高中物理竞赛辅导__几何光学

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1、几 几 何 何 光 光 学 学 1 1 1 1 几何光学基础 几何光学基础 1 光的直线传播 1 光的直线传播 光在同一均匀介质中沿直线传播 2 光的独立传播 2 光的独立传播 几束光在交错时互不妨碍 仍按原来各自的方向传播 3 光的反射定律 3 光的反射定律 反射光线在入射光线和法线所决定平面内 反射光线和入射光线分居法线两侧 反射角等于入射角 4 光的折射定律 4 光的折射定律 折射光线在入射光线和法线所决定平面内 折射光线和入射光线分居法线两侧 入射角 1 i 与折射角 2 i 满足 2 2 1 1 sin sin i n i n 当光由光密介质向光疏介质中传播 且入射角大于临 界角 C

2、 时 将发生全面反射现象 折射率为 1 n 的光密介质 对折射率为 2 n 的光疏介质的临界角 1 2 sin n n C 1 2 光的反射 1 2 1 组合平面镜成像 1 2 1 组合平面镜成像 1 1 组合平面镜组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系 统叫做组合平面镜 射向组合平面镜的光线往往要在平面 镜之间发生多次反射 因而会出现生成复像的现象 先看 一种较简单的现象 两面互相垂直的平面镜 交于 O点 镜间放一点光源 S 图 1 2 1 S 发出的光线经过两个平 面镜反射后形成了 1 S 2 S 3 S 三个虚像 用几何的方法 不难证明 这三个虚像都位于以 O 为圆心 OS为半径的圆

3、 上 而且 S 和 1 S S 和 2 S 1 S 和 3 S 2 S 和 3 S 之间都以 平面镜 或它们的延长线 保持着 对称关系对称关系 用这个方法我们可以容易地确定较复杂的 情况中复像的个数和位置 两面平面镜 AO 和 BO成 60 角放置 图 1 2 2 用上述规律 很容易确定像的位置 以 O 为圆心 OS 为半径作圆 过S 做 AO和 BO 的垂线与圆交于 1 S 和 2 S 过 1 S 和 2 S 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 3 S 和 4 S 过 3 S 和 4 S 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 5 S 5 1 S S 便是 S A B S S1 S2 S3 O

4、图 1 2 1 S S1 S2 S3 S4 S5 O 图 1 2 2 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 在两平面镜中的 5 个像 双镜面反射双镜面反射 如图 1 2 3 两镜面间夹角 a 15 OA 10cm A 点发出的垂直于 2 L 的光线射 向 1 L 后在两镜间反复反射 直到光线平行于某一镜面射出 则从 A 点开始到最后一次反射点 光线所走的路程是多少 如图 1 2 4 所示 光线经 1 L 第一次反射的反射线为 BC 根据平面反射的对称性 BC C B 且 a C BO 上述 D C B A 均在同一直线上 因此光线在 1 L 2 L 之间的反 复反射就跟光线

5、沿 C AB 直线传播等效 设 N 是光线第 n 次反射的入射点 且该次反射线不 再射到另一个镜面上 则 n 值应满足的关系是 na 90 a n 1 6 90 0 a n 取 n 5 0 75 OA N 总路程 cm OAtg N A 3 37 5 2 全反射2 全反射 全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2 当入射角大于 临界角 21 1 sin n a 时 光线发生全反射 全反射现象有重要的实用意义 如现代通讯的重要组 成部分 光导纤维 就是利用光的全反射现象 图 1 2 5 是光导纤维的示意图 AB 为其端面 纤维内芯材料的折射 率 3 1 1 n 外层材料的折射率 2 1 2 n

6、试问入射角在 什么范围内才能确保光在光导纤维内传播 图 1 2 5 中的 r 表示光第一次折射的折射角 表示 光第二次的入射角 只要 大于临界角 光在内外两种材 料的界面上发生全反射 光即可一直保持在纤维内芯里传 播 21 1 sin n 0 1 1 2 1 4 67 3 1 2 1 sin sin n n o o o r 6 22 4 67 90 2 1 3 1 sin sin r i 只要 o i i 30 50 0 sin 即可 例 例 1 1 如图 1 2 6 所示 AB 表示一平直的平面镜 2 1 P P 是 水平放置的米尺 有刻度的一面朝着平面镜 MN 是屏 三 者相互平行 屏 M

7、N 上的 ab 表示一条竖直的缝 即 ab 之间是 L1 L2 A O C B C O D 图 1 2 4 i A B n1 n2 图 1 2 5 P1 P2 M N a b A B S 图 1 2 6 图 1 2 3 L1 L2 A O 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 透光的 某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S 其位置如图所示 可通过平面镜看到米尺的一部 分刻度 试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位 并在 2 1 P P 上把这部分涂以标志 分析分析 本题考查平面镜成像规律及成像作图 人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像 由反射定律可知 米尺刻度必须经过平面镜反射后 反射

8、光线进入人的眼睛 人才会看到米 尺刻度的像 可以通过两种方法来解这个问题 解法一 解法一 相对于平面镜 AB 作出人眼 S 的像 S 连接 Sa 并延长交平面镜于点 C 连接 S 与点 C 并延长交米尺 2 1 P P 于 点 E 点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最 左端 连接 b S 并延长交米尺 2 1 P P 于点 F 且 b S 与平面镜交于 D 连接 S 与 点 D 则点 F 就是人眼看到的米尺刻度的 最右端 E 与 F 之间的米尺刻度就是人眼 可看到部分 如图 1 2 7 所示 解法二 解法二 根据平面镜成像的对称性 作米尺 2 1 P P 及屏 MN 的像 分别是 2 1 P P

