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1、内蒙古包头市2016 届高三 上 期末数学试卷含 答案解析 一 选择题 本大题共12 小题 每小题 5 分 共 60分 在每小题给 出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 M x 3 x 5 N x x 5 或 x 5 则 M N A x x 5 或 x 3 B x 5 x 5 C x 3 x 5 D x x 3 或 x 5 2 设 a b c R 则复数 a bi c di 为实数的充要条件是 A ad bc 0 B ac bd 0 C ac bd 0 D ad bc 0 3 已知随机变量 服从正态分布 N 2 2 且 P 4 0 8 则 P 0 2 A 0 6 B 0 4
2、C 0 3 D 0 2 4 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 A 3 B 4 C 5 D 8 5 若变量 x y 满足约束条件 则 z 2x y 的最大值为 A 1 B 0 C 3 D 4 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则双曲线的渐 近线方程为 A y 2x B y x C y x D y x 7 x 5 x R 展开式中 x3 的系数为 10 则实数 a等于 A 1 B C 1 D 2 8 已知函数 f x Asin x 的部分图象如图所示 点B C 是该图象与 x 轴的交点 过点 C 的直线与该图象交于D E 两点 则 的值为 A 1 B C D 2 9 设偶
3、函数 f x 满足 f x 2x 4 x 0 则 x f x 2 0 A x x 2 或 x 4 B x x 0 或 x 4 C x x 0 或 x 6 D x x 2 或 x 2 10 如图 一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2 锐角 60 的菱形 俯视图为正方形 则此几何体的内切球表面积为 A 8 B 4 C 3 D 2 11 设 F 为抛物线 C y2 3x 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 若抛物线的准线与x 轴的交点为 P 则 PAB 的面积为 A B C D 12 已知函数 f x 若对 x R 都有 f x ax 则实数 a 的取值范畴是 A
4、 0 B 2 0 C 2 1 D 1 二 填空题 本大题共4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题 中横线上 13 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 若 内的两条相交直线分不平行于 内的两条直线 则 若 外的一条直线 I 与 内的一条直线平行 则I 设 I 若 内有一条直线垂直于I 则 直线 I 的充要条件是 I 与 内的两条直线垂直 其中所有的真命题的序号是 14 正方形的四个顶点A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 分不在抛物线 y x2 和 y x2 上 如图所示 若将一个质点随机投 入正方形 ABCD 中 则质点落在图中阴影区域的概率是 15 已知二次函数
5、 y f x 的两个零点为 0 1 且其图象的顶点恰好 在函数 y log2x 的图象上 函数 f x 在 x 0 2 上的值域是 16 已知 a b c 分不为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 a 2且 2 b sinA sinB c b sinC 则 ABC 面积的最大值为 三 解答题 本大题共5 小题 共 70 分 解答时应写出文字讲明 证 明过程或演算步骤 17 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和 已知 a1 0 2an a1 S1 Sn n N 1 求 a1a2 并求数列 an 的通项公式 2 求数列 nan 的前 n 项和 Tn 18 空气质量指数 PM2 5 单位 g
6、 m3 表示每立方米空气中可入 肺颗粒物的含量 那个值越高 就代表空气污染越严峻 PM2 5 日均浓度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空气质量级不一级二级三级四级五级六级 空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严峻污染 甲 乙两都市 2013年 2 月份中的 15 天对空气质量指数PM2 5 进行监 测 获得 PM2 5 日均浓度指数数据如茎叶图所示 按照你所学的统计知识估量甲 乙两都市15天内哪个都市空气 质量总体较好 注 不需讲明理由 在 15 天内任取 1 天 估量甲 乙两都市空气质量类不均为优或 良的概率 在乙都市 15 个监测数据中任取
7、2 个 设 X 为空气质量类不为优 或良的天数 求 X 的分布列及数学期望 19 如图 在四棱锥P ABCD 中 PA 平面 ABCD AC AD AB BC BAC 45 PA AD 2 AC 1 1 证明 PC AD 2 求二面角 A PC D 的正弦值 20 已知动点 M x y 到直线 x 4 的距离是它到点N 1 0 的距离的 2 倍 1 求动点 M 的轨迹 C 的方程 2 过点 P 0 3 的直线 m 与轨迹 C 交于 A B 两点 若 A 是 PB 的中点 求点 A 的坐标 21 已知函数为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与
8、 x 轴平行 求 k 的值 求 f x 的单调区间 设 g x x2 x f x 其中 f x 为 f x 的导函数 证 明 对任意 x 0 g x 1 e 2 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第 一题计分 选修 4 1 几何证明选讲 22 如图 P是 O 外一点 PA是切线 A 为切点 割线 PBC 与 O 相交于点 B C PC 2PA D 为 PC的中点 AD 的延长线交 O 于点 E 证明 BE EC AD DE 2PB2 选修 4 4 极坐标系与参数方程 23 在平面直角坐标系xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 在以坐标原点 O 为极点
