方差和标准差教学设计

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1、方差和标准差 教学设计（二）教学设计思想概念教学是数学新课教学中一个非常棘手的问题，重视学生概念的形成过程和知识的发生过程从而形成概念，是行之有效的教学手段。通过具体的情境和生活事例让学生明白概念的产生的原因，使他们从“背定义”提升到“理解定义”的层次是非常有必要的。方差和标准差是反应一组数据离散程度的统计量。课本从射击比赛的成绩（当然也可以从学生更熟悉的例子，如投篮）引入，提出问题，并让学生通过观察来判断两组数据的波动情况，形象直观，这样提出方差的概念就比较自然。课本通过例题和作业都安排了有关方差的计算，其目的在于让学生能掌握算理和算法。计算过程可鼓励学生使用计算器，养成使用计算器的习惯。本

2、节的“探究活动”隐含着一种规律，可以让学生通过探究去发现这种规律，体会发现的乐趣。 教学目标知识与技能说出刻画数据离散程度的三个量极差、方差、标准差的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。过程与方法经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。情感、态度、价值观体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。教学重难点重点：计算一组数据的方差概念的理解。难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。解

3、决办法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。教学方法合作探究教学用具多媒体课时安排2 课时教学过程设计第一课时（一）情景引入同学们，2004 雅典奥运会上的射击冠军你们知道是谁吗？如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手还是成绩最稳定的选手？学生活动：思考回答，自圆其说总结：具体派谁去还要看具体情况，具体问题具体分析注：从学生熟悉问题入手引出课题。既能合理利用教材资源，又能激发学生学习兴趣，符合学生

4、认知规律。（二）观察与思考甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射 10 发子弹，成绩如下表：射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲的成绩/环 4 8 6 10 5 7 7 6 10 7乙的成绩/环 5 7 6 8 7 8 6 7 9 7将数据用散点图表示，如图 263。1.观察图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?学生活动：合作交流，派代表发言注：观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的

5、平均数和中位数都是 7(环)。两人相比，乙的成绩大多集中在 7 环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。我们通常将各数据偏离平均数的程度作为指标，在数学上称为数学的离散程度。偏离程度大的程离散程度大，偏离程度大的程离散程度大，那么除了画图可以了解离散程度，还有其他方法么？3下面请同学们计算甲、乙两名运动员每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和。教师在学生计算完毕后再板演。提问：通过计算你们发现可以用什么来区分离散程度？如果直接计算甲、乙两名运动员每次射击成绩与平均成绩的偏差的和结果如何？如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。方差的定义：设 是 n 个数

6、据 x1，x n的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这 n 个数据的方差(variance)，用“s 2”表示。即22 21 ns()().(x)根据公式我们发现方差的大小跟数据的大小有关，还跟数据的个数有关，所以我们比较两组数据的稳定性时，应取相同的样本容量；方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。4让学生计算甲、乙射击成绩的方差，并判断射击成绩谁比较稳定。22222221s75673871073.40甲 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）22222249.乙 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）由于 ，说明乙的射击成绩比甲稳定。2s乙 甲计算完毕提问：方差的结果

7、有单位吗？它的单位与数据的原单位有何关系？为了使单位一致，可以用方差的算术平方根，并把它叫做标准差(standard deviation)。2221 ns(x)(x).(x)n你能计算出刚才例题中的标准差吗？总结：方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。如：甲射击成绩的极差为 1046(环)。乙射击成绩的极差为 954(环)。极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息。因此，在数学上常用方差刻画数据的离散程度。（

8、三）做一做例 在某场女排比赛的一个时段里，甲、乙两队场上各自 6 名球员的身高分别如下；(单位，cm)甲队：166 178 181 175 186 182乙队：175 176 172 183 185 177用计算器计算此时每队场上 6 名球员身高的平均数和方差，并说明这一时段里哪个队场上球员的身高更整齐些。解：(1)进入统计状态，选择一元统计。(2)输入球员的身高数据。注：输人数据的方式与计算平均数时输入数据的方式相同。(3)显示结果。按 键后屏幕显示 。n 表示数据的个数， 表STAVR xS x示平均数， 表示标准差，利用 或 选择 ，再按键 ，屏幕自动x2ENTR显示方差的值。计算结果见