9、 及 N M a b 的像分别为 b a 如图 1 2 8 所示 连接 Sa交 AB 于点C 延长 并 交 2 1 P P 于 点 E 过 点 E 作 2 1 AB P P 的垂线 交于点 E 此点就是 人眼看到的米尺刻度的最左端 连接 b S 交 AB 于点 D 延长并交 2 1 P P 于点 F 过点 F 作 2 1 P P AB 的垂线 2 1 P P 交于点 F 点 F 就是人眼看到的米尺刻 度的最右端 EF 部分就是人眼通过平面 镜可看见的米尺部分 点评 点评 平面镜成像的特点是物与像 具有对称性 在涉及到平面镜的问题中 利用这一特点常能使问题得以简洁明晰 的解决 例 例 2 2 两

10、个平面镜之间的夹角为 45 60 120 而物体总是放在平面镜的角等分线上 试分别求出像的个数 分析 分析 由第一面镜生成的像 构成第二面镜的物 这个物由第二面镜所成的像 又成为 第一面镜的物 如此反复下去以至无穷 在特定条件下经过有限次循环 两镜所成像重合 像的数目不再增多 就有确定的像的个数 A B C D E F M N 2 P S S 1 P a b 图 1 2 7 A B C D E F M N 2 P S 1 P a b M N 2 P 1 P a b 图 1 2 8 A B O P P1 P2 120 d P5 A B O P1 P2 P3 P4 60 P b P4 A B O

11、45 P1 P2 P3 P5 P6 P7 P c 图 1 2 9 A B O P1 P2 P3 P4 a P 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 解 解 设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2 物 P 处在他们的角等分线上 如图 1 2 9 a 所 示 以两镜交线经过的 O 点为圆心 OP 为半径作一辅助圆 所有像点都在此圆周上 由平面 镜 A 成的像用 L 3 1 P P 表示 由平面镜B 成的像用 L 4 2 P P 表示 由图不难得出 L 3 1 P P 在圆弧上的角位置为 L 4 2 1 2 P P k 在圆弧上的角位置为 1 2 2 k 其中 k 的取值为 k 1

12、 2 若经过 k 次反射 A成的像与B 成的像重合 则 1 2 2 1 2 k k 即 2 k 当 4 45 2 o 时 k 4 有 7 个像 如图 1 2 9 a 所示 当 3 60 2 o 时 k 3 有 5 个像 如图 1 2 9 b 所示 当 3 2 120 2 o 时 k 1 5 不是整数 从图 1 2 10 d 可直接看出 物 P 经镜 A 成的像在镜 B面上 经镜 B 成的像则在镜A 面上 所以有两个像 例 例 3 3 要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不 同侧面的像 可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO 使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机 如图 1 2

13、 11 所示 图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部 其尺 寸远小于 OC的长度 白色半圆代表人的脸部 此人正面对 着照相机的镜头 有斜线的半圆代表脑后的头发 箭头表示 头顶上的帽子 图 1 2 11 为俯视图 若两平面镜的夹角 AOB 72 设人头的中心恰好位于角平分线 OC 上 且照相机 到人的距离远大于到平面镜的距离 1 1 试在图 1 2 11 中标出 P 的所有像的方 位示意图 2 在方框中画出照片上得到的所有的像 分别用 空白和斜线表示脸和头发 用箭头表示头顶上的帽 子 本题只要求画出示意图 但须力求准确 图 1 2 13 A B P O 图 1 2 12 A B C P O 图

14、1 2 10 A O C P 图 1 2 11 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 解 解 本题的答案如图 1 2 13 所示 例 例 4 4 五角楼是光学仪器中常用的一种元件 如图 1 2 14 所示 棱镜用玻璃制成 BC CD 两平面高度抛光 AB DE 两平面高度抛光后镀银 试证明 经 BC 面入射的光线 不管其 方向如何 只要它能经历两次反射 在AB 与 DE面上 与之相应的由 CD 面出射的光线 必与入射光线垂直 解 解 如图 1 2 15 所示 以 i 表示入射角 i 表示 反射角 r 表示折射角 次序则以下标注明 光线自透明 表面的 a 点入射 在棱镜内反射

15、两次 由 CD 面的 e 点出 射 可以看得出 在DE 面的 b点 入射角为 o r i 5 22 1 2 反射角为 o r i i 5 22 1 2 2 在四边形 bEAC 中 1 1 2 5 67 5 22 90 90 r r i a o o o o 而 5 67 135 5 112 2 360 1 0 r a o o o 1 5 67 r o 于是 1 3 3 5 22 90 r i i o o 在 cdb 中 cdb 180 3 3 2 2 i i i i 180 0 1 1 90 5 22 2 5 22 2 r r o o 这就证明了 进入棱镜内的第一条光线 ab 总是与第 三条光线

16、 ce互相垂直 由于棱镜的 C 角是直角 1 r 360 270 dec 90 dec 1 i 设棱镜的折射率为 n 根据折射定律有 1 1 sin sin r n i 4 4 sin sin i n r 1 4 4 1 i r i r Q 总是成立的 而与棱镜折射率的 大小及入射角 1 i 的大小无关 只要光路符合上面的要求 由 BC 面的法线与 CD 面的法线垂直 又有 4 1 r i 出射光线总是与入射光线垂直 或者说 光线经过这种棱镜 有恒点的偏转角 90 例 例 6 6 横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1 2 16 所示的形状 一束平行 光垂直地射入平表面A 上 试确定通过表面A 进入的光全部从表面 B 射出的 R d 的最小值 已知玻璃的折射为 1 5 分析 分析 如图 1 2 17 所示 从 A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射 C A E B D 112 5 112 5 112 5 90 图 1 2 14 i1 A B C D E 112 5 112 5 112 5 90 1 i2 i2 i3 i3 45 i4 4 F 图 1 2 15 A B R d 图 1 2 16