《精编》概率统计模型

《《精编》概率统计模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《精编》概率统计模型（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、概率统计模型 初等概率模型随机决策模型 概率模型现实世界的变化受着众多因素的影响 包括确定的和随机的 如果从建模的背景 目的和手段看 主要因素是确定的 随机因素可以忽略 或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现 那么就能够建立确定性模型 如果随机因素对研究对象的影响必须考虑 可用随机变量和概率分布描述随机因素的影响 建立随机模型 概率模型 统计模型如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制 无法分析实际对象内在的因果关系 建立合乎机理规律的模型 那么通常要搜集大量的数据 基于对数据的统计分析建立模型 这就是本章还要讨论的用途非常广泛的一类随机模型 统计回归模型 随机决策模型 日

2、常理财 决策一 存银行 决策二 投资 好处 保险 增值 不足 收入较低 好处 收入较高 不足 风险大 决策问题 常见于政治 经济 文化 社会及日常生活中 决策问题分类 确定性决策 不确定性决策 风险性决策 如 微分方程模型 规划论模型 房地产投资 股票投资等 风险性决策模型内容 风险决策模型的概念 决策树概念 两个实例 风险决策 是指在作出决策时 往往有某些随机性的因素影响 而决策者对于这些因素的了解不足 但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来 因此这种决策因存在一定的风险 1 风险性决策模型的基本概念 风险决策的定义 风险决策的基本要素 内容包括 决策者 方案 准则 状态 结果 方案或策

3、略 参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略 决策者 进行决策的个人 委员会或某个组织 在问题比较重大和严肃时 通常应以后者形式出现 准则 衡量所选方案正确性的标准 作为风险型决策 采用的比较多的准则是期望效益值准则 也即根据每个方案的数学期望值作出判断 事件或状态 不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态 事件 如下小雨 下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态 均为人所不可控因素 结果 某事件 状态 发生带来的收益或损失值 风险决策的基本要素 内容包括 决策者 方案 准则 状态 结果 风险决策的方法 决策树法 利用树形图法表示决策过程的方法 决策树法的特点 直观 简便 利用灵敏

4、度分析方法对决策结果进行进一步的推广和分析 2 决策树的概念 例1 某渔船要对下个月是否出海打渔作出决策 若出海后天气好的话 可获收益5000元 若天气变坏将损失2000元 若不出海 无论天气好坏都将承担1000元损失费 据预测 下个月好天气的概率为0 6 坏天气的概率为0 4 问如何作出最佳决策 决策树的画法 A 决策结点 策略分枝 B C 状态结点 概率分枝 益损值 注意 画决策树时 方向为从左到右 画的过程中同时将各种数据标于相应的位置 上面的树形图即为 打渔 问题的数学模型 如何求解该模型 上例的决策树如图所示 其中 表示决策点 从它引出的分枝叫方案分枝 其数目就是方案数 表示机会节点

5、 从它引出的分支叫概率分支 每条概率分支代表一种自然状态 并标有相应状态发生的概率 称为末稍节点 右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值 A B C 模型的求解方法 期望值准则 注意 求解过程为从右到左进行 即从最右端的结点开始计算其期望值 以 打渔 问题为例 先计算 出海 的收益期望值 以出海的收益作为随机变量X 相应的天气情况的概率作为概率 则相应的概率分布为 A B C 于是 出海的收益期望值为 E X 5000 0 6 2000 0 4 2200 2200 同理 不出海的收益期望值为 E Y 1000 0 6 1000 0 4 1000 1000 最后 比较两个期望值的大小 进行决

6、策 出海 上例只包括一个决策点 称为单级决策问题 在有此实际问题中将包括两个或两个以上的决策点 称为多级决策问题 可利用同样的思路进行决策 例3 投资决策问题 为了生产某种产品 设计了两个基建方案 一是建大厂 二是建小厂 大厂需要投资300万元 小厂需要投资160万元 两者的使用期都是10年 估计在此期间 产品销路好的可能性是0 7 销路差的可能性是0 3 若销路好 建大厂每年收益100万元 建小厂每年收益40万元 若销路差 建大厂每年损失20万元 建小厂每年收益10万元 详见下表 试问应建大厂还是建小厂 进一步的 将投资分为前三年和后七年两期考虑 根据市场预测 前三年销路好的概率为0 7 而

7、如果前三年的销路好 则后七年销路好的概率为0 9 如果前三年的销路差 则后七年的销路肯定差 在这种情况下 建大厂和建小厂哪个方案好 状态及概率 益损值 方案 图4 1决策树注意 决策问题的目标如果是效益 如利润 投资 回报等 应取期望值的最大值 如果决策目标是费用的支出或损失 则应取期望值的最小值 2 多级决策问题下面以投资决策问题为例 说明决策方法 a 画决策树 图4 2 b 计算各点的益损期望值 点2 0 7 100 0 3 20 10 年 300 大厂投资 340万元点3 0 7 40 0 3 10 10 年 160 小厂投资 150万元由此可见 建大厂的方案是合理的 现在考虑一种情况

8、假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期考虑 根据市场预测 前三年销路好的概率为0 7 而如果前三年销路好 则后七年销路好的概率为0 9 如果前三年销路差 则后七年的销路肯定差 在这种情况下 建大厂和建小厂那个方案好 a 画出决策树如下 图4 3 图4 3决策树 b 计算各点的益损期望值点4 0 9 100 0 1 20 7 年 616万元点5 1 0 20 7 年 140万元点2 0 7 100 3 年 0 7 616 0 3 20 3 年 0 3 140 300 大厂投资 281 2点6 0 9 40 0 1 10 7 年 259点7 1 0 10 7 年 70点3 0 7 40 3 年

