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1、 第四节 一 隐函数的导数 二 由参数方程确定的函数的导数 隐函数和参数方程求导 第二章 1 一 隐函数的导数 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 函数为隐函数 则称此 隐函数求导方法 两边对x求导 注意y y x 含导数的方程 隐函数的显化 2 例1 求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的隐函数 3 例2 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 4 的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习 二阶导数 解 方程两边对x求导 得 5 隐函数
2、求高阶导数 法1 由隐函数直接求出一阶导数 用一阶导数的显式继续求导 法2 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数 6 例3 解 7 练习设 由方程 确定 解 方程两边对x求导 得 再求导 得 当 时 故由 得 再代入 得 求 8 观察函数 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 对数求导法 适用范围 对数求导法 可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数 开方及其它适用于对数化简的函数的求导 对数求导法 9 例4 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 10 1 对幂指函数 可用对数 说明 注意 求导法求导 11 求 的导数 解 12 2 有些显函数用对数求导法求导很方
3、便 例如 两边取对数 两边对x求导 13 又如 对x求导 两边取对数 14 二 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 消参困难或无法消参如何求导 15 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 16 若上述参数方程中 二阶可导 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 利用新的参数方程 可得 17 例5 解 18 例6 解 19 所求切线方程为 20 例7 设 且 求 已知 解 练习 解 注意 求 21 例8 设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 22 内容小结 1 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2 对数求
4、导法 适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数 3 参数方程求导法 求高阶导数时 从低到高每次都用参数方程求导公式 23 1 设 由方程 确定 解 方程两边对x求导 得 且存在 求 思考与练习 24 解 解得 25 作业 P821 2 3 2 4 2 4 5 1 2 6 2 8 第五节 26 求其反函数的导数 解 方法1 方法2 等式两边同时对求导 思考题 1 设 27 求 解 方程组两边同时对t求导 得 2 设 28 3 设 求 提示 分别用对数求导法求 答案 29 练习题 一 填空题 1 设 确定了 y 是 x 的函 数 则 2 曲线 在点 1 2 处的切线方程 是 3 曲线 在 处的法线方程 4 已知 则 5 设 则 30 二 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 1 2 3 三 用对数求导法则求下列函数的导数 1 2 3 31 四 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 1 2 设 存在且不为零 五 求由参数方程 所确定的函数的 二阶导数 六 设 满足 求 32 练习题答案 一 1 2 3 4 5 二 1 2 3 33 三 1 2 1 5 3 4 2 2 1 1 3 2 5 4 x x x x x x 3 四 1 2 五 六 34