9、 x 轴的正非负半轴为极轴 取相同单位长度的极 坐标系中 圆的极坐标方程为 4sin 求直线 l 被圆截得的弦长 从极点作圆C 的弦 求各弦中点的极坐标方程 选修 4 5 不等式选讲 24 设函数 f x x x a a 0 证明 f x 2 若 f 3 5 求 a 的取值范畴 2015 2016学年内蒙古包头市高三 上 期末数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共12 小题 每小题 5 分 共 60分 在每小题给 出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 M x 3 x 5 N x x 5 或 x 5 则 M N A x x 5 或 x 3 B x 5 x 5
10、C x 3 x 5 D x x 3 或 x 5 考点 并集及其运算 分析 利用数轴 在数轴上画出集合 数形结合求得两集合的并集 解答 解 在数轴上画出集合M x 3 x 5 N x x 5 或 x 5 则 M N x x 5 或 x 3 故选 A 2 设 a b c R 则复数 a bi c di 为实数的充要条件是 A ad bc 0 B ac bd 0 C ac bd 0 D ad bc 0 考点 复数相等的充要条件 复数的代数表示法及其几何意义 分析 本题考查的是复数的充要条件 注意到复数a bi a R b R 为实数 b 0 解答 解 a b c R 复数 a bi c di ac
11、bd ad bc i 为实数 ad bc 0 故选 D 3 已知随机变量 服从正态分布 N 2 2 且 P 4 0 8 则 P 0 2 A 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 考点 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 分析 按照随机变量X 服从正态分布 N 2 2 看出这组数据对 应的正态曲线的对称轴x 2 按照正态曲线的特点 得到P 0 2 P 0 4 得到结果 解答 解 随机变量X 服从正态分布 N 2 2 2 得对称轴是 x 2 P 4 0 8 P 4 P 0 0 2 P 0 4 0 6 P 0 2 0 3 故选 C 4 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 A 3 B
12、 4 C 5 D 8 考点 循环结构 分析 列出循环中x y 的对应关系 不满足判定框终止循环 推出 结果 解答 解 由题意循环中x y 的对应关系如图 x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 当 x 8 时不满足循环条件 退出循环 输出y 4 故选 B 5 若变量 x y 满足约束条件 则 z 2x y 的最大值为 A 1 B 0 C 3 D 4 考点 简单线性规划 分析 作出不等式组表示的平面区域 作出目标函数对应的平行直 线 将直线平移 由图知过 2 1 时 截距最小 现在z 最大 从而求 出 z 2x y 的最大值 解答 解 画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y 3x z 作出目
13、标函数对应的平行直线 将直线平移 由图知过 2 1 时 直线的纵截距最小 现在z 最大 最大值为 4 1 3 故选 C 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则双曲线的渐 近线方程为 A y 2x B y x C y x D y x 考点 双曲线的简单性质 分析 运用离心率公式 再由双曲线的a b c 的关系 可得 a b 的关系 再由渐近线方程即可得到 解答 解 由双曲线的离心率为 则 e 即 c a b a 由双曲线的渐近线方程为y x 即有 y x 故选 D 7 x 5 x R 展开式中 x3 的系数为 10 则实数 a等于 A 1 B C 1 D 2 考点 二项式系数的性质
14、分析 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项 令x 的指数 为 3 列出方程求出 a 的值 解答 解 Tr 1 C5r x5 r r arC5rx5 2r 又令 5 2r 3 得 r 1 由题设知 C51 a1 10 a 2 故选 D 8 已知函数 f x Asin x 的部分图象如图所示 点B C 是该图象与 x 轴的交点 过点 C 的直线与该图象交于D E 两点 则 的值为 A 1 B C D 2 考点 y Asin x 中参数的物理意义 平面向量数量积的运 算 分析 按照三角函数的图象和性质 求出函数的周期 利用向量的 差不多运算和向量的数量积定义即可得到结论 解答 解 函数f x s
15、in 2 x 的周期 T 2 则 BC 1 则 C 点是一个对称中心 则按照向量的平行四边形法则可知 2 2 2 2 2 12 2 故选 D 9 设偶函数 f x 满足 f x 2x 4 x 0 则 x f x 2 0 A x x 2 或 x 4 B x x 0 或 x 4 C x x 0 或 x 6 D x x 2 或 x 2 考点 偶函数 其他不等式的解法 分析 由偶函数f x 满足 f x 2x 4 x 0 可得 f x f x 2 x 4 按照偶函数的性质将函数转化为绝对值函数 再求解不等 式 可得答案 解答 解 由偶函数f x 满足 f x 2x 4 x 0 可得 f x f x 2
16、 x 4 则 f x 2 f x 2 2 x 2 4 要使 f x 2 0 只需 2 x 2 4 0 x 2 2 解得 x 4 或 x 0 应选 B 10 如图 一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2 锐角 60 的菱形 俯视图为正方形 则此几何体的内切球表面积为 A 8 B 4 C 3 D 2 考点 由三视图求面积 体积 分析 由题意可知 该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心 进而可求此几何体的内切球的半径 即可得到此几何体的内切球表面积 解答 解 由于此几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2 锐角 6 0 的菱形 俯视图为正方形 则该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心 即是正方形的中心 由此几何体三视图可知 几何体每个面的三边长分不为 设此几何体的内切球的半径为r 则由体积相等得到 解得 r 则此几何体的内切球表面积为 故答案为C 11 设 F 为抛物线 C y2 3x 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 若抛物线的准线与x 轴的交点为 P 则 PAB 的面积为 A B C D 考点 抛物线的简单性质 分析 由焦点弦的性质求出AB 再求出