9、下表：(方差精确到 0.01)球队 数据个数 n 平均数 x标准差 x方差 s2甲队 6 178 6.351 40.33乙队 6 178 4.546 20.67这一时段里，两队场上球员平均身高相同，但 ，所以乙队场上球员的身高比2s乙甲较整齐。（四）练 习两个小组各 5 名同学目测同一本画册的宽度，目测误差的数据如下：(单位：cm)第一组：2 1 0 1 2第二组：3 2 0 2 3(1)从直观上看，哪组同学目测得较准确?(2)分别计算两组数据的极差和方差，进行比较，验证第(1)题的结论。答案(1)第一组同学目测较准确。 (2)两组数据的极差分别是 4cm 和 6cm，方差分别为 21s,5.

10、第一组的极差和方差都较小。（五）小结通过本节课的学习你学到了哪些新知识？（五）板书设计方差和标准差（一）一、方差 二、标准差 三、极差第二课时张老师乘公交车上班，从家到学校有 A，B 两条路线可选择。他做了一番实验。第一周，星期一、星期三、星期五选 A 路线，星期二、星期四选 B 路线，每天两趟；第二周交换。记录所用时间如下表：实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A 路线所花时间/min 31 51 36 36 58 43 42 32 52 39B 路线所花时间/min 46 50 41 43 47 48 49 48 43 45（一）一起探究根据两条路线所花时间绘制的折线统计图如

11、图 264 所示。1.观察图 264，请说明选择哪条路线乘车平均用时较少，选择哪条路线乘车用时的波动较大。2.用计算器分别计算选择 A，B 两条路线乘车所用时间的平均数和方差。3.如果上班路上的可用时间只有 40min，乘车应选择哪条路线?4.如果路上可用时间为 50min，乘车应选择哪条路线?注：这是一个非常现实的问题，综合性较强。1.从图 264 看出，选择 A 路线平均用时较少，且所用时间的波动性也大。 2. 22ABBx(min),s7,x46(min),s7.83.应选择 A 路线。 4.应选择 B 路线。经计算和分析得到：选择路线 A 乘车平均用时较少，但数据的离散程度大，有三次用

12、时超过 50min，说明时常有堵车现象发生；选择路线 B 乘车平均用时较多，但用时比较稳定，可能路线 B 较长，但很少有堵车现象。（二）做一做画一个长和宽分别为 3cm 和 2cm 的长方形，用最小刻度为 1mm 的直尺测量长方形对角线的长度。6 名同学一组，将测得的数据填入下表。测量人编号A B C D E F测量结果/cm(1)计算 6 个数据的平均数和方差。(2)计算对角线的实际长度(精确到 0.1)。 (3)用测量数据的平均数作为实际长度的近似值，记录估计的误差。(4)和其他小组比较你们估计的误差及测量数据的一致性。注：设置该问题的目的，是让学生再次经历数据的收集和处理的过程，进一步体

13、会方差的大小在实际问题中的意义。(1)略。(2) 13.6(3)计算 的值。x(4)应交流讨论估计误差和测量结果，体会误差越小，测得数据越接近实际长度，且方差也应越小。（三）练习测试甲、乙两种品牌的手表各 100 只，表示日走时误差数据的统计图如图 265 所示。（1）甲、乙两种手表平均日走时误差分别是多少？（2）甲、乙两种手表日走时误差的极差、方差分别是多少？（3）如何评价这两种手表的质量？（4）在价格、性能相同的条件下，你愿意购买哪种手表？ 答案（1）两种手表的平均误差都是 0。（2）两种手表的日走时误差的极差分别是 4 和 6，方差分别是 1.04 和 1.62。（3）甲种手表质量好些（4）购买甲种手表。（四）小结引导学生总结本节的主要知识点。（五）板书设计方差和标准差（二）一起探究做一做练习