9、0 7 259 0 3 10 3 年 0 3 70 160 小厂投资 135 3通过比较 建大厂仍然是合理方案 例3 某工程采正常速度施工 若无坏天气的影响 可确保在30天内按期完成工程 但据天气预报 15天后肯定变坏 有40 的可能出现阴雨天气 但这不会影响工程进度 有50 的可能遇到小风暴而使工期推迟15天 另有10 的可能遇到大风暴而使工期推迟20天 对于以上可能出现的情况 考虑两种方案 1 提前加班 确保工程在15天内完成 实施此方案需增加额外支付18000元 2 先维持原定的施工进度 等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策 a 若遇阴雨天 则维持正常进度 不必支付额外费用 b 若

10、遇小风暴 则有下述两个供选方案 一是抽空 风暴过后 施工 支付工程延期损失费20000元 二是采用应急措施 实施此措施可能有三种结果 有50 的可能减少误工期1天 支付延期损失费和应急费用24000元 的可能减少误工期2天 支付延期损失费和应急费用18000元 有20 的可能减少误工期3天支付延期损失费和应急费用12000元 3 若遇大风暴 则仍然有两个方案可供选择 一是抽空进行施工 支付工程的延期损失费50000元 二是采取应急措施 实施此措施可能有三种结果 有70 的可能减少误工期2天 支付延期损失费及应急费用54000元 有20 可能减小误工期3天 支付延期损失费及应急费用46000元

11、有10 的可能减少误工期4天 支付延期损失费及应急费用38000元 试进行决策 选择最佳行动方案 解 1 据题意画出决策树 如图 A 正常速度 风暴 C E 0 18000 12000 18000 24000 20000 B D F 54000 46000 38000 50000 减少误工3天 0 2 减少误工4天 0 1 减少误工2天 0 7 减少误工1天 0 5 减少误工2天 0 3 减少误工3天 0 2 阴雨 0 4 0 5 0 1 提前加班 应急 正常施工 正常施工 应急 台风 求解上述模型 先做一级决策对台风情形 计算采取应急措施付出的数学期望为 E F 0 7 54000 0 2

12、46000 0 1 38000 50800 50800 同理 对决策结点C计算采取应急措施时状态结点E所支付的数学期望值为 19800 19800 求解上述模型 对决策D 因为采取应急措施的数学期望为 50800 正常施工的期望即为 50000显然 应采取决策为正常施工 50800 19800 50000 同理 对决策C 应采取应急措施进行施工 即C的期望值为 19800 19800 求解上述模型 再做二级决策 再状态结点B处 用第1级决策的结果计算 效益 的数学期望值为 E B 0 0 4 19800 0 5 50000 0 1 14900 50800 19800 50000 19800 1

13、4900 最后结论 不用提前加班 等15天后遇阴雨太天或台风都只须听其自然按原来的进度施工 而遇暴风雨则采取应急措施 此决策方案支付的数学期望为14900元 50800 19800 50000 19800 14900 讨论题 天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国 如果直接大批量生产与销售 主观估计成功与失败的概率各为0 5其分别的获利为1200万元与 500万元 如取消生产销售计划 则损失设计与准备费用40万元 为稳妥起见 可先小批量生产试销 试销的投入需45万元 据历史资料与专家估计 试销成功与失败的概率分别为0 6与0 4 又据过去情况 大批生产销售为成功的例子中 试销成功的占84 大

14、批生产销售失败的事例中 试销成功的占36 试根据以上数据 通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策 问题分析与模型假设 4 设定以下变量 1 问题涉及直接大批量生产与销售 取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍 在每种方案下又分为成功或失败两种结果 2 决策目标在表面上看是获利大小 实际上是要决定试销与否 3 尚需注意后面几句话 大批生产销售为成功的例子中 试销成功的占84 大批生产销售失败的事例中 试销成功的占36 这意味着要计算两个概率 其一是当试销成功时 大批量销售成功与失败的概率 其二是试销失败情况下 大批量销售成功与失败的概率 这意味着要利用贝叶斯概率公式 试销成功

15、则 试销失败 大量销售成功 则 大量销售失败 模型建立1 先来计算两个概率 注意到 代入贝叶斯概率公式 从而 即当试销成功时 大批量销售成功与失败的概率分别为0 78和0 22 同理可以算出在试销失败情况下 大批量销售成功与失败的概率分别为0 22和0 78 试销与否作为决策思路 从左至由画出决策树模型如下 这棵树即为所求的数学模型 为了简单化 原题没有对求解等后续过程作要求 我们不妨将模型求解出来 三 模型求解 案例一航空公司的预订票策略 1 问题的提出 在激烈的市场竞争中 航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务 公司承诺 预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机 可以乘

16、坐下一班机或退票 无需附加任何费用 当然也可以订票时只订座 登机时才付款 这两种办法对于下面的讨论是等价的 设某种型号的飞机容量为n 若公司限制预定n张机票 那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机 致使飞机因不满员飞行而利润降低 甚至亏本 如果不限制订票数量呢 那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时 必然会引起那些不能登机飞走的乘客 以下称被挤掉者 的抱怨 公司不管以什么方式予以补救 也会导致受损和一定的经济损失 如客员减少 挤掉以后班机乘客 公司无偿供应食宿 付给一定的赔偿金等 这样 综合考虑公司经济利益 必然存在一个恰当订票数量和限额 假设飞机容量为300 乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10 飞行费用与飞机容量 机票价格成正比 由统计资料知 比例系数为0 6 乘客不按时前来登机的概率为0 03 请你 1 建立一个数学模型 给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标 对上述预定票业务确定最佳的预定票数量 2 考虑不同客源的不同需要 如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务 他们宁愿接受较高的票价 而按时上下班的雇员或游客 会愿意以若不能按时前来登机则机票失效为代价 换