《2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题(解析Word版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题(解析Word版)(21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届北京市海淀区高三毕业班上学期期末数学试题一、单选题1已知集合,则集合是( )ABCD【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合.【详解】集合,则,因此,.故选:D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算,熟悉交集和补集的定义是解题的关键,考查计算能力,属于基础题.2抛物线的焦点坐标为( )A B C D【答案】B【解析】解:由 抛物线方程的特点可知,抛物线的焦点位于 轴正半轴,由 ,可得: ,即焦点坐标为 .本题选择B选项.3下列直线与圆相切的是( )ABCD【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点,且圆也过原点,只需求出圆在原点处的切线方程即可.【详解】由于选项中各直线均过
2、原点,且原点在圆上,圆心坐标为,圆心与原点连线的斜率为,所以,圆在原点处的切线方程为.故选:A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断,考查计算能力,属于基础题.4已知、,且,则( )ABCD【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项,取,则成立,但,A选项错误;对于B选项,取,则成立,但,即,B选项错误;对于C选项,由于指数函数在上单调递减,若,则,C选项正确;对于D选项,取,则,但,D选项错误.故选:C.【点睛】本题考查不等式正误的判断,常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断,考查推理能力,属于中等题.5在的展开式中,的系数为(
3、)ABCD【答案】A【解析】写出二项展开式的通项,令的指数为,求出参数的值,代入通项即可计算出的系数.【详解】的展开式通项为,令,得.因此,的系数为.故选:A.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,解题时要熟练利用二项展开式通项来计算,考查计算能力,属于基础题.6已知平面向量、满足,且,则的值为( )ABCD【答案】A【解析】由等式得,等式两边平方可求出的值.【详解】由可得,等式两边平方得,即,因此,.故选:A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,解题的关键就是对等式进行变形,考查计算能力,属于中等题.7已知、是三个不同的平面,且,则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分
4、条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理,结合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充分条件.【详解】如下图所示,将平面、视为三棱柱的三个侧面,设,将、视为三棱柱三条侧棱所在直线,则“”“”;另一方面,若,且,由面面平行的性质定理可得出.所以,“”“”,因此,“”是“”的必要而不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,同时也考查了空间中平行关系的判断,考查推理能力,属于中等题.8已知等边边长为,点在边上,且,.下列结论中错误的是( )ABCD【答案】C【解析】利用余弦定理计算出,结合正弦定理等三角形知识可对各选项
5、的正误进行判断.【详解】如下图所示:点在边上,且,由余弦定理得,整理得,解得,则,由正弦定理得,所以,.由余弦定理得,同理可得,则.故选:C.【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算,涉及余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.9声音的等级(单位:)与声音强度(单位:)满足. 喷气式飞机起飞时,声音的等级约为;一般说话时,声音的等级约为,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的( )A倍B倍C倍D倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、,根据题意得出,计算出和的值,可计算出的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一
6、般说话时声音强度分别为、,由题意可得,解得,解得,所以,因此,喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍,故选:B.【点睛】本题考查对数函数模型的应用,同时也涉及了指数与对数式的互化,考查计算能力,属于中等题.10若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为的正方体中,记平面为,平面为,点是棱上一动点(与、不重合),.给出下列三个结论:线段长度的取值范围是;存在点使得平面;存在点使得.其中,所有正确结论的序号是( )ABCD【答案】D【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设点的坐标为,求出点、的坐标,然后利用向量法来判断出命题的正误.【详解】取的中点,
7、过点在平面内作,再过点在平面内作,垂足为点.在正方体中,平面,平面,又,平面,即,同理可证,则,.以点为坐标原点,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设,则,.对于命题,则,则,所以,命题正确;对于命题,则平面的一个法向量为,令,解得,所以,存在点使得平面,命题正确;对于命题,令,整理得,该方程无解,所以,不存在点使得,命题错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断,同时也涉及了立体几何中的新定义,利用空间向量法来处理是解题的关键,考查推理能力,属于中等题.二、填空题11在等差数列中,若,则 .【答案】【解析】试题分析:设等差数列的公差为,由已知得,所以,所以
