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1、1 福建省泉州市惠南中学2015 届高三上学期第二次月考数学 理 考试时间 120 分钟满分 150 分 第 卷 选择题 50 分 一 选择题 本大题共10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 命题 对任意的x R x 2 1 0 的否定是 A 不存在x R x 2 1 0 B 存在 x R x2 1 0 C 存在 x R x 2 1 0 D 对任意的x R x 2 1 0 2 已知集合 2 3 Aa 集合0 1Bba 且1AB 则AB A 0 1 3B 0 1 2 3 C 1 2 4D 0 1 2 3 4 3 sin sin 是 的
2、A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4 若 a b c 为实数 且a b 0 则下列命题正确的是 A ac 2 bc2 B 1 a a b D a 2 ab b2 5 已知函数f x x a x b 其中 a b 图像如图所示 则函数 g x a x b 的图象是 2 A 答案 A B 答案 B C 答案 C D 答案 D 6 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命题中正确的是 A mnmnB mnmn C mmnn D mn nm 7 下列函数存在极值的是 A 2cosyxxB ln x yex C 32 331yxxxD 1 ln
3、yx x 8 定义 sinabab 其中为向量a与b的夹角 若2 5 6aba b 则ab A 6 B 8 C 8 D 8 或 8 9 10 已知函数 f x是定义在R 上的偶函数 对于任意x R 都有 4 2 f xf xf成 立 当 12 0 2 x x且 12 xx时 都有 12 12 0 f xf x xx 给出下列命题 3 函数 f x一定是周期函数 函数 f x在区间 6 4 上为增函数 直线4x是函数 f x图像的一条对称轴 函数 f x在区间 6 6 上有且仅有4 个 零点 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷 非选择题共 100 分 二 填空题 本大题
4、共5 小题 每小题4 分 共 20 分 把答案填在答题卡相应位置 11 复数 2i 1i 等于 12 已知 ABC的角A B C所对的边分别为a b c 3 cos 5 A 5 3b 3 B 则a 13 当 x 1 时 不等式x 1 1 x a 恒成立 则实数a 的取值范围是 14 对于数列 n c 如果存在各项均为正整数的等差数列 n a和各项均为正整数的等比数 列 n b 使得 nnn cab 则称数列 n c为 DQ数列 已知数列 n e是 DQ数列 其前 5项分别是 3 6 11 20 37 则 n e 15 若集合 a b c d 1 2 3 4 且下列四个关系 a 1 b 1 c
5、2 d 4有且只有一个是正确的 则符合条件的有序数组 a b c d 的个数是 三 解答题 本大题共六个小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分13 分 如图 在四棱柱 PABCDABDC中 PD平面 ABCD 5 3 4 60 ABAD BCDCADPAD 4 I 当正视方向与向量AD的方向相同时 画出四棱锥PABCD 的正视图 要求标出尺寸 并写出演算过程 II 若 M 为 PA 的中点 求证 DMPBC平面 III 求三棱锥DPBC的体积 17 本小题满分13 分 数列 n a的前n项和为 1 22 n n S 数列 n b是首项为 1 a 公差为 0
6、 d d的等差 数列 且 1 b 3 b 9 b成等比数列 求数列 n a与 n b的通项公式 若 2 1 n n cnN nb 试求数列 n c的前n项和 n T 并证明不等式 成立 18 本题满分 分 19 本小题满分13 分 经过多年的运作 双十一 抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销 盛宴 为迎接2014 年 双十一 网购狂欢节 某厂家拟投入适当的广告费 对网上所售 1 1 2 n T 5 产品进行促销 经调查测算 该促销产品在 双十一 的销售量 p 万件与促销费用x 万元 满足 2 3 1 p x 其中ax0 a 为正常数 已知生产该产品还需投入成本 102p 万元 不含促
7、销费用 产品的销售价格定为 20 4 p 元 件 假定厂家的生产能力完全能满 足市场的销售需求 I 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数 II 促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 并求出最大利润的值 20 本小题满分14 分 已知函数 bx ax xf 2 2 的图象在点 2 f 2 处的切线方程为y 2 I 求 a b 的值及 f x 的单调区间 II 是否存在平行于直线y 2 1 x 且与曲线y f x 没有公共点的直线 证明你的结论 III 设数列 an 满足 a1 l an 1 f an 若 an 是单调数列 求实数 的取值范围 21 本小题满分14 分 I 本小题满
