《概率论与数理统计课件(复旦版)—— (4)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课件(复旦版)—— (4)（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章随机变量及其分布 1随机变量的概念 随机事件可以采取数量的标识 如 抽样检查产品时废品的个数 掷骰子出现的点数 对没有数量标识的事件 可以人为加上数量标志 如 产品为优质品记为1 次品记为2 废品记为3 天气下雨记为1 不下雨记为0 例如 1 射击击中目标记为1分 未中目标记0分 用 表示射击的得分 它是随机变量 可取0和1两个值 2 抛一枚硬币 表示正面出现的次数 它是随机变量 可取0和1两个值 3 某段时间内候车室旅客数目记为 它可取0及一切不大于最大容量M的自然数 4 一块土地上农作物的产量 是随机变量 它可以取区间 0 T 的一切值 5 沿数轴运动的质点 它的位置 是随机变量 可
2、以取任何实数 即 随机变量按取值情况分为两类 1 离散型随机变量 只可能取有限个或无限可列个值 2 非离散型随机变量 可以在整个数轴上取值 或至少有一部分值取某实数区间的全部值 非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量 即取值于一个连续区间全部数值的随机变量 以后 只研究离散型与连续型随机变量 定义2若 是一个随机变量 对任何实数x 令F x P x 称为F x 是随机变量 的分布函数 对任意实数a b 有 P a b P b P a F b F a 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况 注意P a b P a P a b P a F b F a P a b P a b P b F b F
3、 a P b 分布函数具有如下的性质 F x 是概率 取值在0与1之间 2 F x 是x的不减函数 x所含基本事件个数不会随x增大而减少 4 F x 至多有可列个间断点 在其间断点上右连续 2随机变量的分布 一 离散型随机变量的分布 定义1如果随机变量 只取有限个或可列个可能值 而且以确定的概率取这些不同的值 则称 为离散型随机变量 一般列成概率分布表 也可写成P xk Pk k 1 2 称之为概率函数 x1 x2 xk 构成完备事件组 离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数 性质 Pk 0 k 1 2 例1一批产品的废品率为5 从中任意抽取一个进行检验 用随机变量描述废品出现的情况 解
4、 用 表示废品的个数 1表示产品的废品 0表示产品的合格品 或P k 0 05 k 0 95 1 k k 0 1 分布函数的图形 称为两点分布 称为0 1分布 例2产品有一 二 三等品及废品4种 其一 二 三等品率和废品率分别为60 10 20 10 任取一个产品检验其质量 用随机变量 描述检验结果 解 用 k表示产品为k等品 k 1 2 3 4表示产品为废品 概率分布表为 例3用随机变量描述掷骰子的试验情况 解 令 表示掷一颗骰子出现的点数 其分布函数为 其图形为 离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线 在 的取正概率的点xk处有跳跃 跃度为概率pk 在任一连续点x上 取值x的概率都是零 解
5、 在跳跃点的跃度就是概率 故概率分布表为 解 概率之和应为1 1 2a 3a a 2a a a 10a 故a 0 1 概率表应为 0 8 0 6 这种随机变量称为几何分布 例7盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡 其中10个螺口 5个卡口 灯口向下放着 现在需要1个螺口灯泡 从盒中任取一个 如果取到卡口灯泡就不再放回去 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的 分布 解 0表示第一个就取到了螺口灯泡 1表示第一个取到卡口 第二个才取到螺口灯泡 故 的分布为 若本题改为取到卡口再放回去 则每次取灯泡时的情况完全相同 k表示前k次取到卡口灯泡 第k 1次取到螺口灯泡 k 0 1 2 例8一袋中装有
6、编号为1 2 3 4 5的五个小球 任取3个 用 表示球上的最大号码 求 的分布 解 至少为3 故 的概率分布为 二 连续型随机变量的分布 例9在区间 4 10 上任意抛掷一个质点 用 表示这个质点与原点的距离 则 是一个随机变量 若这个质点落在 4 10 上任一子区内的概率与这个区间长度成正比 求 的分布函数 图形为 F x 1 x 4 10 取任何一个具体值的概率都是零 概率密度的基本性质 由于P a P b 0 故对连续型随机变量 P a b P a b P a b F b F a 0 1 x 0时 0 0 x 2时 x 2时 1 P 1 5 2 5 F 2 5 F 1 5 0 0625 或者 0 0625 x 0时 0 x 0时 故分布函数为 1 2 1 e 2 0 1 3e 2 实际上 对任意一点x P x 0
