调性 同增异减 对称性 轴对称定理1 若函数y f x 定义域为R 且
2、满足条件 f a x f b x 则函数y f x 的图象关于直线对称 推论1 若函数y f x 定义域为R 且满足条件 f a x f a x 或f 2a x f x 则函数y f x 的图像关于直线x a对称 推论2 若函数y f x 定义域为R 且满足条件 f a x f a x 又若方程f x 0有n个根 则此n个根的和为na 定理2 若函数y f x 定义域为R 且满足条件 f a x f b x c a b c为常数 则函数y f x 的图象关于点对称 推论1 若函数y f x 定义域为R 且满足条件 f a x f a x 0 a为常数 则函数y f x 的图象关于点 a 0 对
3、称 注 可从函数的奇偶性角度 或具体图像解析 各性质之间的关系 对称性与周期性1 定义在R上的函数 若有两个对称轴x a x b 则是其一个周期析 由已知可知 f 2a x f x 且 f 2b x f x 所以f 2a x f 2b x 即f x 2b 2a 2b f 2b x 即 f x 2a 2b f x 故是其一个周期 2 定义在R上的函数 若有两个对称中心 则是其一个周期 奇偶性与对称性 典型例题 类型1 函数性质基本应用 类型2 与零点有关的问题 类型3 性质综合应用 类型4 抽象函数 分析 已知条件中有所以可以类比联想到指数函数又因为条件中有是所以满足条件的函数的一个模型为 此不等式可变为即若此题为选择题或填空题便可得到结果 因为有此联想则题意十分简明 为解决题目作了一个模型和方法上的铺垫