8、【考点】等差数列的通项公式.12若复数,则_.【答案】【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式,然后利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查复数模的计算,同时也考查了复数的除法运算,考查计算能力,属于基础题.13已知点,点、分别为双曲线的左、右顶点.若为正三角形,则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】根据为等边三角形求出的值,可求出双曲线的焦距,即可得出双曲线的离心率.【详解】由于为正三角形,则,得.所以,双曲线的半焦距为,因此,该双曲线的离心率为.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量,考查计算能力
9、,属于基础题.14已知函数在区间上存在最小值,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可知,函数在区间上存在极小值,分和两种情况讨论,分析函数在区间上的单调性,在时求出函数的极值点,可得出,解出即可.【详解】,.当时,对任意的,此时,函数在区间上为增函数,则函数在区间上没有最小值;当时,令,可得,当时,当时,此时,函数的极小值点为,由题意可得,解得.因此,实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数,解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系,考查运算求解能力,属于中等题.15用“五点法”作函数的图象时,列表如下:则_,_.【答案】 【解析】根据表格中的数据求出、的值,
10、可得出函数的解析式,然后代值计算可得出和的值.【详解】由表格中的数据可知,函数的最小正周期为,当时,则,解得,则,.故答案为:;.【点睛】本题考查三角函数值的计算,解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式,考查计算能力,属于中等题.16已知曲线(为常数).(i)给出下列结论:曲线为中心对称图形;曲线为轴对称图形;当时,若点在曲线上,则或.其中,所有正确结论的序号是_.(ii)当时,若曲线所围成的区域的面积小于,则的值可以是_.(写出一个即可)【答案】 均可 【解析】(i)在曲线上任取一点,将点、代入曲线的方程,可判断出命题的正误,利用反证法和不等式的性质可判断出命题的正误;(ii)根据时,
11、配方得出,可知此时曲线为圆,且圆的面积为,从而得知当时,曲线所表示的图形面积小于.【详解】(i)在曲线上任取一点,则,将点代入曲线的方程可得,同理可知,点、都在曲线上,则曲线关于原点和坐标轴对称,命题正确.当时,反设且,则,所以,则,所以,这与矛盾.假设不成立,所以,或,命题正确;(ii)当时,曲线的方程为,即,即,此时,曲线表示半径为的圆,其面积为.当时,且当时,在圆上任取一点,则,则点在曲线外,所以,曲线的面积小于圆的面积.故答案为:;均可.【点睛】本题考查曲线中的新定义,涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题,考查推理能力,属于难题.三、解答题17已知函数.()求函数的单调递增区间;()
12、若在区间上的最大值为,求的最小值.【答案】();().【解析】()利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为,然后解不等式,即可得出函数的单调递增区间;()由,结合题意得出,即可求出实数的最小值.【详解】(),因为的单调递增区间为, 令,得. 所以函数的单调递增区间为;()因为,所以.又因为,的最大值为,所以,解得,所以的最小值为.【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解,解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简,考查计算能力,属于中等题.18如图,在三棱锥中,平面平面,和均是等腰直角三角形,、分别为、的中点. ()求证:平面;()求证:;()求直线与平面所成角
13、的正弦值.【答案】()证明见解析;()证明见解析;().【解析】()由中位线的性质得出,然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面;()由已知条件可知,然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面,即可得出;()以为原点,、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】()在中,、分别为、的中点,所以为中位线,所以. 又因为平面,平面,所以平面;()在等腰直角三角形中,所以. 因为平面平面,平面平面, 平面,所以平面.又因为平面,所以;()在平面内过点作垂直于,由()知,平面,因为平面,所以.如图,以为原点建立空间直角坐标系. 则,.,.设平面的法向量为,则,即.令则,所以.直线与平面所成角大小为,.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直,同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19某市城市总体规划(年)提出到年实现“分钟社区生活圈”全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身个方面构建“分钟社区生活圈”指标体系,并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为:优质小区(指数为)、良好小区(指数为)、中等小区(指数为)以及待改进小区(指数