8、分7 分 选修4 2 矩阵与变换 曲线02 2 yxy在二阶矩阵 1 1 a M b 的作用下变换为曲线xy 2 i 求实数 a b的值 ii 求 M 的逆矩阵 1 M II 本小题满分7 分 选修4 4 坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xoy内 点 P x y在曲线 1cos sin x C y 为参数 上运 动 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 cos 0 4 i 写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程 ii 若直线l与曲线C相交于AB 两点 点M在曲线C上移动 求ABM面积的最大 值 6 数学 理 试卷 参考答案 1 C 2 B 3 A 4
9、 D 5 C 6 D 7 B 8 B 9 A 10 C 11 1 i 12 8 13 3 14 2 n n15 6 16 本小题满分13 分 答案 解法一 在梯形ABCD中 过点C作CEAB 垂足为E 由已知得 四边形ADCE为矩形 3AECD 在Rt BEC中 由5BC 4CE 依勾股定理得 3BE 从而6AB 又由PD平面ABCD得 PDAD 从而在Rt PDA中 由4AD 60PAD 得4 3PD 正视图如右图所示 5分 取PB中点N 连结MN CN 在PAB中 M是PA中点 MNAB 1 3 2 MNAB 又CDAB 3CD MNCD MNCD 四边形MNCD为平行四边形 DMCN又D
10、M平面PBC CN平面 PBC DM平面PBC 9分 1 3 DPBCPDBCDBC VVSPD又6 PBC s 4 3PD 所以 8 3 DPBC V 13 分 7 解法二 同解法一 取AB的中点E 连结ME DE在梯形ABCD中 BECD 且BECD 四边形BCDE为平行四边形 DEBC 又DE平面PBC BC平面PBC DE平面PBC 又在PAB中 MEPBME平面PBC PB平面PBC ME平面PBC 又DEMEE 平面DME平面PBC 又DM平面DME DM平面PBC 同解法一 17 本题满分 分 解 当2n 时 1 1 222 nnn nnn aSS 又 21 11 2222aS
11、也满足上式 所以数列 n a的通项公式为2 n n a 11 2ba 设公差为d 则由 1 b 2 b 9 b成等比数列 得 2 22 2 28 dd解得0d 舍去 或2d 所以数列 n b的通项公式为2 n bn 6 分 解 21 1 1 n n c nbn n 数列 n c的前n项和 1111 1 22 334 1 n T nn 111111 11 223111 n nnnn 1 11 分 又因为 1 1 0 12 nn TT nn 所以 11 1 2 nn TTT所以 1 1 2 n T 13 分 18 本题满分 分 8 19 本小题满分13 分 解析 1 由题意知 210 20 4 p
12、xp p y 3 分 将 2 3 1 p x 代入化简得 x x y 1 4 16 0 xa 6 分 13 分 解 sin 23 cos22sin 2 3 f xxxxm n 2 分 由222 232 kxk 得 5 1212 kxk kZ 3 分 所以函数 f x的单调递增区间为 5 1212 kk kZ 4 分 由 0 2 A f 得2sin 0 3 A 因为0A 所以 3 A 5 分 由正弦定理 知coscossinaBbAcC 可化为 2 sincossincossinABBAC 6 分 故 2 sin sinABC 7 分 又因为ABC 所以 2 sin sinCC即 2 sinsi
13、nCC 因为sin0C 所以sin1C 又由于0C 所以 2 C 8 分 所以 6 BAC 9 分 ABAC 222 2 2cosABACABABACAAC 10 分 又 3ABAC 3 A 所以 ABAC 2 2 22213 1 1 33 24 AB 12 分 故当 1 2 时 gABAC的值取得最小值 33 2 13 分 另 解 记ABACAP 则P是 过B且 与AC平 行 的 直 线l上 的 动 点 gAP 12 分 所以 g的最小值即点A到直线l的距离 33 2 13 分 4 0 AG G 22 2 1 16 xy b lx6BCG 2 3 2 49 1 16b 12b 22 1 16
14、12 xy l2xmy 2 3448 xmy xy x 34 12360mymy B xyC xy 12 m yy 9 2 13 1 1 4 217 1 1 4 17x x x x y 8 分 当且仅当1 1 1 4 xx x 即时 上式取等号 9 分 当1a时 促销费用投入1 万元时 厂家的利润最大 10 分 当1a时 1 1 4 17x x y在 0 a上单调递增 11 分 所以xa时 函数有最大值 即促销费用投入a万元时 厂家的利润最大 12 分 综上 当1a时 促销费用投入1 万元 厂家的利润最大 当1a时 促销费用投入a万元 厂家的利润最大 13 分 20 本小题满分14 分 10
